13.1 - Introduzione.
I sottoinsiemi del piano che si possono rappresentare con una equazione algebrica di primo grado sono tutte e sole le rette del piano. In questo capitolo sono raccolte le principali informazioni sulla traduzione algebrica di proprietà geometriche delle rette; nella sez. 13.8 vedremo un semplice esempio di applicazione del metodo delle coordinate.
In tutto il capitolo esclusa la sez( . 13.8)supporremo fissato un SdR cartesiano Oxy.
13.2 - Forma generale dell’equazione cartesiana di una retta.
Teorema 13.2.1
Ogni retta del piano si può rappresentare con una equazione della forma
13.2.F1 + , - œ !x y
dove , , sono numeri reali e , non sono entrambi nulli; e, viceversa, ogni equazione di+ , - + , tale forma (con , , + , - − ‘ e , non entrambi nulli) rappresenta una retta.+ ,
Inoltre, la retta di equazione 13.2.F1 è parallela all’asse sse x + œ !, ed è parallela all’asse y
sse ., œ !
Dimostrazione Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Teorema 13.2.2
I sottoinsiemi del piano che si possono rappresentare con un’equazione algebrica di primo grado sono tutte e sole le rette del piano.
Teorema 13.2.3 Le equazioni
+ , - œ !x y +’x ,’y - œ !’
(con , , , ’, ’, ’+ , - + , - − ‘, , non entrambi nulli, ’, ’ non entrambi nulli) rappresentano+ , + , la stessa retta se e soltanto se esiste un numero reale tale che ’- + œ + , œ , - œ -- , ’ - , ’ - .
Dimostrazione È chiaro che se esiste un numero reale tale che ’- + œ +- ,
, œ , - œ -’ - , ’ - , le equazioni date sono equivalenti e quindi rappresentano la stessa retta. Viceversa, supponiamo che le equazioni date rappresentino la stessa retta. Allora per ogni coppia ordinata di numeri reali (B C Ñ!, ! tale che +B ,C - œ !! ! deve essere anche + B , C - œ !’ ! ’ ! ’ . Per ipotesi, e non sono entrambi nulli; sia ad esempio + , + Á !. Per ogni numero reale , postoC! B ³ ! ,+C ! -+,
si ha +B ,C - œ !! ! e quindi anche ’+ B , C - œ !! ’ ! ’ ossia
’ ’ ’ ’ .
,++ C ! -++ , C - œ !!
Dunque quest’ultima uguaglianza, che si può scrivere anche
13.2.F2 Ð+, + ,ÑC œ + - +-’ ’ ! ’ ’,
deve essere verificata per ogni numero reale . Ciò comporta che sia C! +, œ + ,’ ’ e +- œ + - Ð Ñ’ ’ 21 ; posto -³ + , si ha a’œ -a, b’œ-b, c’œ-c come si voleva.
+ ’
13.3 - Equazione della retta per due punti. Teorema 13.3.1
Siano P" ´ B C Ñ( ", " e P# ´ B C Ñ( #, # due punti distinti del piano. La retta P P" # ha equazione 13.3.F1 (C C Ñ# " (x B Ñ B B Ñ" ( # " (y C Ñ œ !" .
Tale equazione, quando B Á B" # e C Á C" #, si può anche scrivere
xB y B B C C C " # " # " " œ .
Dimostrazione Per il teorema 13.2.1, l’equazione 13.3.F1 rappresenta una retta. È
immediato verificare che tale retta passa sia per P" che per P#; si tratta quindi della retta cercata.
21 Infatti, se fosse +, Á + ,’ ’ , la 13.2.F2 sarebbe verificata solo per C œ ; se fosse +, œ + ,’ ’ ma
! + -+-+, + ,’’ ’’
Esercizi
13.3.2 Determinare l’equazione cartesiana della retta passante per A´ Ð" #Ñ, e B´ Ð$ "Ñ, . 13.3.3 Determinare l’equazione cartesiana della retta passante per A´ Ð" #Ñ, e B´ Ð$ #Ñ, . 13.3.4 Determinare l’equazione cartesiana della retta per A´ Ð" #Ñ, e B´ Ð" "Ñ, .
13.4 - Forma esplicita dell’equazione di una retta.
Sia una retta (di equazione xr + , - œ !y ) non parallela all asse’ y. Allora , Á ! per il teorema 13.2.1; dunque ha anche equazioner
" ,( x+ , - œ !y ), ossia yœ +, x -, cioè, posto : œ +, e ; œ -, , yœ : ;x .
Dunque ogni retta non parallela all’asse ha equazione nella forma “y Ð esplicita”Ñ yœ : ;x con , : ; − ‘.
Ed è chiaro che ad ogni retta non parallela all’asse resta associata y una sola equazione in forma esplicita: infatti, se le equazioni yœ : ;x , yœ :’x ;’ rappresentano la stessa retta, per il teorema 13.2.3 esiste un numero reale tale che ’- : œ :- , " œ Ð "Ñ- , ; œ ;’ - , da cui si ricava subito che deve essere - œ " e quindi ’: œ : ; œ ;, ’ .
Analogamente si vede che ogni retta non parallela all’asse ha una e una solax
equazione nella forma xœ 7 8y con , 7 8 − ‘. Le rette parallele all’asse hanno equazione nella formay
xœ . con . − ‘.
Esercizi
13.4.1 Determinare l’equazione esplicita della retta x$ # # œ !y .
13.4.2 Determinare l’equazione esplicita della retta per P´ Ð # $Ñ, e Q´ Ð" $Ñ, . 13.4.3 Determinare l’equazione esplicita della retta per P´ Ð 1 1, Ñ e Q´ Ð( (Ñ, .
13.5 - Equazione della generica retta passante per un punto assegnato.
Sia P! ´ ÐB C Ñ!, ! un punto del piano. La generica retta passante per P! ha equazione
13.5.F1 +(x B Ñ ,! (y C Ñ œ !! .
È bene aver chiaro che con la 13.5.F1 si scrivono, al variare di e in , + , ‘ tutte le equazioni di tutte le rette passanti per P!. Spesso conviene considerare solo le equazioni esplicite delle rette cercate; supposto allora , Á ! e posto come in 13.4 : œ +, , la 13.5.F1
diventa
13.5.F2 y C œ :Ð B Ñ! x ! .
Con la 13.5.F# si scrivono, al variare di in , le equazioni esplicite di tutte le rette passanti: ‘ per P! non parallele all’asse .y
13.6 - Condizioni di parallelismo e ortogonalità fra rette.
Teorema 13.6.1
Le rette , di equazioni rispettivamente xr s + , - œ !y e ’x+ ,’y - œ !’ sono parallele se e solo se +, + , œ !’ ’ ; sono ortogonali se e solo se ++ ,, œ !’ ’ .
Dimostrazione Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Teorema 13.6.2
Le rette , di equazioni esplicite rispettivamenter s
yœ :"x ;"
yœ :#x ;#
sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare (ossia, : œ : Ñ" # ; sono ortogonali se e solo se il coefficiente angolare dell’una è l’opposto del reciproco del coefficiente angolare dell’altra (ossia, : œ " :"#Ñ.
Dimostrazione Per il teorema 13.6.1, e sono parallele se e solo ser s
! œ : Ð " : Ð " œ : :" ) # ) " #
ossia se e solo se : œ :" #. Ancora per il teorema 13.6.1, e sono ortogonali se e solo ser s : : Ð " Ð " œ !" # ) )
La relazione che lega il coefficiente angolare di una retta alla sua direzione è precisata dal seguente
Teorema 13.6.3
Sia una retta non parallela all’asse . Il coefficiente angolare di è la tangente trigonometricar y r
dell’angolo formato dall’asse e dalla retta .x r
Dimostrazione Sia il coefficiente angolare di . La retta parallela a passante: r r’ r
per l’origine ha equazione
yœ :x e gli angoli , xr xr^ ^ ’ sono congruenti.
È poi noto che la tangente trigonometrica dell’angolo xr^ ’ è l’ordinata del punto in cui r’
incontra la retta di equazione xœ " (tale retta è infatti la tangente alla circonferenza goniometrica che attraversa il primo e quarto quadrante); l’asserto è così provato.
Esercizio 13.6.4
Determinare la retta passante per P´ " &( , ) e parallela alla retta di equazione x# yœ !.
Esercizio 13.6.5
Determinare la retta passante per P´ # $( , ) e parallela all’asse delle .x
Esercizio 13.6.6
I punti A´ Ð $ ", ) e B´ # #( , ) sono vertici di un parallelogramma in cui Q´ Ð $ !, ) è l’intersezione delle diagonali. Trovare gli altri vertici e le rette dei lati.
Esercizio 13.6.7
Le rette di equazioni x # œ !y , x # "& œ !y sono due lati di un rettangolo di cui la retta di equazione x( # "& œ !y è una delle due diagonali.
13.7 - Distanza di un punto da una retta.
Siano un punto e una retta del piano. Detto P r R! il piede della perpendicolare condotta da a , per ogni altro punto di si haP r R r
d( , )P R d( , P R!Ñ
perché il triangolo PR R! è (per costruzione di R!Ñ rettangolo in R!, e l’ipotenusa di un triangolo rettangolo è sempre maggiore di ciascun cateto.
Dunque ( , d P R!Ñ è la minima distanza tra e i punti di ; essa si dice P r distanza tra e P r e si indica anche con ( , ).d P r
Esempio 13.7.1
Determiniamo la distanza di P´ & #( , ) dalla retta : xr # " œ !y .
La generica retta ortogonale a ha equazione xr # - œ !y , e passa per sseP # † & Ð # - œ !) , ossia sse - œ ); la perpendicolare condotta da a ha dunqueP r
equazione x# ) œ !y . Il punto in cui tale retta incontra ha per coordinate la soluzioneQ r
del sistema
x y
x y
œ# ) œ ! # " œ ! Þ Si trova che ha coordinate ( , ); dunque,Q $ #
d( , )P r œd( , )P Q œÈ(& $ Ð# #)# )# œÈ#! œ #È&.
Applicando il procedimento dell’es. 13.7.1 con P´ B C Ñ( !, ! e : xr + , - œ !y generici, si trova (con calcoli un po’ lunghi) che
13.7.F1 d P r( , )œ |+B ,C -| .
+ ,
! !
È # #
Esempio 13.7.2
Applicando la formula 13.7.F1 ai dati dell’esempio 13.7.1, si trova subito che
d( , )P r œ | ) | œ œ # &. ) &#† # " " # "! & Ð Ð È # È È
13.8 - Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti dati.
Siamo ora in grado di vedere un (semplicissimo) esempio di applicazione del metodo delle coordinate.
Siano dati due punti , del piano; vogliamo determinare il luogo geometrico deiA B punti del piano equidistanti da e .A B
A tale scopo: costruiamo un SdR cartesiano ortogonale, monometrico, positivamente orientato e “ben disposto” rispetto ad e per semplificare i calcoli (dalla geometriaA B passiamo all’algebra); determiniamo l’equazione cartesiana del luogo cercato (eseguiamo dei calcoli in ambito puramente algebrico); deduciamo dalle caratteristiche di tale equazione le informazioni che ci interessano (dal contesto algebrico ritorniamo alla geometria).
Questo percorso, qui particolarmente semplice, è quello tipico del metodo delle coordinate.
Sia un punto del piano.P
P appartiene al luogo geometrico considerato se e solo se verifica la
13.8.F1 d( , )P A œd( , ).P B
Costruiamo il nostro SdR cartesiano scegliendo l’asse delle ascisse coincidente con la retta AB; l’origine coincidente con ;A
l’asse delle ordinate ortogonale all’asse delle ascisse;
il punto unità sull’asse delle ascisse coincidente con e quello sull’asse delle ordinate inB modo che il SdR risulti monometrico e positivamente orientato. Con questa decisione abbiamo implicitamente assegnato il segmento AB come unità di misura per le distanze: ciò non crea problemi, perché la 13.8.F1 non dipende dall’unità di misura fissata.
Sarà dunque A´ ! !( , ), B´ " !( , ).
Elevando al quadrato ambo i membri della 13.8.F1 si ottiene la 13.8.F2 ( ( , )d P A Ñ œ# ( ( , )d P B Ñ#
che è equivalente alla 13.8.F1 perché la
d( , )P A œ d( , )P B
Siano (x, y) le coordinate di . Esprimendo la P 13.8.F2 mediante le coordinate di , P A e , si ottiene l’equazioneB
x#y# œ (x " )# y# ossia, semplificando,
xœ "#
che rappresenta la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto medio del segmento .AB
Dunque il luogo geometrico considerato è la retta passante per il punto medio del segmento AB e ortogonale ad esso: il cosiddetto asse del segmento AB.