Teorema 6.8. Sotto le ipotesi del lemma precedente si ha che
Krc= Kqc = Kpc.
Inoltre, Kpc `e descritto esplicitamente dalla formula del Lemma 6.6.
Dimostrazione. Segue direttamente dal lemma precedente e dalle inclusioni
Krc⊂ Kqc⊂ Kpc.
Osservazione 6.9. Interpretando fisicamente il teorema appena enunciato `e im-
portante sottolineare come la descrizione del quasiconvessificato dell’insieme K (vedi la relazione espressa nel Lemma 6.6), ci dice che l’insieme Kapp ha parte interna non vuota, ossia le deformazioni affini macroscopiche del cristallo con (circa) energia zero sono “in numero elevato”. Ritornando al caso delle leghe a memoria di forma, quando la temperatura scende sotto un certa soglia critica, il materiale non ha un comportamento rigido, anzi, essendo Kappa parte interna non vuota, le strutture, se sottoposte a stress, riescono a riarrangiarsi “liberamente”.
6.2
Esistenza di soluzioni esatte
Le soluzioni approssimate sono caratterizzate dall’inviluppo quasiconvesso
Kqce dall’insieme Mqc(K) delle misure di Young. La costruzione di soluzioni
esatte `e pi`u complicata. Si `e sempre creduto che le soluzioni esatte fossero piut- tosto rare, mentre dei risultati recenti affermano che ne esistono molte anche se molto complicate.
Per illustrare alcune delle difficolt`a basta pensare al problema a due pozzi in due dimensioni: se ignoriamo le condizioni al bordo la soluzione pi`u semplice per
Du ∈ K `e un laminato semplice (vedi la Figura 6.1). Un’analisi delle connes-
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 66
normali n1 o n2, determinate dalle due soluzioni dell’equazione
QA− B = a ⊗ n. (6.7)
Non c’`e, tuttavia, un modo ovvio per combinare le due lamine (vedi la Figura 6.2). Si `e, perci`o, creduto che il problema a due pozzi non avesse altre soluzioni oltre a quelle semplici. Questo `e falso. La costruzione di soluzioni non semplici `e basata sulla tecnica dell’integrazione convessa di Gromov (cfr. [15] per ulteriori dettagli).
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 67
Figura 6.2: Nessuna delle seguenti costruzioni soddisfa la condizione di rango- uno connessione attraverso ogni interfaccia.
Definizione 6.10. Diciamo che una mappa u : Ω → Rm `e lineare a tratti se `e
Lipschitziana, continua e se esitono (in numero finito o al pi`u numerabile) insiemi apertiΩi a due a due disgiunti tali che
u|Ωi `e affine e |Ω\ ∪iΩi| = 0
Lemma 6.11. Siano A e B due matrici m× n e supponiamo che
rk(B− A) = 1. (6.8)
Sia
F = (1− λ)A + λB, dove λ∈ (0, 1).
Allora, per ogni δ > 0, esiste una mappa lineare a tratti uδ : Ω→ Rmtale che
dist(Duδ,{A, B}) ≤ δ q.o. in Ω, (6.9)
sup Ω |u
δ(x)− F x| ≤ δ, (6.10)
uδ(x) = F x su ∂Ω. (6.11)
Osservazione 6.12. Se Du prende esattamente i valori A e B (q.o.), allora non
`e possibile soddisfare la condizione al bordo (6.11). Inoltre, se rk(B − A) ≥ 2
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 68
oppure (6.9) e (6.11).
Osservazione 6.13. Notiamo che Duδdeve oscillare molto rapidamente per sod-
disfare simultaneamente (6.9) e (6.10).
Dimostrazione. Costruiremo prima una soluzione per un particolare dominio
U . Le argomentazioni saranno concluse con un’applicazione del teorema di Vitali.
Con un cambio di variabili affine, possiamo assumere senza perdere di generalit`a che A=−λ ⊗ en, B = (1− λ)a ⊗ en, F = 0, e|a| = 1. Sia ǫ >0, poniamo V = (−1, 1)n−1× ((λ − 1)ǫ, λǫ) e definiamo v : V → Rmcome v(x) = −ǫλ(1 − λ)a + ( −λaxn se xn <0, (1− λ)axn se xn ≥ 0.
Allora Dv ∈ {A, B} e v = 0 in xn = ǫ(λ− 1) e xn= ǫλ, ma v non svanisce
sull’intero bordo ∂V . Poi, sia
h(x) = ǫλ(1− λ)a n−1 X
i=1 |xi|.
Allora h `e lineare a tratti e|Dh| = ǫλ(1 − λ)√n− 1. Poniamo ˜
u= v + h.
Notiamo cheu˜≥ 0 su ∂V e sia
U ={x ∈ V : ˜u(x) < 0}.
Allora
˜
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 69
dist(D˜u,{A, B}) ≤ ǫλ(1 − λ)√n− 1, e
|˜u| ≤ ǫλ(1 − λ).
Per il teorema di Vitali possiamo coprireΩ con copie disgiunte di U . Pi`u precisa-
mente esistono xi ∈ Rned ri >0 tali che gli insiemi Ui = xi+ riU
sono a due a due disgiunti e|Ω\ ∪iUi| = 0. Definamo u come
u(x) = ( riu(˜ x−xi ri ) se x∈ Ui, 0 altrimenti. Notiamo che Du(x) = D˜u x − xi ri , se x∈ Ωi.
Segue che u `e lineare a tratti, che u|∂Ω = 0 e che dist (Du,{A, B}) < δ per un
certo ǫ >0. Inoltre scegliendo ri ≤ 1 si ottiene anche la stima per |u − F x|.
Il Lemma 6.11 pu`o essere facilmente iterato, ed usando la nozione di inviluppo di laminazione di un insieme (vedi la Sezione 5.2) si ottiene il risultato seguente.
Lemma 6.14. Supponiamo che K ⊂ Mm×nsia un aperto limitato. Sia v : Ω → Rm una funzione lineare a tratti che soddisfa
Dv∈ Klc q.o.
Allora per ogni δ > 0, esiste una mappa lineare a tratti uδ : Ω→ Rmche soddisfa Duδ ∈ K q.o.,
sup
Ω |uδ− v| ≤ δ,
e
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 70
Dimostrazione. Possiamo assumere che v sia affine, altrimenti ripetiamo l’ar-
gomento in ogni sottoinsiemeΩi dove v `e affine. Assumiamo
v(x) = F x, F ∈ Klc
Per la Proposizione 5.10 si ha F ∈ K(i) per qualche i. Adesso lavoriamo per induzione. Se i = 1 `e sufficiente applicare il Lemma 6.11. Supponiamo che
il risultato valga per i ≤ j, e sia F ∈ K(j+1)\K(j). Esistono A, B ∈ K(j) ,
λ ∈ (0, 1) tali che rk(B − A) = 1 e F = (1 − λ)A + λB. Poich´e K(j) `e aperto, per il Lemma 6.11 esiste una mappa lineare a tratti w tale che
sup Ω |w − v| < δ 2, w= v su ∂Ω, e Dw∈ K(j)q.o.
SiaΩkil sottodominio su cui w `e lineare a tratti. Per ipotesi induttiva, esiste una
mappa uklineare a tratti tale che sup Ωk |uk− w| < δ 2, uk= w su ∂Ωk e Duk ∈ K q.o.
Infine, abbiamo che uδ = uksuΩk.
Per costruire soluzioni di Du ∈ K, approssimiamo K con degli insiemi aperti
Ui. Questo ci porta a delle soluzioni approssimate ui che soddisfano Dui ∈ Ui.
Sorprendentemente, dopo una scelta accurata delle ui, si riesce ad ottenere la con-
vergenza forte (q.o.) di Dui con i → ∞. L’idea `e di imporre ad ogni passo
oscillazioni sempre pi`u rapide rispetto a quelle del passo precedente.
Prima di far ci`o dobbiamo chiarire in che senso gli insiemi Uidevono approssi-
mare l’insieme originale K. Vorremmo usare il Lemma 6.14 per ottenere ui+1con Dui+1 ∈ Ui+1da ui. Questo giustifica la definizione seguente.
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 71
Definizione 6.15. Sia K ⊂ Mm×n. Una successione di insiemi aperti Ui ⊂ Mm×n`e detta in-approssimazione di K se le seguenti condizioni sono soddisfatte:
1. Ui ⊂ Ui+1lc ;
2. gli insiemi Uisono uniformemente limitati;
3. se la successione Fi ∈ Uiconverge a F ∈ Mm×ncon i→ ∞ allora F ∈ K.
Osservazione 6.16. Nel caso scalare, m = 1, la convessit`a a strati `e equivalente
alla convessit`a ordinaria, ed un tipico esempio di in-approssimazione `e
K = Sn−1, Ui ={x ∈ Rn: 2−(i+1) <1− |x| < 2−i}.
Teorema 6.17. Supponiamo che K ⊂ Mm×n ammetta una in-approssimazione
{Ui} nel senso della Definizione 6.15. Sia v ∈ C1(Ω; Rm) e supponiamo che Dv∈ U1.
Allora, per ogni δ > 0, esiste una mappa Lipschitziana uδtale che
Duδ ∈ K q.o.,
uδ = v su ∂Ω, e
supΩ|uδ− v| < δ.
(6.12)
Osservazione 6.18. Segue dalla dimostrazione che invece di supporre v ∈ C1 si pu`o assumere v lineare a tratti. Non sappiamo se per una funzione v Lipschitziana in generale ci si possa aspettare una uδ Lipschitziana tale che valgano le relazioni
(6.12).
Dimostrazione. Prima di tutto costruiamo una successione di funzioni lineari
a tratti ui che soddisfino
Dui ∈ Ui q.o.,
sup|ui+1− ui| < δi+1, ui+1= uisu ∂Ω, sup|u1− v| <
δ
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 72
per costruire u1 notiamo che se Ω′ `e aperto e Ω′ ⊂⊂ Ω (ossia Ω′ ⊂ Ω) allora
dist(Dv(x), ∂U1) ≥ c(Ω′) > 0 per ogni x ∈ Ω′. Quindi `e facile ottenere u 1|Ω′
introducendo una triangolazione sufficientemente fine. SiaΩi ⊂⊂ Ω una succes-
sione di insiemi tali che|Ω\ ∪iΩi| = 0.
Per costruire ui+1e δi+1da ui e δiprocediamo come segue. Sia Ωi ={x ∈ Ω : dist (x, ∂Ω) < 2−i}.
Sia ρ una funzione regolare con supporto nella palla unitaria eR ρ = 1. Sia
ρǫ(x) = ǫ−nρ x
ǫ
.
Poich´e la convoluzione ρǫ∗ Dui converge a uiin L1(Ωi) quando ǫ→ 0, possiamo
scegliere ǫi ∈ (0, 2−i) tale che
kρǫi∗ Dui− DuikL1(Ω i) <2
−i. (6.13)
Sia
δi+1 = δiǫi. (6.14)
Usiamo il Lemma 6.14 per ottenere ui+1tale che Dui+1∈ Ui+1, ui+1 = ui su ∂Ω
e
sup
Ω |ui+1− ui| < δi+1
. (6.15) poich´e δi+1 ≤ δ2i, si ha ∞ X i=1 δi ≤ δ 2. Quindi ui → u∞ uniformemente,
e u∞ `e Lipschitziana poich´e le ui sono uniformemente Lipschitziane (per il sec-
ondo punto della Definizione 6.15). Inoltre, prendendo uδ = u∞ si ottengono le
ultime due relazioni di (6.12). Rimane solo da mostrare che Duδ ∈ K.
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 73
kDρǫkL1(Ω k) ≤
C
ǫ, deduciamo dalla (6.15) e dalla (6.14) kρǫ∗ (Duk− Du∞)kL1(Ω
k) = kDρǫk ∗ (uk− u∞)kL1(Ωk)
≤ C
ǫk sup|uk− u∞| ≤
C ǫk P∞ j=k+1δj ≤ 2C ǫkδk+1 ≤ C ′δ k. (6.16)
Usando la relazione (6.13), segue che
kDuk− Du∞kL1(Ω) ≤ C′δk+ 2−k +kρǫk∗ Du∞− Du∞kL1(Ω k)
+kDuk− Du∞kL1
(Ω\Ωk).
Poich´e Duk e Du∞ sono limitati, otteniamo Duk → Du∞ in L1(Ω). Quindi
esiste una sottosuccessione ukj tale che
Dukj → Du∞ q.o.
Segue dalla definizione della in-approssimazione che
Du∞∈ K q.o.
Ritornando al problema a due pozzi, costruiamo una in-approssimazione us- ando la formula esplicita del Lemma 6.6 (cfr. [23] per ulteriori dettagli).
Denotiamo con K(A, B)= K. lc, cio`e l’inviluppo di laminazione di K. Deno-
tiamo con λ, µ i valori singolari di BA−1, ossia gli autovalori di(BA−1)t(BA−1)
1 2
.
Teorema 6.19. Supponiamo che λ <1 < µ.
1. Allora l’inviluppo di laminazione `e dato da
Klc = K(A, B) =
F = (y, z) :|y| ≤ λµ− det F λµ− 1 ,|z| ≤
det F − 1 λµ− 1
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 74
2. Inoltre, la parte interna di K(A, B) `e ottenuta rimpiazzando le disuguaglianze
per|y| e per |z| con delle disuguaglianze strette.
Dimostrazione. La formula per K(A, B) segue direttamente dal Lemma 6.6.
Si verifica facilmente chedet A≤ det F ≤ det B per ogni F ∈ K(A, B). Se le
disuguaglianze strette valgono per una certa matrice F0, allora F0 sta nella parte
interna di K(A, B) poich´e le mappa F 7→ (y, z) `e non singolare quando λ 6= µ.
Supponiamo invece che per F0 = (y0, z0) si abbia |z0| = det F0− det A
det B− det A.
Se F0 fosse un punto interno di K allora vorremmo
det (F0 + tY )≥ det F0 per ogni Y ∈ SO(2)
e per ogni t sufficientemente piccolo (poich´e z(F0+ tY ) = z0). Segue che
0 = F0 : cof Y = F0 : Y , ∀Y ∈ SO(2).
Quindi
F0 = a b
b −a
!
che implica det F0 ≤ 0. Questa contraddizione mostra che F0 deve essere un punto sul bordo di K. Possiamo riapplicare lo stesso argomento, se valgono le
uguaglianze per|y|.
Corollario 6.20. Sia V ⊂ M2×2× M2×2l’insieme
V ={(A, B) : λ < 1 < µ, 0 < det A < det B} .
Allora la mappa (A, B) 7→ K(A, B) `e continua su V nel seguente senso: se (Aj, Bj) → (A, B) allora ogni insieme compatto G ⊂ int K(A, B) `e contenuto
6.2 Esistenza di soluzioni esatte 75
Dimostrazione. Segue dal secondo punto del Teorema 6.19 e dalla continuit`a
della mappa(A, B, F )7→ (y, z) su V × M2×2.
Teorema 6.21. Supponiamo λ < 1 < µ, λµ > 1. Sia F0 ∈ int K(A, B). Allora
esiste una soluzione del problema a due pozzi (introdotto nella Sezione 1.5), che soddisfa
u= F0x su ∂Ω.
Dimostrazione. Per il Teorema 6.17 `e sufficiente costruire una in-approssi-
mazione. L’esistenza di una tale approssimazione `e una conseguenza diretta del Corollario 6.20.
Una possibile costruzione `e quella che segue. Sia U1 ⊂⊂ int K(A, B) un intorno
aperto di F0 e sia δ >0. Per il Corollario 6.20 esistono A2, B2 ∈ int K(A, B) tali
che
U1 ⊂ K(A2, B2) = (SO(2)· A2∪ SO(2) · B2)lc.
Possiamo supporre che |A2 − A| < δ2, |B2 − B| < δ2. Sia U2 un δ2 intorno di SO(2)· A2∪ SO(2) · B2 allora
U1 ⊂ U2lc,
e
dist(F, SO(2)· A2∪ SO(2) · B2) < δ ∀F ∈ U2.
Capitolo 7
Alcune estensioni
7.1
Due pozzi in tre dimensioni
Il caso n= 3 `e pi`u complicato.
Non sappiamo se il Teorema 6.3 continua ad essere vero. Una delle difficolt`a che si trovano `e che l’inviluppo policonvesso Kpcdi K pu`o non coincidere con K anche se i due pozzi sono incompatibili. La caratterizzazione delle matrici diag- onali B per cui vale Kpc = K non sembra ovvia. Non si conosce nemmeno, nel
caso in cui i due pozzi siano incompatibili, se si ha Krc= K.
Tuttavia, in certi casi particolari, `e possibile dimostrare il Teorema 6.3 usando un metodo simile a quello usato per n= 2: possiamo usare il fatto, ben noto, che
∂
∂xj(cofDϑ)ij = 0, nel senso delle distribuzioni, per ogni funzione ϑ : Ω → R
3
appartenente allo spazio W1,2(Ω) (vedi la dimostrazione del Teorema B.1).
Perci`o si ha Z Ω (cofDϑ− cofD ˜ϑ)ij ∂ ∂xj(η 2(ϑi− ˜ϑi)) dx = 0 (7.1)
per ogni ϑ, ˜ϑ ∈ W1,2(Ω) , dove η∈ C∞
0 (Ω). Se esiste α > 0 tale che (cofX − cofY )ij(X − Y )ij ≥ α|X − Y |
2