10.1 - Definizione di . Numeri razionali, irrazionali, algebrici, trascendenti.‘ Vale il seguente importante teorema del quale omettiamo la dimostrazione:
Teorema 10.1.1
Esiste un campo ordinato completo, e tutti i campi ordinati completi sono isomorfi fra loro.
Il teorema 10.1.1 consente di porre la seguente definizione: si dice campo dei numeri
reali, e si indica con , un campo ordinato completo. Nel seguito, coi simboli “ ” e “ ”‘ ! "
indicheremo sempre gli elementi neutri di per, rispettivamente, la somma e il prodotto.‘ Per il teorema 9.4.11, l’insieme dei numeri reali che si possono scrivere nella forma Ð7 † "Ñ † Ð8 † "Ñ" con , 7 8 −™ è un sottocampo di isomorfo al campo dei numeri‘ razionali. Gli elementi di tale sottocampo si dicono reali razionali; gli elementi del complementare si dicono reali irrazionali. Nel seguito identificheremo sempre, come è usuale, il numero reale razionale Ð7 † "Ñ † Ð8 † "Ñ" con il numero razionale rappresentato dalla frazione .78
Sia !−‘. Si dice che è ! algebrico se esiste un polinomio pÐBÑ −™[ ] tale cheB pÐ Ñ œ !! , ossia se è radice di un opportuno polinomio a coefficienti interi. Si dice che è! !
trascendente se non è algebrico, ossia se non è radice di alcun polinomio a coefficienti interi.
Osservazione 10.1.2
Ogni numero razionale è algebrico.
Dimostrazione Sia 78 −. Allora 78 è radice del polinomio 8B 7 −™[ ].B
Per l’osservazione 10.1.2, ogni numero trascendente è irrazionale; esistono tuttavia numeri irrazionali algebrici (cfr. 10.3). In altri termini, l’insieme dei numeri razionali è un sottoinsieme proprio dell’insieme dei numeri algebrici che a sua volta è un sottoinsieme proprio di .‘
Si dice valore assoluto di e si indica con B ± B ± la funzione ‘Ä‘ così definita: se
se .
± B ± ³ B B !
B B !
10.2 - La rappresentazione dei numeri reali sulla retta.
Supponiamo di aver fissato nel piano una unità di misura . I numeri reali cih consentono di assegnare una misura anche ai segmenti non commensurabili con : per ognih segmento , si considera l’insieme delle misure di tutti i segmenti contenuti in ef f commensurabili con (cfr. 1.4); tale insieme non è vuoto ed è superiormente limitato (cfr.h [9], Assioma V-1) e dunque, per la completezza di , ammette un estremo superiore, che si‘ assume come misura di .f
Se P", P# sono punti distinti del piano, la misura del segmento che li ha per estremi si dice distanza fra P" e P#, e si indica con (d P", P#Ñ. Conviene definire la distanza tra punti anche nel caso in cui questi coincidano; se è un punto del piano, si pone ( , )P d P P œ !.
Si può dimostrare il seguente importante teorema:
Teorema 10.2.1
Esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti della retta e l’insieme deif e ‘ numeri reali. Fissati in due punti (e O origine) e (U punto unità), resta univocamentef determinata dalle condizioni
Ð3Ñ f OÐ )œ !; Ð33Ñ f UÐ Ñ œ ";
Ð333Ñ comunque presi P", P# −e, il segmento P P" # ha misura |f PÐ "Ñ Ðf P#Ñ| rispetto all’unità di misura OU.
Una corrispondenza biunivoca fra e che verifichi le condizioni e ‘ Ð3Ñ Ð33Ñ Ð333Ñ, e del teorema 10.2.1 si dice un sistema di riferimento cartesiano su , oppure un e sistema di ascisse
su ; per il teorema 10.2.1, essa resta completamente individuata dalla scelta dei punti e .e O U
Osservazione 10.2.2
Sia un sistema di riferimento cartesiano su . La funzione inversa f e f" (cfr. 4.6) è una corrispondenza biunivoca fra e che “estende” la rappresentazione dei numeri razionali‘ e descritta in 1.8.
10.3 - La radice -sima di un numero reale.8
Sia + −‘, e sia 8 −. Si dice radice -8 sima di , e si indica con + È8 +, un numero reale < ! tale che sia < œ +8 .
Teorema 10.3.1
Per ogni + −‘, e per ogni 8 −, esiste una e una sola radice -sima di .8 +
Cenno sulla dimostrazione Sia Xœ ÖB − ‘/B Ÿ ×8 a . L’insieme èX
superiormente limitato (da se + + ", da altrimenti) e dunque ha un estremo superiore " B!: si dimostra che B œ +!8 mostrando che non può essere B +!8 né B +!8 (nel caso 8 œ #, tale dimostrazione è identica a quella che abbiamo visto in 5.6.4).
Che la radice -sima di sia unica segue poi dal fatto che 8 + Ð! B CÑ Ê ÐB C Ñ8 8 .
La nozione di radice n-sima si estende ai numeri reali negativi quando è dispari8 , ponendo .per + ! 8 e dispari È8 + ³ È8 +
10.4 - Potenze in .‘
Sia un numero reale, e sia un numero naturale., !
Se ! #, si dice potenza di base ed , esponente , e si indica con ! ,!, il prodotto di ! fattori uguali a . Si pone poi , , ³ ," e , ³ "! .
Si dimostra facilmente che, comunque presi , + , − ‘ e comunque presi , ! " −™, valgono le proprietà
10.4.P1 ;Ð+,Ñ œ + ,! ! !
10.4.P2 ;+! " œ + +! "
10.4.P3 .Ð+ Ñ œ +! " !"
Sia un numero reale, e sia un numero intero positivo., !
Si dice potenza di base ed , esponente !, e si indica con ,!, il reciproco della potenza di base ed esponente , ossia, ! ,! ³ Ð, Ñ! ".
Si dimostra facilmente che continuano a valere le proprietà 10.4.P1, 10.4.P# e 10.4.P$
Teorema 10.4.1
Siano 7 7 −", # ™ e 8 8 −", # ™ tali che 78"" œ 78##. Per ogni , −‘, si ha
È È
8" 8#
" #
,7 œ ,7 .
Dimostrazione Procediamo per assurdo, e supponiamo che sia (ad esempio)
È È
8" " 8# #
,7 ,7 .
Poiché È8" ,7" e È8# ,7# sono per definizione maggiori di zero, si ha allora (per la ( ) del@3 teorema 9.4.8)
ŠÈ8" ‹ ŠÈ8# ‹
" #
" # " #
,7 8 8 ,7 8 8 .
D’altro lato, per la 10.4.P3,
ŠÈ8" ‹ ŠŠÈ8" ‹ ‹ a b " " " # " # " # " # ,7 8 8 œ ,7 8 8 œ b7 8 œb7 8 e analogamente ŠÈ8# ‹ ŠÈ8# ‹ ŠŠÈ8# ‹ ‹ a b # # # " # # " # " # " # " ,7 8 8 œ ,7 8 8 œ ,7 8 8 œ 7 8 œ 7 8 b b .
Pertanto ,7 8" # ,7 8# ", e ciò è assurdo perché per ipotesi 7 8 œ 7 8" # # ".
Sia ora un numero reale positivo, e sia un numero razionale, , ! !œ 78 con 7 −™ e 8 − ™.
Si dice potenza di base ed , esponente , e si indica con ! ,!, la radice -sima (cfr.8 10.3) della potenza di base ed esponente , ossia, 7
, ³78 È8 ,7.
Per il teorema 10.4.1, la definizione data non dipende dalla particolare frazione 78 scelta per rappresentare . Si può dimostrare che continuano a valere le proprietà ! 10.4.P1,
10.4.P# e 10.4.P$ comunque presi , + , −‘ e comunque presi , ! " −.
Sia un numero reale maggiore di , e sia un numero reale. L’insieme, " ! ÖB −‘ / B œ ,> con numero (reale) razionale minore o uguale ad > !×
non è vuoto, e (si può dimostrare che) è superiormente limitato da ogni numero reale della forma ,8 con numero (reale) razionale maggiore di . Tale insieme ha pertanto estremo8 ! superiore. Si dice potenza di base ed , esponente , e si indica con ! ,!, l’estremo superiore di tale insieme, ossia
Sia un numero reale, positivo minore di , e sia un numero reale. L’insieme" ! ÖB −‘ / B œ ,> con numero (reale) razionale minore o uguale ad > !×
non è vuoto, e (si può dimostrare che) è inferiormente limitato da ogni numero reale della forma ,8 con numero (reale) razionale maggiore di . Tale insieme ha pertanto estremo8 ! inferiore. Si dice potenza di base ed , esponente , e si indica con ! ,!, l’estremo inferiore di tale insieme, ossia
, ³! inf ÖB −‘ / B œ ,> con numero (reale) razionale minore o uguale ad > !×.
Si pone infine " ³ "! per ogni !−‘. Si è così definita la potenza di base ed, esponente per ogni numero reale positivo e per ogni numero reale . Si noti che tale! , ! potenza risulta sempre essere un numero reale positivo.
Si può dimostrare che continuano a valere le proprietà 10.4.P1, 10.4.P# e 10.4.P$
comunque presi , + , −‘ e comunque presi , ! "−.
Teorema 10.4.2
Sia un numero reale positivo diverso da . L’applicazione , " exp,:‘Ä‘ definita ponendo exp,ÐBÑ ³ ,B è un isomorfismo tra i gruppi Б, Ñ Ð e ‘, † Ñ.
Dimostrazione Poiché , !, (W exp,Ñ œ‘; per la 10.4.P#, exp, è un
omomorfismo tra i gruppi Б, Ñ e Б, † Ñ. Omettiamo la dimostrazione della iniettività e della suriettività di exp,.
Sia un numero reale positivo diverso da , e sia , " exp,:‘Ä‘ l’isomorfismo considerato nel teorema 10.4.2. La funzione inversa (cfr. 4.6) è un isomorfismo tra i gruppi Б, † Ñ Ð e ‘, Ñ che si dice logaritmo in base e si indica con , log,. Si ha dunque
C œlog,ÐBÑ Í , œ BC .
Teorema 10.4.3
Siano , numeri reali positivi diversi da . Per ogni + , " B − ‘, si ha log,ÐBÑ œ loglog+
+
ÐBÑ Ð,Ñ.
Dimostrazione Dobbiamo provare che log+ÐBÑ œ log+Ð,Ñ †log,ÐBÑ, ossia che
+log+Ð,цlog,ÐBÑ œ B.
In effetti, +log+Ð,цlog,ÐBÑ œ +ˆ log+Ð,щlog,ÐBÑ œ ,log,ÐBÑ œ B come si voleva.
10.5 - L’insieme ‘8.
Sia un numero intero positivo.8
Coerentemente con quanto già stabilito in 3.9, diremo -8 pla ordinata di numeri reali un ente caratterizzato da numeri reali (detti 8 componenti dell’ -pla) e dall’ordine in cui8 questi vengono considerati. L’insieme di tutte le -ple ordinate di numeri reali si indica con8 ‘8.
Gli elementi di ‘# (cioè, le -ple ordinate di numeri reali) si dicono # coppie ordinate di
numeri reali. Gli elementi di ‘$ (cioè, le -ple ordinate di numeri reali) si dicono $ terne
ordinate di numeri reali.
Esempio 10.5.1
Sono coppie ordinate di numeri reali: Ð1, $ Ñ; Ð& "#, ); Ð ( #, 1 $ Ñ.
# È & È
Sono terne ordinate di numeri reali: ( , , " ! $); ÐÈ1 " "#&, , "&( Ñ; Ð# "# ), , ). Sono -ple ordinate di numeri reali:% ÐÈ& #È , , ( "$ %"%, ) ( , , ; " ! " !, ) ; Ð #, , ", $Ñ.
$
1 È È
1
Sia un numero intero positivo.8
Nell’insieme ‘8 è utile definire un’operazione (cfr. 7.1) detta somma e indicata con , ponendo:
Ð+ + á + Ñ Ð, , á , Ñ ³ Ð+ , + , á + , Ñ", , , # 8 ", , , # 8 " ", # #, , 8 8 .
Si definisce anche il prodotto di un elemento di ‘8 per un numero reale, ponendo: -Ð+ + á + Ñ ³ Ð +", , , # 8 - ", , , -+ á# -+ Ñ8
per ogni - −‘ e per ogni Ð+ + á + Ñ −", , # , 8 ‘8. Si noti che questo “prodotto” non è un’operazione nel senso definito in 7.1.
Esempio 10.5.2
Si ha ( , " # $ $ $ " œ % " #, ) ( , , ) ( , , ) e ( , , & 1 " ' $ , ) ( , 1, , )$ " œ ) ! # (( , , , ). La scrittura ( , " # $ &, ) ( , , 1 " ', ) non ha senso (infatti si è definita la somma in ‘8 per ogni numero intero positivo ma non si è definita la somma fra un elemento di 8 ‘8 e un elemento di ‘7 quando 8 Á 7).