12.1 - Orientamento della retta e del piano.
Sia una retta (che, come convenuto in 1.4, pensiamo come insieme di punti). Unar
relazione £ in si dice un r verso su ser
è una relazione di ordine totale in
Ð3Ñ £ r
e inoltre
Ð33Ñ comunque presi A B, −r,
se A¡B, allora A£P£B per ogni punto del segmento P ABqq. Una retta si dice orientata se è dato su di essa un verso.
Teorema 12.1.1
Sia una retta, e siano , punti distinti di . Esiste uno e un solo verso su per il qualer A B r r
A¡ .B
Dimostrazione Omettiamo la dimostrazione di questo teorema.
Sia una retta, e siano , punti distinti di . Si dice r A B r verso individuato dalla coppia
ordinata ÐA B, Ñ quel verso su (univocamente determinato, per il teorema 12.1.1) per il qualer
A precede .B
Corollario 12.1.2
Sia una retta. Esistono esattamente due versi su .r r
Dimostrazione Siano , due punti distinti di . Per il teorema 12.1.1, su esisteA B r r
esattamente un verso per il quale precede , ed esattamente un verso (necessariamenteA B distinto dal precedente) per il quale precede ; ma, d’altro lato, per ogni verso su deveB A r
aversi che precede oppure precede .A B B A
Osservazione 12.1.3
In qualche occasione (cfr. ad es. 12.3) avremo bisogno di stabilire un orientamento per il
piano. Non precisiamo qui formalmente, come invece si è fatto per la retta, che cosa significhi orientare il piano; diciamo solo, in modo grossolano, che si tratta di stabilire un “buon”
criterio che consenta, per ogni terna ordinata di punti non allineati del piano, di dichiararla “positivamente orientata” oppure “negativamente orientata”.
Nel seguito accetteremo la seguente convenzione informale. Sia ( , , ) una terna ordinataA B C di punti non allineati del piano; essi individuano una circonferenza . Se per incontrare , ,> A B C nell’ordine dato la circonferenza va percorsa nel senso positivo (cioè, in senso antiorario),> la terna ( , , ) si dice A B C positivamente orientata; se invece per incontrare , , nell’ordineA B C dato la circonferenza va percorsa nel senso negativo (cioè, in senso orario), la terna> ( , , ) si dice A B C negativamente orientata. È importante notare che questa convenzione non costituisce una vera e propria definizione, perché il significato delle espressioni “incontrare” e “percorrere in senso antiorario” non è stato precisato rigorosamente ma viene lasciato all’intuizione.
12.2 - Il “metodo delle coordinate”.
La geometria è il ramo della matematica in cui (dai tempi di Euclide! è stato piùÑ evidente il modo di procedere per definizioni e rigorose dimostrazioni. L’aspetto “creativo” delle dimostrazioni geometriche costituisce insieme il fascino e la difficoltà di questa materia: mentre per risolvere un’equazione di secondo grado (come supponiamo noto dalla scuola secondaria), per risolvere un sistema lineare (come vedremo nel cap. 14), per studiare una funzione (come vedremo nel cap. 23) esistono tecniche standard che lasciano poco spazio alla fantasia, chi affronta una dimostrazione di geometria affida all’intuizione la scelta se e come applicare i criteri di congruenza dei triangoli o le proprietà delle isometrie.
Un progetto per “tradurre” in linguaggio algebrico i problemi geometrici (e viceversa) è stato sviluppato dai matematici nel corso dei secoli. I primi passi in questa direzione si fanno risalire ad Apollonio di Perge (matematico e astronomo greco, 262-180 a. C. ma i contributiÑ più rilevanti sono stati probabilmente quelli di René Descartes (filosofo e matematico francese, 1596-1650, noto in Italia anche come “Cartesio” e Pierre de Fermat (matematicoÑ francese, 1601-1665). L’idea è (vagamente) quella di “etichettare” i punti del piano (enti geometrici) con coppie ordinate di numeri reali (enti algebrici) per poi lavorare (per via algebrica) su questi ultimi anziché (per via geometrica) sui primi. Si ottiene così un procedimento, noto come metodo delle coordinate, che consiste nell’esprimere un problema geometrico in termini algebrici, risolverlo (per via puramente algebrica) e interpretare geometricamente i risultati algebrici ottenuti.
In questo corso dobbiamo limitarci, per motivi di tempo, alla geometria piana; questo però sarà sufficiente per introdurre i concetti-chiave, e una generalizzazione allo spazio tridimensionale richiederebbe solo qualche nozione tecnico-tattica in più, senza comportare novità concettuali.
Abbiamo già visto (teorema 10.2.1) che, fissati su una retta due punti (e O origine) e
U (punto unità), esiste una corrispondenza biunivoca tra e tale chef e ‘
comunque presi P", P# − e, il segmento P P" # ha misura |f PÐ "Ñ Ðf P#Ñ| rispetto all’unità di misura OU.
Mostreremo (in 12.3) come ciò conduce a una corrispondenza biunivoca tra c (l’insieme dei punti del piano) e ‘‚‘ (l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali) che risulta “compatibile” (nel senso che sarà precisato in 12.5) con la misura delle distanze del piano. Se tale corrispondenza biunivoca associa al punto P! la coppia ordinata (B C Ñ!, ! , diremo che B! e sono le C! coordinate di P!.
Sia una funzione f ‘‚‘Ä‘; possiamo associarle il luogo geometrico Ð Ñ18 deii punti del piano le cui coordinate , verificano la condizioneB C
f( , )B C œ !.
Si dice che ( , )f B C œ ! è l’equazioneÐ Ñ19 di , e anche che ( , )i f B C œ ! rappresenta .i
12.3 - Sistemi di riferimento nel piano.
Scegliamo nel piano due rette non parallele rB, ; sia il loro punto comune. FissatorC O su ciascuna retta un ulteriore punto (UB, UC rispettivamente), restano univocamente determinate due corrispondenze biunivoche tra rB e e tra e verificanti le condizioni ‘ rC ‘ Ð3Ñ, Ð33Ñ e Ð333Ñ del teorema 10.2.1. Se PB è un punto di rB, diremo ascissa di PB il numero reale che corrisponde a PB; il suo valore assoluto è la distanza di PB da rispetto all’unità diO misura OUB. Se PC è un punto di , diremo rC ordinata di PC il numero reale che corrisponde a PC; il suo valore assoluto è la distanza di PC da rispetto all’unità di misura O OUC.
Sia un punto del piano. Tracciamo per le parallele a e P P rC rB, e siano PB, PC le loro intersezioni con rB e rispettivamente. L’ascissa di rC PB e l’ordinata di PC si dicono rispettivamente ascissa e ordinata di (e, nel loro complesso, P coordinate di ). ScriveremoP P´ B C( , ) per indicare che i numeri reali , sono rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di .B C P
Si verifica che quella così definita è una corrispondenza biunivoca tra ‘‚‘ e .c Naturalmente, essa dipende in modo essenziale dalla scelta delle rette rB ed e dei punti rC UB, UC su di esse.
18 Un insieme di punti si dice spesso, per motivi storici, luogo geometrico. Con riferimento a punti del piano (o dello spazio) i termini “insieme” e “luogo geometrico” sono sinonimi.
19 L’articolo determinativo lascerebbe supporre che ad ogni insieme resti associata una sola equazione. Ciò è del tutto falso, perche per ogni ´ -Á ! alle equazioni (x, y)f œ ! e -f(x, y)œ ! resta associato lo stesso insieme di punti del piano.
Talvolta anzichè i punti UB, UC si fissano su ciascuna delle due rette rB, una unità dirC misura (cioè un segmento) e un verso; ciò è del tutto equivalente, perchè i punti UB, UC restano univocamente determinati dalle condizioni che OUB, OUC abbiano misura " (ciascuno rispetto alla unità di misura fissata sulla propria retta) e che sia OUB, OUC. Diremo che tali scelte individuano un sistema di riferimento cartesiano nel piano. Il punto O si dice origine del SdR Ð Ñ20 ; le rette r , si dicono r assi coordinati (rispettivamente, asse
B C
delle ascisse e asse delle ordinate); i punti UB e UC si dicono punti unità degli assi coordinati;
il SdR nel suo complesso verrà indicato con la notazione Or rB C (si noti peraltro che tale notazione non evidenzia né le unità di misura né i versi né i punti unità fissati sugli assi coordinati).
Sia Or rB C un SdR cartesiano nel piano. Le rette rB, vengono spesso indicate con ,rC x
y rispettivamente; in tal caso, il SdR nel suo complesso si denota con Oxy. La semiretta individuata dai punti dell’asse [ ] aventi ascissa positiva [negativa] si dice x y semiasse positivo
[negativo delle ascisse delle ordinate] [ ]. Gli assi coordinati dividono il piano in quattro settori.
Quello individuato dal semiasse positivo delle ascisse e dal semiasse positivo delle ordinate (i cui punti hanno entrambe le coordinate !) si dice primo quadrante; quello individuato dal semiasse negativo delle ascisse e dal semiasse positivo delle ordinate (i cui punti hanno ascissa Ÿ ! e ordinata !) si dice secondo quadrante; quello individuato dal semiasse negativo delle ascisse e dal semiasse negativo delle ordinate (i cui punti hanno entrambe le coordinate Ÿ !) si dice terzo quadrante; quello individuato dal semiasse positivo delle ascisse e dal semiasse negativo delle ordinate (i cui punti hanno ascissa ! e ordinata Ÿ !) si dice
quarto quadrante.
Un SdR cartesiano nel quale gli assi coordinati sono fra loro ortogonali si dice
ortogonale. Un SdR cartesiano nel quale i segmenti OUB e OUC siano congruenti si dice
monometrico. Un SdR cartesiano nel quale i punti UB, UC (e quindi l’orientamento degli assi
coordinati) siano stati scelti in modo che la terna ordinata di punti ( , O UB, UCÑ sia orientata positivamente (cfr. l’osservazione 12.1.3) si dice positivamente orientato.
Nel seguito, salvo diverso avviso, ogni SdR cartesiano sarà supposto ortogonale, monometrico e positivamente orientato. Converremo inoltre che i punti unità fissati sugli assi coordinati abbiano distanza dall’origine."
Nel resto di questa sezione supporremo fissato un SdR cartesiano Oxy.
Osservazione 12.3.1 L’origine ha coordinate ( , ).! !
Dimostrazione Segue direttamente dal procedimento (descritto in questo paragrafo)
per determinare le coordinate di un punto.
Osservazione 12.3.2
Sia un insieme di punti del piano, e sia ( , )i p B C œ ! un’equazione algebrica che rappresenta i.
L’origine appartiene a se e solo se nel polinomio ( , ) il termine noto è zero (ossia, comei p B C si usa dire: nel polinomio ( , ) “manca” il termine noto).p B C
Dimostrazione Infatti per l’osservazione 12.3.1 l’origine appartiene a se e solo sei
p( , )! ! œ !; ed è immediato che ( , ) è il termine noto di ( , ).p ! ! p B C
Osservazione 12.3.3
Sia P! ´ B C Ñ( !, ! un punto del piano.
Il simmetrico di P! rispetto all’asse delle ascisse [rispetto all’asse delle ordinate, rispetto all’origine] ha coordinate (B!, C Ñ Ð B C Ñ Ð B! [ !, ! , !, C Ñ! ].
Dimostrazione Si tratta di conseguenze dirette delle definizioni di simmetrico
(rispetto a una retta, o rispetto a un punto) e di ascissa (e ordinata) di un punto.
12.4 - Cambiamento del sistema di riferimento.
Siano Oxy e O’x y’ ’ due sistemi di riferimento cartesiani (sui quali non facciamo alcuna ipotesi di ortogonalità, monometria, ecc. . Siano (Ñ B C Ñ!, ! le coordinate di in O O’x y’ ’.
Si può dimostrare che esistono quattro numeri reali , , e tali che: per ogni punto+ , - . P del piano, dette ( , ) le coordinate di relative a B C P Oxy e ( ’, ’ le coordinate di relativeB C Ñ P
a O’x y’ ’ si ha B œ +B ,C B’ !
e C œ -B .C C’ !.
I numeri , , e si possono ricavare facilmente se si conoscono le coordinate in+ , - . O’x y’ ’ dei punti unità UB e UC di Oxy. Inoltre si può dimostrare che +. ,- Á !, e precisamente: +. ,- !> se entrambi i SdR sono positivamente orientati oppure nessuno dei due SdR è positivamente orientato (si dice in tal caso che i due SdR sono concordemente
12.5 - Distanza di due punti.
Supponiamo fissato un SdR cartesiano Oxy.
Dati due punti P" ´ B C Ñ( ", " e P# ´ B C Ñ( #, # , si dimostra che la loro distanza
d(P P", #Ñ si può esprimere in funzione delle loro coordinate mediante la formula
d(P P", #Ñ œ È(B B Ñ C C Ñ# " # ( # " #.
12.6 - Coordinate del punto medio di un segmento. Supponiamo fissato un SdR cartesiano Oxy.
Dati due punti P" ´ B C Ñ( ", " e P# ´ B C Ñ( #, # , sia M´ B( 7, C Ñ7 il punto medio del segmento P P" #. Vogliamo esprimere le coordinate di M in funzione di quelle di P" e P#.
Siano rispettivamente A A A", #, 7 i punti in cui le parallele all’asse passanti per x P", P#, M incontrano l’asse , e siano rispettivamente y B", B#, B7 i punti in cui le parallele
all’asse passanti per y P", P#, M incontrano l’asse . Se il segmento x P P" # non è parallelo ad alcuno degli assi coordinati, i punti trovati sono tutti distinti, e per il teorema di Talete si hanno le relazioni d d d d d d d d ( , ( , ) ( , ( , ) ( , ( , ) ( , ( , ) A A P M B B P M A A P M B B P M " 7 " " 7 " # 7 # # 7 # Ñ Ñ Ñ œ e Ñ œ .
Poiché M è il punto medio del segmento P P" #, si ha
d(P M", )œ d(P M#, );
dunque dalle relazioni trovate si deduce che
d(A A", 7Ñ œd(A A#, 7Ñ e (d B B", 7Ñ œd(B B#, 7Ñ,
ossia che A7 e B7 sono rispettivamente i punti medi dei segmenti A A" # e B B" #.
Siamo così ricondotti a considerare il caso in cui il segmento P P" # è parallelo ad uno degli assi coordinati. Sia ad esempio P P" # parallelo all’asse : è facile verificare che l’ascissax di M è la media aritmetica tra l’ascissa di P " e quella di P#, mentre l’ordinata di M è l’ordinata comune a P" e P # (ci si ricordi di considerare tutte le possibili posizioni dei punti P" e P#
relativamente ai quattro quadranti! .Ñ
Si trova un risultato analogo quando P P" # è parallelo all’asse .y Dunque si ha in generale