Caratterizzazione della quasiconvessit`a - Le microstrutture del problema a due pozzi

Osservazione 4.8. Se n = 1 o m = 1 allora convessit`a, policonvessit`a e rango-

uno convessità sono nozioni equivalenti e, sono equivalenti alla quasiconvessità, se, in più, f prende valori in R.

Per quanto riguarda le implicazioni inverse, i minori di ordine maggiore di uno sono policonvessi ma non convessi. Un esempio di funzione quasiconvessa ma non policonvessa `e proposto di seguito. Per un esempio di funzione convessa di rango-uno che non sia quasiconvessa facciamo riferimento al controesempio di Sver´ak (cfr. [31] per maggiori dettagli).

Il seguente esempio `e dovuto a Dacorogna e Marcellini (cfr. [11] per maggiori dettagli), ed illustra le diverse nozioni di convessit`a. Sia n = m = 2 e

consideriamo f(F ) =|F |4− γ|F |2det F . (4.12) Allora f convessa _{⇔ |γ| ≤} 4 3 √ 2, f policonvessa _{⇔ |γ| ≤ 2,} f quasiconvessa _{⇔ |γ| ≤ 2 + ǫ,} f convessa di rango-uno _{⇔ |γ| ≤} _√4 3.

Si sa che ǫ >0; il fatto che 2 + ǫ sia o no uguale a √4

3 `e un problema aperto.

4.2 Caratterizzazione della quasiconvessit`a

Concetto base per la convessità dei problemi variazionali a valori vettoriali è la nozione di quasiconvessità. È strettamente legata alla semicontinuità inferiore dei funzionali ed all’esistenza (e regolarità) dei minimizzatori. Le funzioni quasiconvesse sono gli oggetti duali naturali per le misure di Young gradienti (vedi la Sezione 5.1).

Nel seguito Ω indicher`a un dominio limitato di Rn _{e considereremo mappe u} _: Ω_{→ R}m_{e il funzionale}

I(u) = Z

Ω

4.2 Caratterizzazione della quasiconvessit`a 40

Teorema 4.9. Supponiamo che f : Mm×n _{→ R sia continua. Il funzionale I `e}

sequenzialmente semicontinuo inferiore debole* (l’acronimo inglese `e: w*slsc) su W1,∞(Ω; Rm_{) se e solo se f `e quasiconvessa.}

Dimostrazione. Per stabilire condizioni necessarie per la quasiconvessit`a poni-

amo Q = (0, 1). n, ϕ _{∈ W}₀1,∞(Q; Rm_{), estendiamo ϕ periodicamente a R}n _e

poniamo uj(x) = F x + 1 jϕ(jx), per x∈ Ω. Allora uj ⇀ u in W∗ 1,∞(Ω, Rm), dove u= F x e. f(Duj)⇀ cost.∗ = Z Q f(F + Dϕ(y)) dy in L∞(Ω),

(cfr. la sezione 3.2). La condizione necessaria per la quasiconvessit`a segue. Per mostrare le condizioni sufficienti consideriamo uj ⇀ u in W∗ 1,∞(Ω; Rm)

e supponiamo innanzitutto che u(x) = F x. Se uj _{− u `e nullo sul ∂Ω la tesi}

segue dalla definizione di quasiconvessit`a. Per uj generali consideriamo un sot-

todominio compatto Ω′ _{⊂⊂ Ω, una funzione η ∈ C}∞

0 (Ω) con η = 1 su Ω′ e

poniamo

vj = u + η(uj − u).

Poich´e uj → u localmente uniformemente in Ω per il teorema di immersione di

Sobolev e poich´e _|Duj_{| ≤ C possiamo assumere |Dvj}_{| ≤ C}′ per j _{≥ j0(η).} Se poniamo M = sup. _{{|f(F )| : |F | ≤ C + C}′_{} ed usiamo la quasiconvessit`a}

otteniamo

lim inf

j→∞ I(uj) ≥ lim infj→∞ Z Ω f(Dvj) dx + Z Ω\Ω′ f(Duj)− f(Dvj) dx ≥ |Ω|f(F ) − 2M|Ω\Ω′_|.

Poich´eΩ′ _{⊂⊂ Ω `e arbitrario, la tesi segue per u = F x e in modo analogo per le u}

affini a tratti.

Per funzioni u _{∈ W}1,∞(Ω; Rm) arbitrarie, il risultato `e ottenuto tramite ap-

prossimazioni. Per sottodomini compattiΩ′ _{⊂⊂ Ω}′′ _{⊂⊂ Ω esiste vk}_{tale che v} k `e

4.2 Caratterizzazione della quasiconvessit`a 41

affine a tratti suΩ′_{, u}_{= v}

kinΩ\Ω′′,|Dvk| ≤ C, Dvk→ Du in misura (e quindi in

tutti gli spazi Lp, p <_{∞). Per costruire una tale v}kiniziamo con l’approssimare u

suΩ′′_{con una funzione C}1_{e poi consideriamo un approssimazione lineare a tratti}

su una, sufficientemente fine, triangolazione (regolare). Sia uj,k = uj + vk− u.

Allora

uj,k ⇀ v∗ k in W1,∞(Ω; Rm) quando j → ∞, (4.13)

|Duj,k| ≤ C (4.14)

Quindi per il risultato precedente e per il teorema di convergenza dominata

lim k→∞lim infj→∞ Z Ω′ f(Duj,k) dx ≥ lim k→∞ Z Ω′ f(Dvk) dx = Z Ω′ f(Du) dx _≥ Z Ω f(Du)_{− C|Ω\Ω}′_|.

D’altre parte per la relazione (4.14), per l’uniforme continuit`a di f sugli insiemi compatti e per la convergenza in misura di Dvk si ha

lim k→∞sup Z Ω′ |f(Duj,k)− f(Duj)| dx = 0. Quindi lim inf j→∞ Z Ω f(Duj) dx_≥ Z Ω f(Du) dx_{− 2C|Ω\Ω}′_|,

e la tesi segue poich´eΩ′ _{`e arbitrario.}

Osservazione 4.10. Usando questa classificazione e i risultati sulle misure di

Young (vedi la Sezione 3.3), si estende facilmente la semicontinuit`a inferiore per integrandi del tipo f(x, u(x), Du(x)).

Teorema 4.11 (Esistenza). Supponiamo p_{∈ (1, ∞), c > 0 e che f soddisfi}

c_{|F |}p _{≤ f(F ) ≤ C(|F |}p+ 1).

4.2 Caratterizzazione della quasiconvessit`a 42

classe

W_υ1,p(Ω; Rm)=. _{u ∈ W}1,p(Ω; Rm) : u− υ ∈ W01,p(Ω; Rm) .

Teorema 4.12 (Regolarit`a). (cfr. [22] per ulteriori dettagli)

Supponiamo che f sia una funzione regolare, che soddisfi

0≤ f(F ) ≤ C(|F |2+ 1)

e che sia uniformemente quasiconvessa, ossia che esista un c > 0 tale che Z Ω f(F + Dϕ)− f(F ) dx ≥ c Z Ω|Dϕ| 2 dx, ∀ϕ ∈ W01,∞(Ω; Rm).

Sia u _{∈ W}1,2(Ω; Rm_{) un minimizzatore locale per I, cio´e} I(u + ϕ)_{≥ I(u) ∀ϕ ∈ C}₀∞(Ω).

Allora esiste un insieme apertoΩ0 di misura piena tale che

u_{∈ C}∞(Ω0)

Concludiamo questo capitolo con una caratterizzazione dell’inviluppo quasi- convesso di una funzione

Proposizione 4.13. Supponiamo p_{∈ (1, ∞), c > 0 e che f soddisfi}

c_{|F |}p _{≤ f(F ) ≤ C(|F |}p+ 1).

Per ogni f : Mm×n_{→ [−∞, ∞) ed ogni dominio U limitato con |∂U| = 0 si ha}

fqc(F ) = inf ϕ∈W01,∞ 1 |U| Z U f(F + Dϕ) dx. (4.15) Dimostrazione. Sia Qf(F, U )=. inf ϕ∈W01,∞ 1 |U| Z U f(F + Dϕ) dx.

4.2 Caratterizzazione della quasiconvessit`a 43

Dobbiamo mostrare che fqc(F ) = Qf (F, U ). `E noto che Qf non dipende da U .

Dalla definizione di quasiconvessit`a segue Qf _{≥ Qf}qc = fqc_{. Per mostrare la}

disuguaglianza opposta Qf _{≤ f}qc è sufficiente mostrare che Qf è quasiconvessa poiché Qf _{≤ f. Iniziamo mostrando che}

1 |U| R UQf(F + Dψ) dx≥ Qf(F ), ∀ψ ∈ W01,∞(Ω; Rm), ψ affine a tratti. (4.16)

Sia U l’unione finita dei sottoinsiemi Uiaperti e disgiunti tali che ψ `e affine su Ui

e sia ǫ > 0. Per la definizione di Qf ( applicato a Ui ) esiste ϕi ∈ W01,∞(Ui; Rm)

tale che Qf(F + Dψ)≥ 1 |Ui| Z Ui f(F + Dψ + Dϕi) dx− ǫ su Ui.

Poniamo ϕ= ψ +P ϕi ∈ W01,∞(U ; Rm). A meno di riordinare i termini si ha Z U Qf(F + Dψ) dx _≥ Z U f(F + Dϕ) dx_{− ǫ|U|} ≥ Qf(F ) − ǫ|U|,

e l’affermazione (4.16) segue poich´e ǫ >0 `e arbitrario. Adesso la relazione (4.16)

è sufficiente per concludere che Qf è convessa di rango-uno e perciò continua e localmente Lipschitziana (cfr. l’Osservazione 4.3). Quindi per la (4.16) e un argomento di densità Qf è quasiconvessa, allora fqc= Qf .

Capitolo 5

Misure di Young che derivano da

gradienti

In questa sezione verranno studiate le misure di Young generate da successioni di gradienti_{Duj}. Come prima Ω ⊂ Rndenota un dominio limitato con bordo

Lipschitziano.

Definizione 5.1. Una mappa ν : Ω _{→ M(M}m×n_{) `e una misura di Young}

gradiente se `e generata da una successione di gradienti Duj, dove uj ⇀ u in∗ W1,∞.

Usando questa notazione possiamo riformulare il Problema 2 (sulle soluzioni approssimate) come segue.

Problema 4. Dato un insieme K _{⊂ M}m×ncaratterizzare tutte le misure di Young gradienti ν tali che

supp νx ⊂ K per q.o. x.

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti

Teorema 5.2. Una mappa ν : Ω _{→ M(M}m×n_{) (debolmente* misurabile) `e una}

misura di Young gradiente se e solo se νx `e una misura di probabilit`a per ogni x,

ed esistono un insieme compatto K _{⊂ M}m×ned una u _{∈ W}1,∞(Ω; Rm_{) tale che}

valgano le seguenti tre condizioni: 1. supp νx ⊂ K per q.o. x,

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 45

2. _hνx, id_{i = Du per q.o. x,}

3. _hνx, f_{i ≥ f(hν}x, id_{i) per q.o. x e ogni funzione f : M}m×n_{→ R quasicon-}

vessa.

Osservazione 5.3. Il punto cruciale è il terzo che è in dualità con la definizione

di quasiconvessit`a. Correttamente parlando, le funzioni quasiconvesse soddisfano la disuguaglianza di Jensen per i gradienti, mentre le misure di Young gradiente devono soddisfare la disuguaglianza di Jensen per ogni funzione quasiconvessa.

Osservazione 5.4. Sia K _{⊂ M}m×nun compatto. Definiamo l’insieme delle misure di probabilit`a supportate in K che soddisfano la terza condizione del teorema come Mqc_(K)₌. ( ν _{∈ M(M}m×n) : ν _{≥ 0, suppν ⊂ K,} hν, fi ≥ f(hν, id i) ∀f : Mm×n_{→ R quasiconvessa} ) (5.1)

Dal teorema segue che_Mqc(K) `e formato esattamente dalle misure di Young

gradiente omogenee con supporto in K. In modo analogo si definiscono gli insie- mi_Mrc(K) e_Mpc_{(K) usando, rispettivamente, le funzioni convesse di rango-uno}

e le policonvesse.

Osservazione 5.5. Ogni minore M : Rm×n _{→ R `e una funzione quasiaffine}

(ossia (4.1) vale con uguaglianza), (vedi il Teorema B.1), per essere pi´u precisi i minori delle matrici di gradienti sono le sole funzioni quasiaffini (cfr. [24] per ulteriori dettagli). Quindi applicando il terzo punto del teorema a_{±M otteniamo} la relazione sui minori

hνx, M_{i = M(hν}x, id_i) (5.2)

come condizione necessaria per le misure di Young gradienti. Questa condizione, effettivamente, segue direttamente dal Teorema B.1 in appendice, e non richiede il Teorema 5.2. Le relazioni sui minori spesso servono per la risoluzione di problemi che presentano particolari simmetrie come per esempio nei modelli delle microstrutture dei cristalli.

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 46

Dimostrazione del Teorema 5.2

La chiave di tutto `e mostrare che la disuguaglianza di Jensen per le funzioni quasiconvesse caratterizza le misure di Young gradienti omogenee (vedi il Teore- ma 5.8). La dimostrazione si basa sul teorema di separazione di Hahn-Banach e sulla rappresentazione (4.15) per fqc. L’estensione alle misure di Young gradienti non omogenee usa fatti generici sulle mappe misurabili, in particolare la loro approssimazione con mappe costanti a tratti.

Uno strumento tecnico importante `e un risultato di troncamento per le successioni di gradienti, conosciuto sotto il nome di lemma di Zhang (cfr. [35] per maggiori dettagli). Questo dice che ogni misura di Young gradiente, con suppor- to in un insieme compatto K _{⊂ M}m×n, pu`o essere generata da una successione

{Dvj} la cui norma in L∞pu`o essere limitata in termini del solo K. Di seguito,

in questa sezione, utilizzeremo le seguenti notazioni:

K `e un insieme compatto di Mm×n,

U,Ω sono domini limitati di Rn,_{|∂Ω| = |∂U| = 0.}

Lemma 5.6 (Lemma di Zhang). Sia_|K|_∞ = sup_{{|F | : F ∈ K}.}

1. Sia uj ∈ W_loc1,1(Rn; Rm) e supponiamo che

dist(Duj, K)_{→ 0 in L}1(Rn). (5.3)

allora esiste una successione vj ∈ Wloc1,1(Rn; Rm) tale che

|Dvj| ≤ c(n, m)|K|_∞, (5.4)

|{uj 6= vj}| → 0. (5.5)

2. Sia U _{∈ R}nun dominio limitato e sia uj ∈ W_loc1,1(Ω; Rm). Supponiamo che

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 47

Allora esiste vj ∈ Wloc1,1(Rn; Rm) tale che

|Dvj| ≤ c(n, m)|K|_∞, (5.7)

|{uj 6= vj}| → 0, vj = u intorno al ∂U .

Supponiamo ora che_{uj} sia limitata in W1,∞(Ω; Rm) e che{Duj} generi la

misura di Young gradiente ν. Allora Duj ⇀ Du in L∞, Du(x) = hνx, idi ed uj → u (localmente) in L∞_{. Chiamiamo u la deformazione fondamentale di ν.}

La misura di Young ν : Ω → M(Mm×n_{) `e detta omogenea se `e costante in Ω (a}

meno di un insieme di misura nulla), (vedi la Definizione 3.16). Come al solito identifichiamo la mappe costanti con il loro valore e vediamo l’insieme H(Ω)

delle misure di Young gradiente omogenee come sottoinsieme di_M(Mm×n). Con H(Ω, K) denotiamo l’insieme delle misure di Young gradiente omogenee con

supporto in K.

Lemma 5.7. Valgono i seguenti fatti.

1. Se ν _{∈ H(Ω, K) e hν, id i = 0 allora esiste una successione u}j ∈ W01,∞(Ω; Rm)

tale che Duj genera ν e soddisfa|Duj| ≤ C|K|_∞.

2. H(Ω, K) `e debolmente* compatto inM(Mm×n_).

3. L’insieme H(Ω, K) `e indipendente da Ω. Se ν `e la misura di Young gradi-

ente con suppν _{⊂ K q.o. la cui deformazione fondamentale u concordata} con una mappa affine sul ∂Ω ( nel senso di W₀1,∞) allora la media E(ν)

definita da hE(ν), fi=. 1 |Ω| Z Ωhνx , f_{i dx} appartiene a H(K).

4. L’insieme HF(K) = {ν ∈ H(K) : hν, id i = F } `e debolmente* chiuso e

convesso.

Dimostrazione. La prima tesi segue dalla definizione di H(Ω, K) e dalla sec-

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 48

ed un argomento di diagonalizzazione. Notiamo che H(Ω, K) `e contenuto nell’in-

sieme debolmente* compatto _{P(K) delle misure di probabilità su K. Quindi la} topologia debole* è metrizzabile su_{P(K) e può essere descritta tramite le succes-} sioni. Supponiamo che νk ∈ H(Ω, K) e νk ⇀ ν. Dopo la sottrazione di funzioni∗

affini nella successione che genera νkpossiamo assumere chehνk, idi = 0. Per il

primo punto, esiste uk,j ∈ W01,∞(Ω; Mm×n) tale che δDuk,j(·) ∗ ⇀ j→∞ νk in L ∞_(Ω;_M(Mm×n_)), _|Du k,j| ≤ C|K|_∞.

In questo caso abbiamo identificato νkcon la mappa costante x 7→ νk. Poich´e

la topologia debole* `e metrizzabile su L∞_w(Ω;_{P(B(0, C|K|}_∞))) possiamo ap-

plicare un argomento standard di diagonalizzazione per trovare jk → ∞ tale

che

δDu_k,jk(·) ⇀ ν∗ in L∞w(Ω;M(Mm×n)).

Poich´e_|Duk,jk| ≤ C si ha che ν ∈ H(Ω, K). Allora H(Ω, K) `e debolmente*

chiuso e quindi debolmente* compatto come sottoinsieme di_P(K).

Per provare il terzo punto consideriamo prima v _{∈ W}₀1,∞(U ; Rm_{) e la misura}

di Young banale data da µ(x) = δDv(x). Diciamo che E(µ) `e una misura di Young

gradiente omogenea (per ogni dominioΩ). Per il teorema di Vitali esistono copie

disgiunte Ui = ai + riU di U che sono contenute nel cubo unitario Q e che lo

ricoprono a meno di un insieme di misura nulla. Definiamo

w(x) = ( rivx−ai ri in Ui, 0 in Q_\Ui,

estendiamo w 1-periodicamente a Rn, e poniamo wk(x) = w(kx)_k . Allora per ogni funzione continua g (vedi la Sezione 3.2)

g(Dwk)⇀ g∗ in L∞(Rn) dove g = Z Q g(Dw) dx = 1 |U| Z U g(Dv) dx =_{hE(µ), gi .}

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 49

Allora, per ogni Ω, δDwk(·) converge alla misura di Young omogenea E(µ) in

L∞_w(Ω;_M(Mm×n_{)) nella topologia debole*. Quindi E(µ)}_{∈ H(Ω) come voleva-}

mo.

Ora assumiamo che ν soddisfi la relazione del terzo punto. Possiamo supporre che u _{∈ W}₀1,∞(Ω; Rm_{). Per la definizione di misura di Young gradiente e per la}

seconda parte del lemma di Zhang, esiste una successione uj ∈ W01,∞(Ω; Rm) tale

che_{|Duj| ≤ R e}

δDuj(·)

∗

⇀ ν in L∞_w(Ω;_M(Mm×n)).

Prendendo funzioni test della forma1_{⊗ g vediamo che} E(δDuj(·))

∗

⇀ E(ν).

Per le considerazioni fatte in precedenza, E(δDuj(·)) appartiene a H(Ω, B(0, R))

per ogniΩ. Per il secondo punto vale la stessa cosa per E(ν). Poich´e supp ν(x)_⊂ K q.o. infatti E(ν) _{∈ H(Ω, K). Se ν ∈ H(U, K) allora E(ν) = ν e quindi} H(Ω, K) `e indipendente da Ω. Considerando il quarto punto possiamo supporre F = 0. Siano ν1, ν2 ∈ H0(K). Siano Q1 = (0, λ)× (0, 1)n−1, Q2 = (λ, 1)× (0, 1)n−1. Per il primo punto esistono successioni _{{Dui,j} ⊂ W}₀1,∞(Qi, Rm_), i= 1, 2 che generano νi. Quindi il gradiente di

uj(x) = ( u1,j(x), x_{∈ Q}1 u2,j(x), x_{∈ Q}2 genera ν(x) = ( ν1(x), x _{∈ Q}1 ν2(x), x _{∈ Q}2

per il terzo punto si ha

λν1+ (1_{− λ)ν}2 = E(ν)∈ H0(K).

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 50

Teorema 5.8 (Caratterizzazione delle misure di Young gradienti omogenee). Vale

la relazione seguente

H(K) =_Mqc(K).

Dimostrazione. Chiaramente H(K) ⊂ Mqc_{(K) per il risultato del Teorema}

4.9 sulla semicontinuità inferiore. Per provare l’inclusione inversa è sufficiente considerare le misure con baricentro nullo. Vale che H0(K) è debolmente* chiu-

so e convesso, e C(K) `e il duale di (M(K), debole*) (cfr. [25] per ulteriori

dettagli). Per il teorema di separazione di Hahn-Banach `e sufficiente mostrare che, per ogni f _{∈ C(K),}

hν, fi ≥ α ∀ν ∈ H0(K), (5.8)

implica

hµ, fi ≥ α ∀µ ∈ Mqc0 (K).

Fissiamo f _{∈ C(K), consideriamo un’estensione continua a C0}(Mm×n_{) e poni-}

amo fk(F ) = f (F ) + k dist2(F, K). Diciamo che lim k→∞f qc k (0)≥ α. (5.9)

Una volta mostrato ci`o abbiamo finito, poich´e per definizione ogni µ _{∈ M}qc₀ (K)

soddisfa

hµ, fi = hµ, fki ≥ hµ, fkqci ≥ f qc k (0).

Supponiamo ora che (5.9) sia falsa. Allora esiste un δ >0 tale che f_kqc(0)≤ α − 2δ, ∀k.

Per la Proposizione 4.13 esiste uk ∈ W01,∞(Q; Rm) tale che Z

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 51

Per cui possiamo assumere uk⇀ u in W01,2(Q; Rm) e

dist(Duk, K)→ 0 in L1(Q).

Per la seconda parte del lemma di Zhang, esiste vk ∈ W01,∞(Q; Rm) tale che

|Dvk| ≤ C, |{(Duk6= Dvk}| → 0. (5.11)

In particolare un ulteriore sottosuccessione di_{{Dvk} genera una misura di Young} gradiente ν con supp ν _{⊂ K e deformazione fondamentale u ∈ W}₀1,∞(Q; Rm_).

Quindi E(ν) ∈ H0(K) per la terza parte del Lemma 5.7. Poich´e f `e limitata da

sotto, deduciamo dalla (5.11) e dalla (5.8)

lim inf k→∞

fj(Duk) ≥ lim inf

k→∞ fj(Dvk) =

Qhνx

, f_{ji dx = hE(ν), fj}_{i ≥ α.}

Questo contraddice (5.10) con fk≥ fj se k≥ j, e la (5.9) `e dimostrata.

Dimostrazione del Teorema 5.2 (Condizione necessaria). La prima condizione

e la seconda seguono dal Teorema 3.4, in quanto conseguenze di fatti basilari sulle misure di Young, mentre la terza segue dai risultati di semicontinuit`a inferiore di Morrey (Teorema 4.9), applicato ad ogni sottoinsieme aperto U diΩ.

(Condizione sufficiente). Prima di tutto consideriamo il caso in cui la defor-

mazione fondamentale `e zero.

A={ν ∈ L∞

w(Ω;M(Mm×n)) : ν(x)∈ M qc

0 (K) q.o.}

denota l’insieme delle mappe che soddisfano le tre condizioni del Teorema 5.2 con Du= 0. Dobbiamo mostrare che ogni elemento di A `e una misura di Young

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 52

Per far ciò usiamo fatti generali sulle mappe misurabili per approssimare gli elementi di A con mappe costanti a tratti. Inanzitutto notiamo che l’insieme delle misure di probabiltà _M1 = {µ ∈ M(Mm×n) : µ ≥ 0, kµk ≤ 1} è debol-

mente* compatto in _M(Mm×n). Quindi la topologia debole* `e metrizzabile su M1. Definiamo una metrica: sia{fi} ⊂ C0(Mm×n) un insieme denso nella sfera

unitaria di C0(Mm×n_{), poniamo} d(µ, µ′_{) =} ∞ X i=1 | hµ − µ′_{, fi}_{i |} 2i .

Lo spazio(_M1, d) `e uno spazio metrico compatto. Poich´e d induce la topologia

debole*, una mappa ν : Ω _{→ M(M}m×n_{) che assume (q.o.) i valori in} _M 1 `e

debolmente* misurabile se e solo se ν : Ω_{→ (M}1, d) `e misurabile.

L’insieme_{{ν ∈ L}∞_w(Ω;M(Mm×n_{) : ν(x)} _{∈ M1}_q.o._{} `e anche debole* com-}

patto in L∞_w(Ω;M(Mm×n_{). Una metrica ˜}_{d che induca la convergenza debole* su}

quell’insieme pu`o essere definita come segue. Sia_{hj_{} un insieme numerabile e} denso nella palla unitaria di L1(Ω) e sia

˜ d(ν, ν′) = ∞ X i,j=1 | hν − ν′_{, hj} _{⊗ f} ii | 2i+j .

Segue dal Lemma 5.9, di seguito, che ogni ν _{∈ A pu`o essere arbitrariamente bene} approssimata in ˜d da una mappa ν con le seguenti propriet`a. Esistono insiemi˜

aperti disgiunti Ui con|∂Ui| = 0 tali che ˜ν = νi su Ui, νi ∈ Mqc0 (K), ˜ν = δ0 su Ω\ ∪iUi. Applicando il Lemma 5.7 ad ogni Ui mostriamo cheν `e una misura di˜

Young gradiente (estendiamo la successione che genera la misura di Young a zero su Ω\ ∪i Ui). Quindi la chiusura delle misure di Young gradienti con supporto

in K′ = K_{∪ {0} contiene A. D’altra parte l’insieme di queste misure di Young}

`e (debolmente) compatto (vedi la dimostrazione del Lemma 5.7). Quindi ogni

ν _{∈ A `e una misura di Young gradiente. Questo conclude la dimostrazione se} Du= 0.

5.1 Classificazione delle misure di Young gradienti 53

µ definiamo la sua traslazione come

hTFµ, f_{i = hµ, f(· + F )i}

in modo che TFδ0 = δF. Ora se ν soddisfa le ipotesi del Teorema 5.2 eν(x) =˜ T_−Du(x)ν(x) allora ˜ν _{∈ A. Quindi esiste una successione {Dvj} che genera ˜ν}

e si verifica facilmente che Duj = Dvj + Du genera ν (usando per esempio il

Corollario 3.19 con f(x, F ) = g(Du(x) + F ), g _{∈ C0}(Mm×n_)).

Lemma 5.9. Sia (X, d) uno spazio metrico compatto ed M _{⊂ X. Supponiamo}

che ν : Ω_{→ X sia misurabile e ν(x) ∈ M q.o. Allora, per ogni k ∈ N, esistono}

un numero finito di insiemi aperti disgiunti Uicon|∂Ui| = 0 e valori νi ∈ M tali

che la mappa ˜ ν = ( νi su Ui ν0 suΩ\Ui soddisfi x: d(ν(x), ˜ν(x)) > 1 k < 1 k.

Dimostrazione. Per la compattezza, X pu`o essere ricoperto con un numero

finito di palle aperte Bi di raggio _2k1. Gli insiemi ˜Ei = ν−1(Bi) sono misurabili.

Per ottenere insiemi disgiunti Ei, definiamo E1 = ˜E1, E2 = ˜E2\E1, etc. Se |Ei| > 0 allora esiste xi ∈ Ei tale che νi = ν(xi. ) ∈ M. Esistono degli insiemi

compatti disgiunti Ki ⊂ Eitali che X

|Ei\Ki| < 1

k; (5.12)

se _|Ei_{| = 0 prendiamo Ki} = ∅. Gli insiemi Ki hanno distanza positiva e quindi esistono insiemi aperti disgiunti Ui ⊃ Ki con|∂Ui| = 0 (consideriamo ad esem-

pio l’insieme dei sottolivelli della funzione distanza di Ki). Ora Ei ⊃ ˜Ei ⊃ Ki e

Nel documento Le microstrutture del problema a due pozzi (pagine 45-60)