Calibrazione tramite reticolo piano

Capitolo 4. La calibrazione di camere digitali non metriche

Self Calibration, cioè senza alcuna informazione riguardo lo spazio oggetto,

utilizzando le immagini di un reticolo piano di calibrazione. Il reticolo è fornito con il software PhotoModeler Pro 5 ed è mostrato in Figura 4.3.2-1; le 16 immagini utilizzate per il processamento sono state acquisite includendo alcune immagini ruotate di ± 90° secondo lo schema illustrato nella Figura 4.3.2-2.

Figura 4.3.2-1 Reticolo piano di calibrazione fornito dal PhotoModeler Pro5.

Figura 4.3.2-2 La geometria di acquisizione delle immagini per la calibrazione. I risultati ottenuti sono mostrati nelle Tabelle 4.3.2-3 e 4.3.2-4. Nel 1° test effettuato sono state impostate le seguenti opzioni:

- deviazione standard a priori dell’unità di peso: σ0 = 1 pixel = 0,006 mm nel

caso in esame;

- precisione a priori delle coordinate immagine: 0,25 pixel; se i punti sono collimati per Image Matching in automatico tale valore può anche essere

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inferiore, fino a 1/10 del pixel, ma nel caso in esame si è scelto un valore più elevato in quanto è stata necessaria una consistente fase di correzione manuale della collimazione automatica eseguita dal PhotoModeler, specialmente ai lati del reticolo, probabilmente resa problematica dalla geometria di acquisizione delle immagini;

- APs incogniti: distanza focale c, coordinate del punto principale XP, YP,

K1, K2 parametri della distorsione radiale, P1, P2 parametri della distorsione

tangenziale (il parametro K3, lo shape factor e lo shear factor sono stati fissati a

0 [Remondino and Fraser, 2006]).

- Il sistema di riferimento immagine ha centro nello spigolo in alto a sinistra dell’immagine, asse x verso destra, asse y verso il basso.

APs PhotoModeler Australis SGAP

Valore (mm) σ associato (mm) Valore (mm) σ associato (mm) Valore (mm) σ associato (mm)

c 21,330 9,0 E-03 21,257 9,0 E-03 21,264 9,4 E-03

XP 11,144 1,7 E-02 11,143 1,7 E-02 11,140 1,8 E-02

YP 7,387 2,0 E-02 7,412 1,9 E-02 7,423 2,0 E-02

K1 2,478 E-05 6,7 E-06 2,591 E-05 6,7 E-06 2,920 E-05 6,9 E-06

K2 -3,379 E-07 5,3 E-08 -3,533 E-07 5,4 E-08 -3,890 E-07 5,6 E-08

P1 -1,526 E-05 1,4 E-05 -1,672 E-05 1,4 E-05 -1,960 E-05 1,5 E-05

P2 1,419 E-05 1,6 E-05 1,459 E-05 1,5 E-05 2,180 E-05 1,6 E-05

Tabella 4.3.2-3 Parametri addizionali (1° Test) per la camera Canon EOS 350D e scarti quadratici medi associati, ottenuti con diversi software.

Software σ0 a posteriori (pixel) RMS_vxy (micron) σ_XYZ (mm)

PhotoModeler 1.10 6.19 0.142/0.139/0.154

Australis 1.12 6.30 0.145/0.142/0.158

SGAP 1.16 6.48 0.114/0.107/0.127

Tabella 4.3.2-4 Valore della stima a posteriori della varianza dell’unità di peso, scarto quadratico medio dei residui sulle coordinate immagine dei punti (RMS_vxy) e precisione teorica delle coordinate

oggetto dei punti (σ_XYZ), ottenuti con diversi software.

Osservando i dati contenuti in queste due tabelle è possibile fare alcune iniziali considerazioni:

I risultati ottenuti con i tre software sono tra loro paragonabili.

La deviazione standard a posteriori dell’unità di peso è all’incirca pari a 1 pixel in tutte e tre le computazioni; questo è un primo indicatore della riuscita del processo.

Riguardo i punti collimati è importante controllare i residui sulle coordinate immagine, cioè sulle osservazioni, per verificare la presenza di errori grossolani; l’osservazione affetta dall’eventuale errore grossolano va individuata tramite l’analisi dei residui normalizzati (vedi

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Appendice A).

Le σ_XYZ indicano che precisione si è raggiunta nella determinazione delle coordinate oggetto dei punti.

Riguardo la determinazione dei parametri addizionali è evidente un problema che riguarda le coordinate del punto principale ed i due parametri della distorsione tangenziale; essi presentano infatti una deviazione standard associata che è dello stesso ordine di grandezza del parametro stesso, cioè il suo valore è indeterminato.

L’analisi del coefficiente di correlazione fra i APs ha evidenziato una correlazione elevata, nel caso in esame superiore al 90%, fra Xp e P1

(92%) e fra YP e P2 (93%); questo fatto, insieme a quello evidenziato nel

punto precedente, suggeriscono di eliminare dagli APs incogniti i parametri della distorsione tangenziale.

Tutte le informazioni indicate finora sono rese disponibili dai tre software in output alla fase di processing; un ulteriore test statistico sui APs è però raccomandato, specialmente quando la geometria di acquisizione delle prese non è ottimale per la calibrazione e quando vi è un’elevata correlazione fra i parametri addizionali [Remondino & Fraser, 2006].

Il software SGAP permette di ottenere in output i risultati di un test di significatività sui APs per ogni iterazione della compensazione1; per l’ultima i risultati sono riportati nella Tabella seguente.

1

Il test di significatività sui parametri addizionali avviene tramite un test statistico di Student, in cui l’ipotesi nulla è che “il parametro addizionale x non è significativo”; il test utilizza la variabile t:

ii q 0 σˆ 1 xˆ i σˆ 1 xˆ t= = (1) dove: i

xˆ = valore stimato del parametro addizionale i

i

σˆ = deviazione standard del parametro addizionali i

Fissato un certo livello di confidenza α, si può ricavare dalle tabelle della distribuzione di Student, il valore critico corrispondente tα; a questo punto si confrontano i due valori:

- se t < tα, il parametro non è significativo;

- se t > tα il parametro è significativo.

Un test di Student ha valore se le variabili analizzate sono indipendenti fra di loro e questo è notoriamente non vero per i parametri addizionali; in realtà si dovrebbero quindi usare come riferimento distribuzioni diverse, ad esempio la Fischer, che è bi-dimensionale.

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Parametro Ratio Significatività

Xp 2.3 Sì YP 1.1 No ∆c 78.7 Sì K1 4.2 Sì K2 6.9 Sì P1 1.3 No P2 1.4 No

Tabella 4.3.2-5 Test di significatività sui parametri addizionali.

Come sottolineato nella tabella i risultati del test evidenziano ulteriormente un problema riguardante la determinazione dei due parametri della distorsione tangenziale, che si è scelto quindi di eliminare dal calcolo, e della coordinata YP

del punto principale.

I risultati della calibrazione ottenuta fissando a 0 anche la distorsione tangenziale sono riportati nella Tabella 4.3.2-6, in cui risulta che la precisione associata alle coordinate del punto principale è aumentata di un ordine di grandezza rispetto al 1° Test:

APs PhotoModeler Australis SGAP

Valore (mm) σ associato (mm) Valore (mm) σ associato (mm) Valore (mm) σ associato (mm)

c 21,327 8,0 E-03 21,253 8,4 E-03 21,258 8,7 E-03

XP 11,162 7,0 E-03 11,161 6,7 E-03 11,160 6,9 E-03

YP 7,405 7,0 E-03 7,394 6,8 E-03 7,397 7,0 E-03

K1 2,423 E-05 6,6 E-06 2,524 E-05 6,6 E-06 2,850 E-05 6,8 E-06

K2 -3,372 E-07 5,3 E-08 -3,524 E-07 5,4 E-08 -3,870 E-07 5,5 E-08

Tabella 4.3.2-6 Parametri addizionali (2° Test) per la camera Canon EOS 350D e scarti quadratici medi associati, ottenuti con diversi software.

Senza entrare in ulteriori dettagli è opportuno aggiungere che anche in questo 2° Test si è verificata la non significatività di YP; nel caso in esame

quindi la scelta migliore riguardo tale parametro è quella di fissarlo a 7,4 mm, cioè nel centro dell’immagine.

Al fine di evidenziare l’importanza di una opportuna geometria delle prese, soprattutto quando la calibrazione avviene tramite un reticolo piano di punti, si sono condotti ulteriori esperimenti eliminando dal set delle immagini quelle ruotate di ± 90°. In questo caso si sono fissati per la camera 10 diverse posizioni del punto principale e come mostrato in Figura 4.3.2-7, per ognuna di queste l’algoritmo di Bundle Adjustment è riuscito ad “adattare” la soluzione ai dati

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disponibili, dando sempre risultati paragonabili tra loro e con quelli dei due Test descritti precedentemente e accettabili in termini di deviazione standard a posteriori dell’unità di peso; questo significa che la determinazione del punto principale non può avvenire con certezza con una tale geometria di acquisizione.

RMS_Vxy e Sigma 0 della calibrazione

0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numero di test con differenti Xp e Yp

Sigma0 RMS_Vxy

Figura 4.3.2-7 Valori della deviazione standard a posteriori dell’unità di peso e scarto quadratico medio dei residui sulle coordinate immagine dei punti, ottenuti settando 10 diverse posizioni del punto

principale per una stessa camera.