Come introdotto nel paragrafo 3.2.1, per il campionamento del tempo gli ASIC TOF-PET sono dotati di 2 TDC per ogni canale, uno per la misura del tempo e uno dell’energia. Essendo questo lavoro concentrato sulle prestazioni temporali del prototipo, da qui in avanti sarà fatto riferimento solo al TDC relativo alla misura del tempo. I TDC servono per il campionamento fine e lavorano con una precisione massima di 50 ps per una frequenza di clock di 160MHz [43]. Ogni TDC utilizza 4 TAC per campionare la fase del periodo di clock a cui arriva il segnale. In particolare
vengono registrati i valori di Start of Conversion (TSoC) e End of Conversion (TEoC)
(par. 3.2.1) dai quali si ottiene la misura più fine della componente temporale, ossia la fase con cui arriva il segnale rispetto al periodo di clock. Questo valore, chiamato fine time (tf ine), è dato da:
tf ine = TEoC − TSoC
I valori di tf ine così ottenuti sono numeri a 10 bit e possono ipoteticamente assumere
tutti i valori da 0 a 1023; in realtà essi occupano un intervallo compreso circa tra 150 e 500, e la loro distribuzione presenta un andamento non uniforme, dovuto alla non linearità del TDC [47]. Questo è mostrato in figura 5.2, dove sono riportate le occorrenze dei valori di tf ine per una TAC di un canale.
Figura 5.2: Distribuzione del tf ine. Sulle ascisse sono rappresentati i valori assunti da tf inedi una
tac di un canale e sulle ordinate le occorrenze. Si può notare la forma ondulata di tale distribuzione dovuta alla non linearità del TDC.
Per poter costruire il tempo di arrivo di ogni evento (time stamp) è necessario correlare questi numeri a 10 bit ad un valore temporale, cioè alla fase del clock cor- rispondente all’arrivo dell’evento. Nei prossimi paragrafi sono illustrati due metodi di calibrazione: il primo metodo, quello standard, sfrutta la calibrazione lineare del segnale campionato, mentre il secondo, il metodo cumulativo sviluppato nell’ambito di questo lavoro di tesi, tiene conto delle irregolarità della distribuzione. Entrambe
le calibrazioni vengono fatte off-line, ossia non in fase di acquisizione dei dati, ma sono applicate durante la conversione degli stessi 1.
5.2.1
Calibrazione lineare
Tramite dei programmi sviluppati con LabVIEW®2 è possibile svolgere dei test di
calibrazione del TDC. Questi utilizzano un segnale di fase nota inviato da ciascuno dei chip per determinare un valore costante di tf ine. Per ogni TAC di ogni canale di
ogni chip vengono inviati quattro segnali con sfasamento noto rispetto al periodo del clock. Da questi quattro segnali si ottengono quattro valori a 10 bit (tf ine ) sui quali
viene poi effettuato un fit lineare. Durante la conversone dei dati, eseguita sempre tramite un programma in LabVIEW®, i parametri ottenuti da questo fit vengono
utilizzati per determinare, per ogni valore assunto da tf ine per ogni TAC di ogni
canale, la corrispondente fase rispetto al periodo, fornendo così un valore compreso tra 0 e 8.3 ns. Tuttavia questo procedimento non tiene conto della distribuzione irregolare del fine time e della diversa probabilità che hanno diversi valori di essere campionati. É stato inoltre osservato che in alcuni casi i valori estrapolati dal fit sono errati. Questi due fattori portano ad una minor precisione nella costruzione del time stamp.
5.2.2
Metodo della distribuzione cumulativa
Poiché la precisione nella determinazione del time stamp è fondamentale per poter migliorare la risoluzione temporale e implementare quindi l’algoritmo di ricostruzio- ne delle immagini con l’informazione TOF, in questo lavoro di tesi è stato sviluppato un metodo di calibrazione alternativo, più preciso rispetto a quello lineare descritto nel paragrafo 5.2.1, che tiene conto delle irregolarità nella distribuzione del fine time. Tale metodo prevede la calibrazione di ogni set di dati a partire dai dati stessi e fornisce quindi due grandi vantaggi: innanzitutto la calibrazione risulta essere au- toconsistente, evitando le imprecisioni o gli errori dovuti ai test di calibrazione, e in secondo luogo questo evita di dover effettuare test di calibrazione prima di ogni turno di misure.
Il metodo di calibrazione proposto in questa tesi prevede l’utilizzo della distribu- zione cumulativa, grazie alla quale è possibile tenere conto delle diverse probabilità
1I dati, per poter essere analizzati, devono essere convertiti dal formato a frame descritto nel
paragrafo 3.2.1 al formato finale con il time stamp ricostruito.
con cui viene campionato ciascun differente valore di tf ine. Poiché ogni canale ha 4
TAC per il campionamento del tf ine e ognuna di esse ha un comportamento simile
ma non necessariamente identico, è necessario generare una mappa di calibrazione per ogni TAC di ogni canale del sistema. Quindi per ogni TAC di ogni canale si con- tano le occorrenze dei valori assunti da tf ine e si genera la distribuzione cumulativa.
La distribuzione cumulativa F (x) per una variabile aleatoria discreta xi è definita
come [49] la probabilità di osservare un valore minore o uguale a x, ossia:
F (x) = X
xi≤x
P (xi) (5.1)
dove P (xi) rappresenta la probabilità di osservare il valore xi. Quindi per un certo
tf ine = ¯t il valore della distribuzione è dato dalla somma delle occorrenze ottenute
fino a ¯t. Normalizzando la distribuzione, ossia dividendo per il numero totale di eventi registrati da una TAC di un canale, si ottiene per un certo ¯t la percentuale di eventi con tf ine ≤ ¯t. Imponendo che l’inizio della distribuzione corrisponda all’inizio
del periodo di clock (t=0 ns), e la fine della distribuzione al termine del periodo di clock (t=8.3 ns), si ottiene la funzione di calibrazione del fine time. Le funzioni di calibrazione ottenute in questo modo per ogni TAC di ogni canale sono state applicate al tf ine, ottenendo dei valori compresi tra 0 e 1 ai quali, come descritto nel
paragrafo 3.2.1, si deve sommare 1 o 2 a seconda della parità del tcoarse, per cui i
valori finali di tf ine calibrato (tf ine,c) saranno inclusi nell’intervallo [1-3]. Una volta
calibrato il fine time si deve infine costruire il time stamp, ossia il tempo di arrivo, per ogni evento secondo l’equazione 5.2:
time = (f rameID× 1024 + tcoarse+ tf ine,c+ of f set) × Tclock (5.2)
dove:
• frameID è il numero del frame in cui è stato registrato l’evento. Ogni frame
ha una durata di 1024 colpi di clock, per cui questo valore fornisce la misura più grossolana del tempo a partire dall’inizio dell’acquisizione
• tcoarse è il coarse time e indica i colpi di clock dall’inizio della frame in cui è
registrato l’evento
• tf ine,c è il valore del tf ine calibrato come descritto sopra
– of f set = 4 se tcoarse pari e tf ine,c > 2.5
– of f set = 3 se tcoarse dispari
In figura 5.3 sono riportate, per ogni TAC di ogni canale di ogni chip, le curve di calibrazione (ossia le distribuzioni cumulative normalizzate). In figura 5.4 sono invece rappresentate le distribuzioni del fine time calibrato per ogni (chip, canale, TAC). Si può notare che queste risultano avere un andamento quasi piatto e uni- forme, al contrario della distribuzione dei valori di tf ine non calibrati. Nel prossimo
capitolo sarà discusso come questo metodo di calibrazione influisca sulla risoluzione temporale del sistema.
Figura 5.3: La curva di calibrazione è ottenuta, per ogni chip, canale e TAC, dalla distribuzione cumulativa delle occorrenze di ciascun valore del fine time.