Caratterizzazione meccanica dei materiali

La scelta dei vari materiali da assegnare ad ognuno dei componenti del modello della calzata del socket, è una delle difficoltà principali di questo lavoro di tesi, poiché, oltre ad una sorta di arbitrarietà nella scelta stessa, basata principalmente su assunzioni di correlazione tra il comportamento reale e ciò che si vorrebbe modellizzare, in parallelo si ha la necessità di assegnare i corretti valori ai vari parametri che compongono i legami costitutivi.

Con riferimento ai modelli implementati dai programmatori in FEBio (fig. 4.11), si andranno ora ad discutere per ognuna delle parti geometriche, le associazioni stabilite.

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Figura 4.11: menu di scelta, in cui è possibile vedere alcuni dei modelli costitutivi presenti in FEBio

Per il tessuto osseo (femore e bacino) si è utilizzato il modello rigid body[76]_{, ovvero un corpo}

indeformabile. I presupposti di questa scelta, derivano dal fatto che non vi fosse la necessità di studiare lo stato di sforzo-deformazione interno a queste parti (aiutando il risolutore a raggiungere la convergenza, poiché così facendo si va ad eliminare un buon numero di incognite dal sistema descritto dall’equazione 4.1), e poiché l’ordine di grandezza del modulo Young dei materiali in questione, se confrontato con quello dei tessuti di cui si trova all’interfaccia è molto maggiore. Inoltre applicando questo legame costitutivo, si ha la possibilità di utilizzarli come “effettori” tramite i quali applicare alle parti rimanenti forze e momenti oppure spostamenti.

All’interno della software suite, questo tipo di materiale, è definito da 4 parametri (fig. 4.12): - densità, da considerarsi solo per analisi di tipo dinamico, in quanto il solver la utilizza

per il calcolo delle accelerazioni;

- (modulo di Young), il cui valore va inserito solo nel caso in cui la parte sia a

contatto con una superficie, con la richiesta imposta al software di calcolare in autonomia un valore di penalty affinché le due superfici non si compenetrino (es.

sliding interface);

- (coefficiente di Poisson), il cui inserimento, come per il modulo di Young, è necessario solo nel caso di contatti per cui si voglia utilizzare l’auto-penalty;

- center of mass (COM), ovvero le coordinate nel sistema di riferimento assoluto del punto spaziale in cui vengono applicate forze e momenti oppure spostamenti al corpo rigido; questo punto assume quindi il significato di centro di rotazione del singolo corpo rigido.

Per quanto riguarda il tessuto osseo, si sono utilizzati i seguenti valori (caratteristiche medie di un femore umano; si ricordi che gli stessi sono arbitrari e non utilizzati dal software, se non per il calcolo del valore di penalty iniziale tramite l’algoritmo di auto-penalty):

78 10000

0,3

à 0,0022 (dato non fedele alla realtà, stimato al fine di ottenere un movimento corretto del modello)

Figura 4.12: parametri necessari per la definizione di un Rigid Body in FEBio

Per quanto riguarda il socket invece, si è utilizzato (su suggerimento dei programmatori della software suite, che sconsigliano l’utilizzo del legame costitutivo elastico lineare, poiché non si è ancora raggiunto un livello di implementazione che dia risultati coerenti per lo stesso) un modello Neo Hookean[77] _{equipollente ad un elastico lineare per piccole deformazioni}

(valori del polipropilene, uno dei materiali maggiormente utilizzati per la realizzazione dell’invasatura):

1320 0,39

I tessuti molli (corpo deformabile) sono invece stati considerati come un volume unico, formato da un materiale omogeneo monofase con caratteristiche iperelastiche, non lineari, isotropiche ed incomprimibili (a differenza della maggior parte dei lavori reperibili in letteratura, che come visto nel terzo capitolo utilizzano un modello elastico lineare isotropico), per meglio approcciarsi alle grandi deformazioni. Il modello costitutivo scelto, è quello di Mooney-Rivlin poiché (come spiegato dai programmatori della software suite) rappresenta la variante incomprimibile del modello Neo Hookean. La legge costitutiva, che governa questa tipologia di materiale in FEBio, è la seguente[78]_:

3 3 1

2 ln 4.5 dove,:

79 , = parametri costitutivi del materiale;

, = primo e secondo invariante della componente deviatorica del tensore sinistro delle deformazioni di Cauchy-Green;

= impropriamente chiamato bulk modulus, è in realtà un valore di penalty (quindi senza

collegamento fisico con un valore reale), attraverso il quale si va ad imporre l’incomprimibilità del materiale oggetto di studio;

= determinante del tensore del gradiente di deformazione.

Se confrontata con l’equazione 3.5 (utilizzata in ABAQUS per descrivere lo stesso modello), si possono notare principalmente tre differenze:

- il termine (che nel modello precedentemente presentato è presente col nome di ), che in FEBio moltiplica solo un termine legato al secondo invariante. L’effetto di questo coefficiente è quello di accoppiare dal punto di vista degli sforzi e delle deformazioni, la risposta dilatativa con quella deviatorica. Nel software in esame va posto uguale a zero poiché il modello accoppiato non è ancora implementato; - la definizione di , che nel caso di ABAQUS rappresenta propriamente il valore del

modulo di compressibilità del materiale in esame;

- la differente modalità con cui si tiene conto del determinante del gradiente di deformazione in questo caso, presente come argomento di un logaritmo. si noti che, in entrambi i casi, ad un valore 1, il termine dipendente dalle deformazioni volumetriche scompare, poiché diviene moltiplicato per 0.

Non avendo la possibilità di effettuare una vera prova meccanica su di un provino di tessuto molle biologico al fine di caratterizzare i parametri, si è deciso di simulare una prova di

compressione tramite FEM. La configurazione di prova utilizzata è visualizzabile in fig.

4.13, da cui si può notare la scelta per il provino di una geometria cubica realizzato e meshato (con esaedri del primo ordine) tramite i tools interni di PreView, in modo da massimizzare la compatibilità in presenza di sliding interface. Le due piastre parallelepipede, realizzate di dimensione molto maggiore rispetto al cubo in modo da evitare il presentarsi di effetti di bordo, con quella inferiore vincolata a non traslare in alcuna direzione e non ruotare lungo alcun asse e quella superiore libera solo di traslare

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verticalmente sotto uno spostamento imposto, sono state modellizzate entrambe come rigid

body, mentre il provino tramite il legame costitutivo di Mooney-Rivlin. I valori dei due

parametri, sono stati calcolati considerando il tessuto biologico come un materiale con le seguenti caratteristiche (valori principalmente utilizzati nei lavori presenti in letteratura):

0,03 ; 0,49;

∙ 0,0101 .

3 ∙ 1 2 ∙ 0,5

corrispondenti (in base a quanto descritto sul manuale utente del software) a:

2 0,005034

Al fine di garantire la caratteristica di incomprimibilità del materiale biologico, gli sviluppatori del software consigliano di utilizzare il seguente range per quello che impropriamente è chiamato bulk modulus: 100 ∙ 10000 ∙ ; la ricerca è stata in realtà effettuata considerando valori limite differenti di , poiché ci si è resi conto durante lo svolgimento del lavoro, che spesso le linee guida dettate dal team di sviluppo, sono disattese dal software stesso a causa di errori di scrittura del codice sorgente. Le prove effettuate sono indicate in tab. 4.2:

Numero prova KFebio

1 C1 2 10 C1 3 100 C1 4 1000 C1 5 10000 C1 6 100000 C1

Tabella 4.2: elenco delle prove effettuate per la ricerca del valore ottimale di Kfebio

Il valore scelto, è stato:

1000 ∙ 5,034 (per la giustificazione della scelta, si veda il par 5.1)