2.8 Calcolo della polarizzazione per speci che coppie di campi
2.8.2 Calcolo della polarizzazione per HL(I cc ) e HL(II cc )
RRS(Icc)e IRS(Ica) sono gli unici due diagrammi che contribuiscono al segnale SRS netto. Di seguito si riportano i contributi alla polarizzazione al terzo ordine dovuti ai diagrammi HL(Icc) (Fig. 2.10) e HL(IIcc) (Fig. 2.11).
P(3)(ω)HL(Icc)= 1 ¯ h3|µab| 2|µ bc|2 1 (ωR+ ωab− iΓab) × 1 (−iΓbb)(ω − ωbc+ iΓbc) (2.105) P(3)(ω)HL(IIcc)= 1 ¯ h3|µab| 2|µ bc|2 1 (−ωR+ ωba− iΓba) × 1 (−iΓbb)(ω − ωbc+ iΓbc) (2.106)
in cui l'eetto di divergenza nel caso di Γbb → 0 scompare nel caso di un Raman pulse non perfettamente monocromatico. Una volta calcolato il RG se- condo l'equazione (2.104), si osserva che in condizioni di risonanza i contributi di questi due diagrammi sono larghi in frequenza (poiché non determinano se- gnali Raman ma hot luminescence) e presentano RG di segno opposto, pertanto si elidono e non contribuiscono allo spettro. In condizioni di risonanza questi contributi possono essere a banda stretta ma soprattutto presentano RG con lo stesso segno, pertanto si sommano. In ogni caso, non rappresentando un segnale di tipo Raman, non contribuiscono allo spettro SRS nale poiché ven- gono rimossi nel processo di sottrazione della baseline dovuto al meccanismo di rivelazione eterodino.
Figura 2.9: diagrammi per RRS(I). A sinistra il diagramma di Feynman, al centro RRS(Iaa), a destra RRS(Icc).
Figura 2.10: diagrammi per HL(I). A sinistra il diagramma di Feynman, al centro HL(Iaa), a destra HL(Icc).
Figura 2.11: diagrammi per HL(II). A sinistra il diagramma di Feynman, al centro HL(IIaa), a destra HL(IIcc).
Figura 2.12: diagrammi per RRS(II). A sinistra il diagramma di Feynman, a destra quello FWMEL.
Figura 2.13: diagrammi per HL(III). A sinistra il diagramma di Feynman, a destra quello FWMEL.
Figura 2.14: diagrammi per HL(IV). A sinistra il diagramma di Feynman, a destra quello FWMEL.
Figura 2.15: diagrammi per IRS(I). A sinistra il diagramma di Feynman, al centro IRS(Iaa), a destra IRS(Ica).
Figura 2.16: diagrammi per IRS(II). A sinistra il diagramma di Feynman, a destra quello FWMEL.
Capitolo 3
Apparato sperimentale
3.1
Sorgente laser
Il sistema si basa su un oscillatore a 80 MHz, che è il seed per un ampli catore rigenerativo (RGA) con un repetion rate di 1 KHz. Il seed è ottenuto da un oscillartore Micra, che è un oscillatore laser basato su un cristallo di Ti:za ro (Ti:Sa) in grado di produrre in regime di modelocking impulsi utracorti con una larghezza di banda superiore agli 80 nm. In particolare il fascio uscente dal Micra (seed) ha circa 400 mW di potenza ed è centrato a 800 nm con una banda che va circa da 30 nm a 100 nm. L'impulso di pompa per l'oscillatore Micra è il fascio in uscita da un laser Verdi di potenza pari a 5 W e centrato a 532 nm. Anche l'RGA (Coherent Legend Elite) è basato su un cristallo Ti:za ro. L'ec- citazione ottica del cristallo è raggiunta pompando il cristallo con un laser Evo- lution 15. L'ampli cazione del seed è raggiunta tramite due celle di Pockels che intrappolano nel risuonatore solo un singolo impulso del seed. Dopo un certo numero di round trip, tipicamente 10 o 15, si applica un potenziale alla cella di Pockels di uscita e l'impulso è espulso dal risuonatore. Mentre è intrappolato nel risuonatore, l'impulso ha attraversato più volte il cristallo in Ti:za ro speri- metando un guadagno pari a un fattore 106. L'output del Legend ha le seguenti caratteristiche:
• una lunghezza d'onda centrata a circa 800 nm; • una durata temporale di 50 fs;
• un repetition rate di 1 KHz; • una energia di circa 3.5 mJ.
3.2
Layout ottico
Il layout schematico del set-up sperimentale è riportato in Fig. 3.1. Il campione interagisce con due fasci laser:
• un Raman pulse a banda stretta con durata nel ps;
• uno Stokes probe a banda larga (supercontinuo) con durata temporale al fs.
3.2.1 Raman pulse
Il fascio di probe Raman è caratterizzato da una lunghezza d'onda tunabile. La generazione del fascio Raman inizia in un OPA a doppio stadio (TOPAS- C). L'energia del fascio in entrata è di circa 1.7 µJ e l'output a 880 nm è di circa 60 µJ. Recentemente è stata dimostrata una semplice tecnica, detta di compressione spettrale (SC) che permette una sintesi e ciente di impulsi tunabili al ps a partire da impulsi al fs. SC si basa sulla generazione di seconda armonica (SHG) in presenza di un elevato group delay mismatch (GDM) tra la frequenza fondamentale (FF) e l'impulso di seconda armonica (SH) [12, 13], che risulta in un fascio SH a banda stretta dato all'incirca dall'inverso della GDM. Poiché la banda di phase-matching del processo SHG è molto bassa in presenza di grande GDM, ci si aspetterebbe che solo una piccola frazione dello spettro dell'impulso FF sia convertito nell'impulso SH, ottenendo così un basso grando di conversione. Tuttavia, con un impulso FF a banda larga, le frequenze dell'impulso SH possono essere generate anche da un processo di generazione di frequenza somma (SFG) tra le componenti spettrali dell'impulso FF che soo simmetriche rispetto alla frequenza di phase-matching ωF F, ossia ω1+ ω2 = 2ωF F = ωSH, dove ω1=ωF F + ∆ω e ω2=ωF F − ∆ω. In questo caso si può scrivere: k(ω1) = k(ωF F) + ∂k ∂ω F F ∆ω + 1 2 ∂2k ∂ω2 F F ∆ω2+ ... (3.1) k(ω1) = k(ωF F) − ∂k ∂ω F F ∆ω + 1 2 ∂2k ∂ω2 F F ∆ω2+ ... (3.2)
Il phase mismatch del processo SFG è ∆k = k(ω1) + k(ω2) − k(ωSH) ≈ ∂2k ∂ω2 F F ∆ω2 (3.3)
e la larghezza di banda dell'impulso FF che può essere posta in condizioni di phase-matching è ∆νF F = 0.886 1 2π ∂ 2k ∂ω2 F F 1/2 (3.4)
Quest'ultima equazione mostra che per il processo SFG è garantita la condizione di phase-matching al primo ordine, pertanto il processo è in grado di convertire molto e cacemente l'impulso a banda larga FF in un impulso SH a banda stretta. L'alta e cienza di questo processo è quindi data dal fatto che i fotoni di SH sono generati non solo direttamente dal processo SHG ma anche da un processo SFG tra le componenti spettrali della FF che sono simmetriche rispetto alla frequenza di phase-matching per la seconda armonica [14, 15].
Si ottiene così un impulso di SH a banda stretta, con durata temporale al ps e potenzialmente molto tunabile. Nel nostro caso la lunghezza d'onda del probe Raman è sempre vicina a quella della banda Soret delle emoproteine.
Di seguito si riporta una trattazione più dettagliata riguardo la generazione di impulsi Raman a banda stretta, tunabili nella regione dell'UV-VIS da 330 a 520 nm, con larghezza di banda pari circa a 10 cm−1 ed energie che raggiungono qualche µJ, utilizzati per l'acquisizione di spettri SRS ad alta risoluzione di
emoproteine.
La sorgente laser basata su un cristallo Ti:Sa (Coherent Legend) produce im- pulsi centrati a 800 nm, con FWHM pari a 28 nm, durata temporale di 50 fs, energie pari a 3.5 mJ e repetition rate pari a 1 KHz. Nella con gurazione ba- se il Raman pulse a banda stretta è generato tramite diretta SC degli impulsi uscenti dal cristallo Ti:Sa. Per comprendere la scelta del cristallo usato nella tecnica SC occorre ricordare che in un processo SHG, in presenza di un lar- go GDM tra gli impulsi interagenti, la FWHM dell'impulso SH, ∆νSH, è data approssimativamente da
∆νSH =
0.886
(GDM ) (3.5)
dove GDM=δL. L è la lunghezza del cristallo e δ è il group velocity mismatch (GVM) tra l'impulso alla frequenza fondamentale (FF) pari a 800 nm e l'impulso di SH. Essa è de nita come:
GDM = 1
vgF F− vgSH (3.6)
Pertanto, per ottenere un impulso SH a banda stretta occorrono cristalli lunghi e alti valori di δ. Inoltre, poiché si desidera generare un impulso SH con energie nel µJ, il cristallo deve essere in grado di accettare impulsi con energie relativamente alte (dell'ordine di varie decine di µJ). I periodically poled crystals, che sono stati usati precedentemente per la tecnica SC [13, 14], subiscono danneggiamento fotorifrattivo nella regione dell'UV-VIS e, a causa del loro spessore limitato, non permettono di maneggiare impulsi molto energetici. Per questo motivo si è scelto di utilizzare un cristallo β-borato di bario (BBO), la cui bassa non linearità (≈ 2 pm/V) e il cui basso angolo di walk-o (≈ 4◦) non sono dannosi per il processo SC grazie alla grande quantità di energia dell'impulso FF disponibile. Nel BBO la GVM tra gli impulsi FF e SHG varia tra 320 fs/mm a 90 fs/mm quando l'impulso FF ha lunghezza d'onda compresa tra i 660 nm e i 1040 nm: ciò implica che la larghezza di banda dell'impulso SH è più piccola di 16 cm−1 nell'intero range spettrale compreso tra 320 e 520 nm, avendo scelto L pari a 25 mm. Sperimentalmente, l'impulso a 800 nm uscente dal Ti:Sa è stato raddoppiato in frequenza in un BBO lungo (25 mm). Una serie di spettri SH, ottenuti tiltando il BBO, è riportata in Fig. 3.1: dopo la deconvoluzione del contributo strumentale, gli impulso SH presentano una larghezza di banda pari a ≈ 8.7 cm−1 [16].
Tuttavia, la compressione spettrale dell'impulso FF proveniente dal cristallo Ti:Sa garantisce una tunabilità limitata del Raman pulse, tra 385 e 415 nm. Questo range può essere considerabilmente esteso aggiungendo un ampli catore ottico parametrico (OPA) a doppio stadio [16] o, come nel caso del layout ottico riportato in Fig. 3.10, un TOPAS-C [17]. La possibilità di aumentare il range di tunabilità del Raman pulse si traduce nella capacità di variare in un intorno più ampio la sua lunghezza d'onda negli studi di Raman risonante.
Un TOPAS-C, fornito da Light Conversion, è uno stage di conversione che fun- ziona come un OPA a doppio stadio. Un OPA a doppio stadio consiste in due OPA consecutivi: questa con gurazione presenta diversi vantaggi rispetto a quella relativa a un singolo OPA, poiché permette di compensare il GVM che nasce tra i fasci entranti nel cristallo nei due stage. Inoltre in un OPA a doppio stadio risulta possibile regolare l'intensità di pompa e quindi il guadagno para-
Figura 3.1: spettro SHG (linea nera continua) e spettro FF (linea rossa tratteggiata) [16].
metrico in ogni singolo stage [18]. Di seguito si riporta una breve descrizione del funzionamento di un OPA.
Ampli catore Ottico Parametrico (OPA)
In regime di accoppiamento non lineare due campi elettrici oscillanti a frequenza ω3e ω2, sovrapposti spazialmente e temporalmente in un cristallo caratterizzato da χ(2) non trascurabile, generano un terzo campo a frequenza ω
1 secondo tre processi fondamentali: sum frequency generation (SFG), second harmonic ge- neration (SHG) e dierence frequency generation (DFG). Nel caso del processo DFG il fotone associato al campo elettromagnetico oscillante alla frequenza più elevata possiede un'energia ¯hω3pari alla somma di ¯hω1e di ¯hω2ed è quindi pos- sibile, sulla base di una serie di condizioni che devono essere sempre soddisfatte, che questo stesso fotone si suddivida nei due ad energia più bassa. Bisogna tenere presente, tuttavia, che, per il caso delle onde piane, tale fenomeno non si può veri care se il fascio a cui è associata la pulsazione ω3 propaga da solo, cioè senza un ulteriore fascio, in quanto la polarizzazione non lineare sarebbe de nita da due porzioni dello stesso fascio ad identica pulsazione e quindi co- stante. Perciò è necessario che ci sia una delle due componenti caratterizzate da fotoni meno energetici per poter ottenere, attraverso la dierenza, l'altro fascio. Si può esprimere più correttamente il bilancio delle energie come segue: ¯
hω3+ ¯hω2 = 2∆¯hω2+ ¯hω1 in una relazione che è solo formalmente dierente dall'espressione ¯hω3− ¯hω2 = ¯hω1. Un'ulteriore possibilità di osservare que- sto eetto si veri ca con la generazione di frequenza dierenza tra componenti spettrali diverse di uno stesso impulso. La condizione necessaria perché si possa realizzare tale fenomeno è che l'impulso in ingresso sia a banda estremamente larga, in modo che le code spettrali possano interagire. Nel caso in cui la ge- nerazione di frequenza dierenza avvenga tra un primo fascio molto energetico ed un secondo più debole e di pulsazione inferiore, il processo è denominato ampli cazione ottica parametrica; in questo caso i tre campi possono essere così ride niti:
Figura 3.2: sequenza di spettri a banda stretta ottenuti tramite SC di un OPA nel visibile [16].
Figura 3.3: bilancio delle energie in un OPA tramite schematizzazione a livelli virtuali.
anche da una maggiore intensità rispetto al secondo fascio in ingresso nel cristallo;
• segnale, il secondo fascio in ingresso nel cristallo, di pulsazione ωS, anche molto debole;
• idler, il fascio in uscita risultante dalla frequenza dierenza ωi= ωP− ωS. Per descrivere questo fenomeno si parla di ampli cazione in quanto il segnale può essere ampli cato di svariati ordini di grandezza purché si possa disporre di un fascio di pompa su cientemente intenso; con l'ampli cazione del segnale si viene a generare anche il terzo fascio, l'idler, la cui intensità ha un andamento paragonabile a quella del segnale stesso. Per trattare l'ampli cazione parame- trica si scrive un sistema di equazioni del sistema accoppiate che, considerando un'approssimazione di onde monocromatiche e una pompa molto intensa, che comporta il fatto di considerarla sostanziamente costante, può essere riformulato
Figura 3.4: ampli cazione ottica parametrica. come: ∂AP(z) ∂z = 0 → AP(z) = cost. ∂AS(z) ∂z = −ikSA ∗ IAPe−i∆kz ∂AI(z) ∂z = −ikIA ∗ S(z)e−i∆kz (3.7) in questo caso il phase mismatch viene de nito dalla relazione ∆k = kP−kS−kI. ki= χ(2)ωi/2cni, dove niè l'indice di rifrazione alla frequenza ωie c è la velocità della luce. Indichiamo le condizioni al contorno, che descrivono l'iniezione dei campi di pompa e segnale con il primo molto più intenso del secondo: IS(z = 0) = IS0, II(z = 0) = 0 e IP(∀z) = IP. Eettuando la derivata della prima equazione del sistema e sostituendoci la seconda, si giunge a descrivere l'eetto di ampli cazione sul segnale con l'equazione dierenziale:
∂2A S ∂z2 = −i∆k ∂AS ∂z + Γ 2A S Γ2= kSkIIP (3.8)
La propagazione del campo relativo alla pulsazione ωI è descritta da un'equa- zione del tutto simile dato che, una volta che il fascio di idler viene generato, questo concorre al processo tramite la dierenza ωP − ωI = ωS aumentando a sua volta il numero di fotoni del fascio di segnale e di conseguenza incrementan- do i propri. Quindi, avendo innescato due diversi meccanismi di generazione di frequenza dierenza ci si aspetta una crescita esponenziale dell'intensità di idler e segnale; questa analisi quantitativa viene confermata dalle soluzioni esatte per i campi in questione: IS(z) = IS0 ( 1 + Γ gsinh(gz) 2) II(z) = ωωSIIS0 Γ gsinh(gz) 2 (3.9)
con il fattore g pari a Γ in caso di perfetto phase matching: g =
r
Γ2−∆k 2
4 (3.10)
L'annullamento del ∆k agisce massimizzando g e quindi rendendo molto più grande il guadagno di segnale, dato che la funzione sinh(x)/x diverge per x tendente all'in nito. La crescita esponenziale dei fasci di segnale e di idler al- l'aumentare del percorso nel cristallo risulta quindi confermata dalla soluzione
esatta dell'evoluzione delle intensità: è il termine di seno iperbolico, dipenden- te dal termine g che decresce all'aumentare del phase mismatch, che descrive tale comportamento dei fasci in regime di ampli cazione parametrica . Do- po aver percorso una distanza L nel cristallo non lineare per ∆k = 0, g = G nell'approssimazione di grande guadagno ΓL 1 vale che
IS(L) ≈ 1 4IS0e 2ΓL (3.11) II(L) ≈ ωI 4ωS IS0e2ΓL (3.12)
Trattandosi di un meccanismo di ampli cazione è de nibile un fattore di gua- dagno G(z) come:
G(z) =IS(z)
IS0 (3.13)
Nel caso in cui si ottenga l'adattamento della fase e si consideri un grande gua- dagno, Γz 1, G(z) si può esprimere attraverso la più semplice e signi cativa espressione:
G(z) = 1 + sinh2(Γz) ' 1 4e
2Γz (3.14)
che, non solo evidenzia la dipendenza esponenziale dell'ampli cazione dal per- corso nel cristallo, ma anche, essendo Γ ∝ √IP, dall'intensità del fascio di pompa. Dopo una su ciente propagazione nel cristallo non lineare, le intensità dei fasci di segnale e di idler raggiungono valori tali da rendere inapplicabile la sempli cazione di considerare che il fascio di pompa sia soggetto ad un basso svuotamento nel processo di ampli cazione; in queste condizioni le intensità IS
e II non aumentano più avendo raggiunto la saturazione del guadagno. Spe-
rimentalmente, risulta possibile ottenere e cienze massime di circa il 40% di svuotamento della pompa. Il set-up che implementa l'ampli cazione parametri- ca è detto Optical Parametric Ampli er (OPA); la sovrapposizione temporale viene ottenuta grazie ad una linea di ritardo che permette di uguagliare i cam- mini ottici degli impulsi. I fasci vengono quindi focalizzati in modo tale da ottenere densità di potenza su cientemente elevate da poter innescare l'eetto non lineare di generazione di frequenza dierenza [18]. Tipicamente il fuoco non è localizzato all'interno del mezzo non lineare, ma abbastanza lontano da non ottenere densità di potenza superiori alla soglia di danneggiamento del cristallo stesso.
Filtraggio spettrale
Una limitazione intrinseca della generazione di seconda armonica per compres- sione spettrale è un pro lo temporale sfavorevole dell'impulso a banda stretta, come illustrato in Fig. 3.5. Il lato destro della gura mostra le forme speri- mentali dell'impulso a tre diverse lunghezze d'onda (misurate per eetto Kerr), insieme ad onde sinusoidali che decadono esponenzialmente che rappresentano l'evoluzione dei modi vibrazionali del cicloesano a 802 cm−1 e 1027 cm−1, ca- ratterizzati rispettivamente da dephasing time pari a 2.0 ps e 0.65 ps [19]. Il cut-o molto netto del Raman pulse produce oscillazioni in ogni spettro SRS del cicloesano (lato sinistro di Fig. 3.5) a causa della relazione di Fourier tra i domi- ni del tempo e della frequenza. E' stato quindi introdotto un metodo semplice
per migliorare il pro lo temporale degli impulsi generati da SH-SC che, inoltre, estende il range della tecnica a lunghezze d'onda più alte. Il metodo consiste nel ltraggio spettrale degli impulsi ottenuti dalla tecnica SH-SC usando un ltro spettrale double-pass (2f), un singolo reticolo (1800 linee/pollice, 410 blaze) e una slit regolabile nella regione di collimazione del fascio spettralmente disperso [20].
I primi due pannelli di Fig. 3.6 mostrano le caratteristiche di un impulso a 520 nm spettralmente ltrato in funzione della larghezza della slit. A questa lun- ghezza d'onda il ltro spettrale ha un'e cienza di trasmissione del 50% con la slit completamente aperta e che scende al 15% per un'apertura della slit di 0.15 mm. Ridurre la larghezza della slit sopprime le oscillazioni spettrali (spectral wings) come è visibile nel pannello di sinistra, mentre il pro lo temporale corri- spondente evolve da una forma a "naso", caratteristica del compressore spettrale non ltrato [14], verso un pro lo più largo e più simmetrico (pannello centrale). Il pannello di destra in Fig. 3.6 mostra spettri SRS del cicloesano ottenuti con un Raman pulse generata tramite SH-SC e uno Stokes probe ottenuto tramite white-light continuum generation (WLC) [16]. Si noti che le oscillazioni spettrali del modo a 802 cm−1diminuiscono con la larghezza della slit grazie a un miglio- ramento del pro lo spettrale dell'impulso a banda stretta, mentre la risoluzione spettrale aumenta grazie a una durata temporale aumentata. Inoltre, rimuovere le code dell'impulso nel dominio delle frequenze migliora il segnale Raman nella regione delle basse frequenze (al di sotto dei 300 cm−1), dove lo scattering Ray- leigh del Raman pulse maschera lo spettro vibrazionale. Una maggiore durata e una maggiore simmetria della forma dell'impulso ltrato spettralmente tramite SH-SC non solo migliora la risoluzione spettrale ma, simultaneamente, elimina le oscillazioni spettrali e garantisce un elevato RG per tutte e tre le lunghezze d'onda mostrate in Fig. 3.7.
Figura 3.5: colonna a sinistra: spettro SRS del cicloesano ottenuto usando la tecnica SHG-SC per ottenere un Raman pulse a 520 nm, 430 nm e 380 nm (rispettivamente dall'alto verso il basso). Colonna a destra: pro lo temporale di ogni Raman pulse (in rosso) sovrapposto con il pro lo temporale dei modi vibrazionali del cicloesano a 802 cm−1 (in verde) e 1027 cm−1 (in blu). Lo zero temporale è de nito dall'arrivo dello Stokes probe del femtosecondo (si noti la scala logaritmica) [20].
Figura 3.6: eetto della variazione della larghezza della slit su un Raman pulse centrato a 520 nm. (a) Pro lo spettrale, (b) pro lo temporale e (c) corrispon- dente spettro SRS del cicloesano per slitta completamente aperta (in rosso), larghezza della slit pari a 0.6 mm (in verde), 0.3 mm (in blu), 0.2 mm (in magenta) e 0.15 mm (in ciano) [20].
Figura 3.7: lato sinistro: spettro SRS del cicloesano per lunghezze d'onda del Raman pulse pari a 521, 602 e 688 nm (rispettivamente dall'alto in basso). Le barre di scala mostrano le lunghezze d'onda di Stokes probe corrispon- denti. L'energia del Raman pulse è 0.4 µJ. Nel lato destro è riportata una rappresentazione schematica del set-up 2f [20].
3.2.2 Stokes probe
Lo Stokes probe è generato tramite un eetto di generazione di supercontinuo (WLC) ottenuto focalizzando l'impulso FF in un cristallo za ro di 2 mm (per coprire un range spettrale di circa 400 nm) o di CaF2 (per un range di lun- ghezza d'onda più basso), posizionato su un traslatore per ridurre gli eetti di danneggiamento termico del cristallo. Lo za ro garantisce una elevata stabilità shot-to-shot ma il suo WLC si estende solo al di sotto dei 450 nm. Il cristallo di CaF2richiede una traslazione continua che risulta in uttuazione più ampie, ma il suo WLC si estende al di sotto dei 340 nm e permette di sfruttare la tunabilità del Raman pulse a basse frequenze [16]. La generazione del bianco è un processo a soglia, quindi è necessario regolare accuratamente l'energia del- l'impulso incidente e la focalizzazione per mettersi subito sopra la soglia che consente di ottenere un solo lamento di luce bianca. Il fascio viene diretto da uno specchio di argento su una lente di BK7 con lunghezza focale di 100 mm, passando attraverso un attenuatore variabile lineare, montato su un traslatore, per la regolazione dell'energia. La lente focalizza il fascio sul cristallo di za ro