3.1 - Introduzione.
In questa sezione stabiliamo le “regole del gioco” per quando parliamo di insiemi, fissando quattro modi per indicarli. Ciò è importante non solo per esigenze di chiarezza, ma anche perché postuliamo “a priori” una volta per tutte l’esistenza di ogni insieme definito con tali criteri. Si dimostra che la teoria così costruita non è contraddittoria.
3.2 - Definizione mediante elenco degli elementi.
Accetteremo di definire un insieme indicandone tra parentesi graffe tutti gli elementi separati da virgole (si ricordi che abbiamo stabilito che un insieme èÐ Ñ7
completamente caratterizzato dai suoi elementi). Ad esempio, se , , a a" # á, sono tutti e solia8
gli elementi dell’insieme , scriveremoA
Aœ Öa a", , , .# á a8×
Si noti che questo tipo di definizione può essere adottato solo per gli insiemi che hanno un numero finito di elementi.
Esempi
3.2.1 Aœ Ö" & #$ %* ('×, , , , ;
3.2.2 Bœ Ö ™, , × (si osservi che −B ma §y B) ; 3.2.3 Cœ Ö& $(, , , × ;
3.2.4 Dœ Ö , Ö ××. Gli insiemi , Ö × ÖÖ ×× ÖÖÖ ××× á, , , sono tutti distinti fra loro.
3.3 - Definizione mediante una proprietà caratteristica.
Sia un insieme. Accetteremo di definire un sottoinsieme di specificando unaB A B proprietà che ne caratterizza gli elementi fra tutti gli elementi di . Precisamente, se B pÐBÑ è una proposizione aperta con variabile libera su (cfr. 2.3), scriveremoB B
Aœ ÖB −B p / ÐBÑ×
(si legge: è l’insieme degli appartenenti a tali che A B B pÐBÑ) per indicare il sottoinsieme di B formato da tutti e soli gli elementi per i quali pÐBÑ è vera. Come vedremo (3.3.3), è essenziale che sia “immerso” in un insieme già definito.A B
Esempio 3.3.1
L’insieme dei numeri naturali il cui quadrato non supera #!! può essere indicato scrivendo ÖB − / B Ÿ #!!×# .
Teorema 3.3.2
Esiste un (unico) insieme che non ha elementi; esso si dice insieme vuoto e si indica con . Perg ogni insieme , si ha I g §I.
Dimostrazione Sia un qualunque insieme; allora l’insieme A g ³ ÖB −A /
B Á B× esiste (perché è definito come convenuto in 3.3) e non ha elementi (perché B Á B è falso qualunque sia ).B
Sia ora un insieme. Dobbiamo provare che I g §I, ossia che ÐaB − gÑ ÐB − ÑI . Per quanto visto nelle osservazioni 2.2.5 e 2.3.6, questo enunciato ha lo stesso valore di verità di
e di .
c Ðc ÐÐaB − gÑ ÐB − ÑÑÑI c ÐÐbB − gÑ ÐB Â ÑÑI
Ma quest’ultima proposizione è certamente vera, perché in non ci sono elementi.g
In particolare, esiste un solo insieme vuoto (anche se può essere definito come sopra a partire da insiemi diversi). Un insieme distinto da sarà detto A g non vuoto.
Teorema 3.3.3
Non esiste un “insieme di tutti gli insiemi”, cioè: non esiste un insieme di cui ogni insieme sia elemento.
Dimostrazione Sia per assurdo l’insieme di tutti gli insiemi, e si consideriU
Aœ ÖX−U X /  ×X .
Se fosse A−A, per definizione di sarebbe A AÂA, e ciò è assurdo. Allora AÂA; ma poiché A−U ne segue A−A, assurdo. Se si accetta il postulato di esistenza degli insiemi definiti come in 3.3, bisogna dunque negare l’esistenza dell’insieme .U
Lo stesso paradosso, dovuto a B. Russel, mostra perché nella definizione di A mediante una proprietà caratteristica abbiamo dovuto chiedere che fosse sottoinsieme di unA insieme .X
Esercizio [*] 3.3.4
Fissato un insieme , si consideri B Aœ ÖX−B X /  ×X . Perché non c’è contraddizione? Può essere A−A? Può essere AÂA? Può essere A−B?
3.4 - Definizione come unione di insiemi già definiti.
Sia un insieme di insiemi. Esiste un insieme i cui elementi sono tutti e soli gli\ elementi degli insiemi che appartengono a .\
Tale insieme si indica con \ e si dice unione degli insiemi che costituiscono : ci\ torneremo sopra in 3.6.
3.5 - L insieme delle parti.’
Sia un insieme. Esiste un insieme i cui elementi sono tutti (e soli) i sottoinsiemi diA A; esso si indica con ( ) e si dice c A insieme delle parti di .A
Si osservi che, per ogni insieme , a ( ) appartengono e .A c A g A
Esempio 3.5.1 Sia , ,Aœ Ö" # $×. Allora
c( )A œ Ö , ,A Ö" #× Ö" $× Ö# $× Ö"× Ö#× Ö$× g×, , , , , , , , .
3.6 - Unione, intersezione, differenza. Siano , A Binsiemi.
Si dice unione di e , e si indica con A B AB, l’insieme i cui elementi sono tutti e soli gli elementi di e gli elementi di . Con la notazione introdotta in 3.4: A B ABœ ÖA B, ×.
Si dice intersezione di e , e si indica con A B AB, l’insieme degli elementi di cheA appartengono anche a . Con la notazione introdotta in 3.3: B ABœ ÖB −A / B − ×B .
Si dice differenza di e , e si indica con A B A BÏ , l’insieme degli elementi di che nonA appartengono a . Con la notazione introdotta in 3.3: B A BÏ œ ÖB − A / B  ×B .
Se B§A, l’insieme A BÏ viene detto anche complementare di in , ed è indicatoB A (purché tale notazione non dia luogo ad equivoci) con Bc.
Esempio 3.6.1
Siano Aœ Ö" # $×, , , Bœ Ö# % ' )×, , , . Allora ABœ Ö" # $ % ' )×, , , , , , ABœ Ö#× e A BÏ œ Ö" $×, .
Esempio 3.6.2
Siano l’insieme dei triangoli e l’insieme dei rettangoli (entrambi sottoinsiemi del pianoA B euclideo). Allora ABœ g.
Esercizi
Siano , , sottoinsiemi dell’insieme . Si dimostrino le seguenti uguaglianze:A B C I 3.6.3 ABœBA; 3.6.4 (AB)CœA(BC); 3.6.5 A(BC)œ(AB)(AC); 3.6.6 A(AB)œA; 3.6.7 (AB)c œAcBc; 3.6.8 (AB) (Ï AB)œ(A BÏ )(B AÏ ).
Valgono le uguaglianze che si ottengono dalle precedenti scambiando con ?
Esercizi
Siano , , sottoinsiemi dell’insieme . Si dimostrino le seguenti uguaglianze:A B C I 3.6.9 ABc œA BÏ ;
3.6.10 A A BÏ( Ï )œAB;
3.6.11 A(B CÏ )œ(AB) (Ï AC);
3.7 - Unione e intersezione di una famiglia di insiemi. Partizioni.
Un insieme di insiemi si dice anche una famiglia di insiemi. Abbiamo definito in 3.4
l’unione di una famiglia di insiemi; in modo analogo si definisce l’intersezione di una famiglia
non vuota di insiemi (l’esistenza dell’insieme intersezione è garantita dal fatto che esso si può
definire secondo la regola fissata in 3.3 come l’insieme degli elementi di un insieme della famiglia che appartengono anche a tutti gli altri insiemi della famiglia).
Sia un insieme.A
Una famiglia di sottoinsiemi non vuoti di (eventualmente anche in numero infinito) si diceA
una partizione di se essi sono a due a due disgiunti e la loro unione è .A A
Esempio 3.7.1
Un fascio di rette parallele è una partizione del piano.
3.8 - Prodotto cartesiano. Siano , A Binsiemi.
Se a−A e b−B, sappiamo (per quanto convenuto in 3.2) che possiamo considerare l’insieme Öa b, (× §AB); spesso è però opportuno considerare un ente che sia caratterizzato non solo dai suoi elementi ma anche dall ordine in cui si considerano’ : tale ente si dice coppia ordinata Ð Ñ8 con prima componente e seconda componentea , e si indica conb Ða b, Ñ. Si noti che
se , a a’ −A e , b b’−B, si ha , Ða bÑœ Ða’ b’, Ñ se e solo se aœ a’ e bœb’; in particolare:
se a Áb, si ha sempre , Ða bÑÁ Ðb a, Ñ.
L’insieme di tutte le coppie ordinate , con Ða bÑ a−A e b−B si dice prodotto
cartesiano Ð Ñ9 di per e si indica con A B A‚B.
Esempio 3.8.1
Sia Aœ Ö" # $×, , e Bœ Ö! "×, . Si ha A‚Bœ ÖÐ" !Ñ Ð" "Ñ Ð# !Ñ Ð# "Ñ Ð$ !Ñ Ð$ "Ñ×, , , , , , , , , , , .
8 La definizione rigorosa di coppia ordinata è la seguente: ( , )a b ³ ÖÖa b, ×, a×.
9 Tenendo conto della nota precedente, il lettore attento potrà osservare che A‚B è un sottoinsieme di c c( (AB)), e quindi può essere definito come in 3.3; ciò, assieme a quanto postulato in 3.5, ne garantisce l’esistenza.
3.9 - -ple ordinate. Matrici.8
Come si è fatto in 3.8 per la coppia ordinata, si può considerare un ente caratterizzato da , , $ % á 8, elementi, detti componenti (appartenenti a certi insiemi prefissati), e dall’ordine in cui questi vengono considerati: si parla rispettivamente di terna ordinata quaterna,
ordinata, , á 8-pla ordinata.
Si tratta in sostanza di iterare il procedimento di costruzione delle coppie ordinate. Siano A", A#, A$ insiemi e siano a" −A ",a# −A#, a$ −A$: la terna ordinata individuata da a", a#, a$ (in questo ordine) si indica con (a", , a# a$Ñ e non è altro che l’elemento (Ð a", a#Ñ, a$Ñ
dell’insieme (A"‚A#Ñ ‚A$ (che, per semplicità, si indica a sua volta con A"‚A#‚A$Ñ. Particolare importanza rivestirà per noi il caso delle -ple ordinate di elementi di uno stesso8 insieme (l’insieme di tali -ple si indica con A 8 A8).
Sia un insieme, e siano , numeri interi positivi. Si dice A 7 8 matrice 7 ‚ 8 a
elementi in una -pla ordinata di -ple ordinate di elementi di , ossia un elemento diA 7 8 A
ÐA8 7Ñ . Una matrice 7 ‚ 8 potrebbe essere identificata con una 78-pla ordinata; in pratica, quando si parla di matrice gli elementi vengono scritti in una “tabella”
Î Ñ Ð Ó Ð Ó Ï Ò a a a a a a a a a "ß" "ß# "ß8 #ß" #ß# #ß8 7ß" 7ß# 7ß8 á á á á á á á
nella quale si evidenziano le 8-ple ordinate , , , , , , , , , ,Ða"ß" a"ß# á a"ß8Ñ á Ða#ß" a#ß# á a#ß8Ñ á Ða7ß", a7ß#, á, a7ß8Ñ, dette righe della matrice, e le -ple ordinate 7 Ða"ß", a#ß", á, a7ß"Ñ á, , Ða"ß#, , , , , , , , a#ß# á a7ß#Ñ á Ða"ß8 a#ß8 á a7ß8Ñ, dette colonnedella matrice. Sinteticamente, la matrice di termine generico a3ß4 si indica con Ða3ß4Ñ; le sue righe si indicano con a"߇, a#߇, á, a7߇ e le sue colonne con a‡ß", a‡ß#, á, a‡ß8.
4.- FUNZIONI
4.1 - Relazioni.
Siano , A Binsiemi.
Si dice relazione tra e un sottoinsieme del prodotto cartesiano A B A‚B.
Sia una relazione tra e , cioè sia 4 A B 4 §A‚B; se , Ða bÑ−4, si dice che gli elementi (dia A) e (di ) b B sono in relazione, e si scrive a b4 . In pratica si usa sempre la notazione a b4 anziché , Ða bÑ−4.
Intuitivamente, una relazione tra e è una “legge” che a ogni elemento di associaA B A qualche elemento di (eventualmente nessuno).B
Esempio 4.1.1 Siano
A³ Ö# $ & ( "" "$ "( "* #$ #* $" $( %" %$ %( &$ &* '" '( (" ($ (* )$ )* *( "!"×, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ;
B³ Ö8 − Î " Ÿ 8 Ÿ "!!× .
Si ponga per : −A e 8 −B
: 84 se e solo se è un divisore di .: 8
Si è così definita una relazione tra e ; si noti che alcuni elementi di sono in relazione4 A B A con un solo elemento di (è quanto accade considerando B : ³ &$ &* á *(, , , ), altri (: ³ $(, %" %$ %(, , ) con due, altri (: ³ #* $", ) con tre, ecc.. L’elemento di è in relazione con # A &! elementi di ; l’elemento B "!" di non è in relazione con alcun elemento di . Inoltre: piùA B elementi di possono essere in relazione con gli stessi elementi di ( , , sono tutti inA B # $ & relazione con , $! '! *!e ).
Esempio 4.1.2
Sia un insieme, e si ponga per A a−A e X©A
a X4 se e solo se a−X.