5.2
Inviluppo convesso e soluzione del Problema 3
Estendiamo le diverse nozioni di convessit`a dalle funzioni agli insiemi. Per prima cosa, ricordiamo che l’inviluppo, o l’involucro, quasiconvesso (ma anche convesso, policonvesso, rango-uno convesso) di una funzione f : Mm×n → R `e la
pi`u ‘grande’ funzione quasiconvessa (convessa, policonvessa, convessa di rango- uno)≤ f ed `e indicata con fqc(fc = f∗∗, fpc, frc). In modo analogo, l’inviluppo
quasiconvesso di un insieme K ⊂ Mm×n, `e definito come
Kqc=. nF ∈ Mm×n : f (F )≤ inf
K f, ∀f : M
m×n → R quasiconvessao,
con definizioni simili per Kc, Kpc, Krc. Notiamo che Kc `e l’inviluppo convesso
chiuso. Un insieme `e detto quasiconvesso se K = Kqc. Un insieme K `e chiamato
convesso-a-strati se le condizioni A, B ∈ K e rk(B − A) = 1 implicano che le
conbinazioni convesse di A e di B rimangono in K. L’inviluppo di laminazione
Klcdi K `e il pi`u piccolo convesso-a-strati contenente K.
Proposizione 5.10. L’inviluppo di laminazione Klc di K pu`o essere equivalente- mente definito aggiungendo induttivamente segmenti di rango-uno:
Klc = ∞ [ i=1 K(i), dove K(1) = K, e K(i+1) = ( F ∈ Mm×n : ∃A, B ∈ K
(i), λ∈ (0, 1), tali che F = (1− λ)A + λB, rk(B − A) = 1
)
∪ K(i).
Dimostrazione. Chiaramente Klc deve contenere ogni K(i) poich´e Klc `e un laminato chiuso. Dall’altro lato, se A, B ∈ ∪iK(i), allora A, B ∈ K(i)per qualche i. Se in pi`u rk(B − A) = 1 allora (1 − λ)A + λB ∈ K(i+1). Quindi∪iK(i) `e un
convesso-a-strati e quindi contiene Klc. Supponiamo ora che K sia aperto. Per induzione `e sufficiente mostrare che K(1) `e aperto. Sia F = (1− λ)A + λB, dove A, B ∈ K e rk(B − A) = 1. Allora F + D ∈ K(1) per |D| sufficientemente piccolo poich´e rk((A + D)− (B + D)) = 1 e A + D, B + D ∈ K.
5.2 Inviluppo convesso e soluzione del Problema 3 55
Si ha la seguente catena di inclusioni (vedi la Proposizione 4.4):
Klc ⊆ Krc⊆ Kqc ⊆ Kpc⊆ Kc. (5.13) In generale Klc 6= Krc. L’inviluppo policonvesso `e strettamente legato al classico inviluppo convesso (chiuso) in quanto `e l’intersezione di un insieme convesso ed una condizione non convessa. Sia M(F ) il vettore di tutti i minori di F (vedi la
Sezione 4.1) e sia ˆ K ={M(F ) : F ∈ K} . Allora si ha che Kpc =nF : M(F )∈ ( ˆK)co (5.14) ed inoltre Kpc ={hν, id i : ν ∈ M(K)} .
Con questa notazione si pu`o risolvere il Problema 3 (vedi la Sezione 1.4). Ricordando che l’insieme Kapp(interpretato come le deformazioni affini non sot- toposte a forze macroscopiche) `e l’insieme di tutte le matrici F tali che esista una successione uj limitata in W1,∞(Ω, Rm), tale che
dist(Duj, K)→ 0 in misura inΩ (5.15) uj = F x su ∂Ω,
e cheMqc(K) denota l’insieme delle misure di Young gradiente omogenee (vedi
la relazione (5.1)).
Teorema 5.11. Supponiamo che K sia un compatto e denotiamo con distK la
funzione distanza da K. Allora
Kapp = Kqc.
Dimostrazione. Dopo una rinormalizzazione, possiamo assumere che|Ω| = 1.
5.2 Inviluppo convesso e soluzione del Problema 3 56
e supponiamo che {uj} sia limitata in W1,∞e che soddisfi (5.15). Possiamo as- sumere cheinfKf = 0 e dobbiamo mostrare f (F )≤ 0. Poich´e f `e continua (vedi
l’Osservazione 4.3) abbiamo f+(Duj) → 0 in misura, e |f+(Duj)| ≤ C poich´e Duj `e limitato in L∞. La quasiconvessit`a, (5.15) e la convergenza dominata implicano
|Ω|f(F ) ≤ lim inf j→∞
Z
Ω
f(Duj) dx≤ lim inf
j→∞ f
+(Duj) dx = 0.
Per provare l’inclusione inversa, Kqc ⊂ Kappsia F ∈ Kqc. Allora distqcK(F ) = 0 per definizione di Kqc. Per la formula di rappresentazione per distqc
K (vedi la
Proposizione 4.13) esiste ϕj ∈ W01,∞(Ω; Rm) tale che 0 = distqcK(F ) = lim
j→∞ Z
Ω
distK(F + Dϕj) dx.
Allora, la funzione uj(x) = F x + ϕj, soddisfa (5.15). Il problema `e che a pri-
ori Dujdeve solo essere limitata in L1(infatti debolmente relativamente compatta
in L1) e pu`o non esserlo in L∞. Il Lemma di Zhang (vedi il Lemma 5.6) assicura che ujpu`o essere modificato su un piccolo insieme in modo che le relazioni (5.15)
valgano e Duj sia limitata in L∞.
Proposizione 5.12. Supponiamo di essere nelle stesse ipotesi del teorema prece-
dente, allora
1. Kqc ={distqcK = 0},
2. Kqc `e l’insieme dei baricentri delle misure di Young gradiente omogenee supportate su K:
Kqc={hν, id i : ν ∈ M(K)}.
Dimostrazione. Anche in questo caso, dopo una rinormalizzazione, possiamo
5.2 Inviluppo convesso e soluzione del Problema 3 57
1. L’inclusione⊂ segue dalla definizione di Kqc. D’altra parte abbiamo gi`a mostrato, nel teorema precedente, che distqcK(F ) = 0 implica F ∈ Kapp= Kqc.
2. Sia ν ∈ Mqc(K). Per definizione f (hν, id i) ≤ hν, fi ≤ supKf e quindi hν, id i ∈ Kqc. Viceversa, supponiamo che F ∈ Kqc. Dobbiamo mostrare che
esiste ν ∈ Mqc(K) conhν, id i = F . Dopo una trasformazione affine possiamo
assumere F = 0. Per il teorema precedente esiste una successione uj (limitata in
W1,∞) che soddisfa (5.15). Passando ad una sottosuccessione possiamo assumere
che {Duj} generi la misura di Young ν e Duj ⇀ Du in L∗ ∞(Ω; Mm×n). Per il
teorema della divergenza
Z Ωhνx , idi dx = Z Ω Dudx = 0. (5.16)
Per ottenere una misura di Young omogenea definiamo per dualit`a E(ν) come
l’unica misura di Radon che soddisfa
hE(ν), fi = 1 |Ω|
Z
Ω
hνx, fi dx ∀f ∈ C0(Mm×n).
Dal Teorema 5.2 abbiamo νx ∈ Mqc(K) per q.o. x e quindi E(ν)∈ Mqc(K).
Capitolo 6
Problema a due Pozzi
La notazione `e quella introdotta nella Sezione 1.5.
Siamo interessati allo studio delle successioni uj per cui I(uj) tende verso
zero dove,
I(u) = Z
Ω
W(Du(x)) dx.
Con Ω ⊂ Rn indichiamo un dominio e con u una mappa definita su Ω a valori
in Rn. Assumiamo che W sia continua e positiva, e che soddisfi la seguente condizione di invarianza: W(R · X) = W (X) per ogni X ∈ Mn×n e ogni R ∈ SO(n). Inoltre indichiamo con K l’insieme {X : W (X) = 0} 6= ∅.
In questo capitolo vogliamo studiare il caso in cui K `e composto da due orbite (chiamate pozzi) di SO(2), ovvero K = SO(2)· A ∪ SO(2) · B per qualche
matrice A, B con det A >0 e det B > 0.
Proveremo che se i due pozzi non sono compatibili, ossia se rk(A′ − B′)≥ 2
per ogni matrice A′, B′ ∈ K, A′ 6= B′, allora le successioni di deformazioni la cui
energia si avvicina a zero mostrano lo stesso comportamento che si ha nel caso di un singolo pozzo (vedi il Capitolo 2).
Per il caso di pozzi compatibili daremo una descrizione esplicita dell’insieme
Kqcdi tutte le deformazioni Y per cui esitono deformazioni con energia arbitrari- amente piccola la cui restrizione al bordo diΩ `e esattamente Y .
Sotto le nostre assunzioni, l’insieme Kqc coincider`a con l’insieme in cui `e nul- lo il quasiconvessificato di W . Le deformazioni che possono essere approssi-
6.1 Due pozzi in due dimensioni 59
mate da deformazioni a energia arbitrariamente piccola saranno caratterizzate da
Du∈ Kqc.
6.1
Due pozzi in due dimensioni
Siano date due matrici A, B ∈ M2×2 tali che det A > 0 e det B > 0.
Vogliamo considerare il problema menzionato nella Sezione 1.5: caratterizzare tutte le mappe u: Ω→ R2che soddisfano
Du(x)∈ K = SO(2) · A ∪ SO(2) · B. (6.1)
Supponiamodet B > det A; dopo un cambio di variabile affine della forma u7→ ˜
u, doveu(˜˜ x) = R· u(A−1Q−1x), possiamo assumere, senza perdere di generalit`a˜
che A= 1 0 0 1 ! e B = λ 0 0 µ ! dove0 < λ≤ µ e λµ ≥ 1.
Il caso in cuidet B = det A `e pi`u complicato, per cui lo omettiamo.
Il primo passo verso la risoluzione dei Problemi 1-3 `e cercare connessioni di rango-uno all’interno dell’insieme K.
Indicheremo le matrici Q di SO(2) nel seguente modo:
Q= cos θ − sin θ sin θ cos θ
! = eiθ.
Proposizione 6.1. Siano A e B le due matrici introdotte in precedenza. Conside-
riamo l’equazione
QA− B = a ⊗ υ , dove Q ∈ SO(2), (6.2)
Valgono le seguenti affermazioni:
6.1 Due pozzi in due dimensioni 60
2. Se λ = 1 (e µ > 1), allora (6.2) ha esattamente una soluzione, data da Q= id, a = (1− µ)e2, υ = e2.
3. Se λ < 1, allora (6.2) ha esattamente due soluzioni. Esse sono date da Q1 = eiθ1, Q
2 = e−iθ1 dove θ1 `e determinato da cos θ1 = λµ+ 1
λ+ µ = 1−
(1− λ) (µ − 1) λ+ µ <1.
Inoltre i vettori a, υ espressi nella relazione (6.2) sono:
ai = d 1, − sin θi cos θi−λ ,
υi = d−1(cos θi− λ, sin θi) , d = (cos θi− λ)2+ sin2θi
1 2
.
Osservazione 6.2. Con la formula (6.2) abbiamo espresso la connessione di rango-
uno che pu`o esserci tra due matrici che stanno in K.
Dimostrazione. Basta calcolaredet "
Q− λ 0
0 µ !#
= 0.
Teorema 6.3. Supponiamo che K sia della forma descritta in (6.1), e che non
contenga connessioni di rango-uno.
Allora ogni misura di Young ν : Ω→ M(M2×2) con supp νx ⊂ K `e una misura
di Dirac indipendente da x. Inoltre
Klc = Krc = Kqc= Kpc= K (6.3)
`
E importante notare la prima parte di questo teorema, infatti ci dice che se la successione uj converge debolmente a u in W1,∞(Ω) e I(uj) → 0, si ha che i
gradienti Duj convergono puntualmente ad un’unica matrice (indipendetemente
da x).
Dimostrazione. L’ossevazione fondamentale `e che
6.1 Due pozzi in due dimensioni 61
Per simmetria e per le invarianze di SO(2) `e sufficiente verificarla per G = id.
La disuguaglianza vale per F = B (per la proposizione precedente) e quindi
per connessione e per la mancanza di connessioni di rango-uno vale anche per
F ∈ SO(2) · B. In modo analogo, det(id − (−id)) > 0 e quindi per connessione,
(6.4) vale anche per tutte le altre F ∈ SO(2).
Per determinare l’insieme Kqc consideriamo per prima cosa una misura di Young gradiente omogenea ν supportata in K e indichiamo con ν =hν, idi il suo
baricentro. Abbiamo per F, G∈ M2×2
det (F − G) = det F − cof F : G + det G
dove F : G = tr FTG = P
i,jFijGij. Per cui vale, per le propriet´a dei minori
(vedi la Proposizione A.1),
0 ≤ Z M2×2 ×M2×2 det(F − G) dν(F ) dν(G) = Z M2×2×M2×2
(det F − cof F : G + det G) dν(F ) dν(G) =
Z
M2×2
(det ν− cof ν : G + det G) dν(G) = det ν− cof ν : ν + det ν = det(ν − ν) = 0.
Quindi la prima disuguaglianza deve essere un’uguaglianza, e (6.4) implica che la misura prodotto ν ⊗ ν `e supportata sulla diagonale di M2×2× M2×2. Quindi
ν `e una misura di Dirac. Questo implica, per il Teorema 5.11 che Kqc = K, e
poich´e gli argomenti usati sfruttano solo propriet`a dei minori, abbiamo anche che
Kpc= K.
Ora sia ν : Ω → M(Mm×n) un’arbitraria misura di Young gradiente con
supp νx ⊂ K q.o. Per quanto appena mostrato νx = δDu(x) e Du(x)∈ K q.o.
Mostriamo che Du ≡ cost . Per far ci`o osserviamo che (6.4) pu`o esser rafforzata:
det (X− Y ) ≥ c|X − Y |2, c >0, ∀X, Y ∈ K (6.5) Per connessione e per le invarianze di SO(2) `e sufficiente verificare che lo spazio
6.1 Due pozzi in due dimensioni 62
tangente a SO(2) nell’identit`a non contenga connessioni di rango-uno. Questo `e
ovvio. Ora poniamo e il vettore unitario di R2, e per 0 < h < 1 consideriamo
il traslato v(x) = u(x + he) e una funzione test η ∈ C∞
0 (Ω). Poich´e il determi-
nante `e una funzione a lagrangiana nulla (vedi l’Osservazione B.3 in Appendice), integrando la (6.5) si ottiene c Z Ω η2|Du − Dv|2dx≤ Z Ω det [η(Du− Dv)] dx ≤ Z Ω det [D (η(u− v))] dx − Z Ω cof D(η(u− v)) : (u − v) ⊗ Dη dx + Z Ω det [(u− v) ⊗ Dη] dx ≤ c 2 Z Ω η2|Du − Dv|2dx + C Z Ω|Dη| 2 |u − v|2dx.
Quindi il quoziente ηDu−Dvh `e uniformemente limitato in L2 e perci`o
Du∈ Wloc1,2(Ω; Mm×n). Inoltre Du pu`o assumere i valori di una sola componente
connessa di K, per cui la tesi segue dal Teorema 2.1.
Osservazione 6.4. `E chiaro che il Teorema 6.3 continua ad essere vero qualsiasi sia il numero di pozzi, SO(2)-invarianti, a due a due incompatibili, che compon-
gono l’insieme K. Questo perch´e la condizionedet(X−Y ) ≥ α|X − Y |2rimane vera per ogni X, Y ∈ K.
Per considerare il caso in cui in K esistano delle connessioni di rango-uno, caso in cui i due pozzi siano compatibili, `e conveniente introdurre delle nuove coordinate y = (y1, y2) e z = (z1, z2) per le matrici X =
x11 x12 x21 x22 ! di M2×2, in questo modo X = y1 −y2 y2 y1 ! + z1 −z2 z2 z1 ! · λ 0 0 µ ! . (6.6)
6.1 Due pozzi in due dimensioni 63
SO(2), R· X = (Ry, Rz). Per cui potremo scrivere K = {(y, 0) : |y| = 1} ∪ {(0, z) : |z| = 1}.
Lemma 6.5. Sia a≤ b e sia K ⊂ Rn×Rn×R dato da K = {(y, 0, a) : |y| = 1}∪
{(0, z, b) : |z| = 1}. Allora Kc =
(
{(y, z, a) : |y| + |z| ≤ 1} se a= b (y, z, t) : |y| ≤ 1 − t−a
b−a e|z| ≤ b−at−a
se a < b.
Dimostrazione. L’affermazione `e ovvia per n= 1. Il caso generale segue dal
caso n = 1 considerando le trasformazioni (y, z, t) 7→ (Ry, Qz, t) con R, Q ∈ SO(n), che lasciano invariati tutti gli insiemi che abbiamo considerato.
Lemma 6.6. Sia n = 2 e sia K formato dai due pozzi compatibili descrit-
ti in precedenza. Siano (y, z) le coordinate su M2×2 descritte in (6.6). Allora
l’inviluppo policonvesso di K `e dato da
Kpc= (
{X = (y, z) : |y| + |z| ≤ 1 e det X = 1} se det B = 1 X = (y, z) : |y| ≤ 1 − det X−1
det B−1 e|z| ≤ det X−1det B−1
se det B > 1.
Dimostrazione. Segue facilmente dalla caratterizzazione (5.14) e dal Lemma
6.5.
Lemma 6.7. Sotto le ipotesi del Lemma 6.6 l’inviluppo delle connessioni di rango-
uno di K coincide con l’inviluppo policonvesso. In altre parole, Krc= Kpc.
Dimostrazione. Poich´e Krc ⊂ Kpc per ogni insieme K, `e sufficiente preo- vare che Kpc ⊂ Krc. La dimostrazione si basa su una propriet`a dell’iperboloide
Σ ⊂ R3 che deriva dalla geometria elementare: per ogni punto a di Σ esistono
esattamente due linee, contenute inΣ, passanti per a. (Per Σ0 dato da x21+ x22− x23 = 1 le linee contenute in Σ0sono date da(cos α− t sin α, sin α + t cos α, t) e (cos α− t sin α, sin α + t cos α, −t), t ∈ R. L’iperboloide generico Σ pu`o essere
6.1 Due pozzi in due dimensioni 64
ottenuto daΣ0dopo un semplice cambio di variabile.)
Consideriamo prima il caso in cui det B = 1. Sia L un sottospazio lineare
di M2×2 definito da L = {X : x12+ x21= 0} = {X = (y, z) : z2 = 0}. Poich´e Krce Kpc sono chiaramente invarianti sotto trasformazioni del tipo X 7→ R · X con R ∈ SO(2) ed ogni orbita di SO(2) interseca L, `e sufficiente provare che
Kpc∩L ⊂ Krc∩L. Siano R1, R
2due elementi di SO(2) per cui det(B−Ri) = 0,
e sia Σ = {X ∈ L : det X = 1}. `E facile verificare che Σ `e un iperboloide in L. Abbiamo Kc ={X = (y, z) : |y| + |z| ≤ 1} e possiamo facilmente calcolare Σ∩ Kc. Questa intersezione consiste di due superfici connesse (con bordo) S
1ed S2, legate dalla relazione S2 = {X : −X ∈ S1}. Riordiniamo le due superfici
in modo che B ∈ S1. Il bordo della superficie S1 `e composto dai segmenti di
rango-uno[B, R1] e [B, R2] e dall’arco (R1, R2)⊂ SO(2). Inoltre ogni funzione
convessa di rango-uno che sia ≤ 0 su K `e ≤ 0 anche sul bordo di S1. Esitono
linee contenute inΣ passanti per ogni punto di Σ. Ogni linea contenuta in Σ deve
essere una linea di rango-uno ed ogni funzione convessa di rango-uno che sia≤ 0 sul bordo di S1 deve essere≤ 0 in ogni punto di S1. Usando lo stesso argomento
per S2 si vede che ogni funzione convessa di rango-uno tale che sia≤ 0 su K `e ≤ 0 in ogni punto di S1∪ S2. La dimostrazione del casodet B = 1 `e conclusa.
La prova del caso generale `e simile. Sia f una funzione convessa di rango-uno tale che≤ 0 su K. Provare che f ≤ 0 in ogni punto di Kpc, `e sufficiente a provare che f ≤ 0 sul bordo di Kpc. Per far ci`o mostriamo che f ≤ 0 sui seguenti insiemi
˜ F1 =.
X = (y, z) :|y| = 1 −det X− 1 det B− 1 \ Kc, ˜ F2 =. X = (y, z) :|z| = det X− 1 det B− 1 \ Kc.
Usando le trasformazioni X 7→ R · X con R ∈ SO(2) nello stesso modo del caso
det B = 1 vediamo che f ≤ 0 negli insiemi F1 = ˜F1 ∩ {X = (y, z) : y2 = 0}
e F2 = ˜F2 ∩ {X = (y, z) : z2 = 0}. Entrambi gli insiemi sono composti da
due superfici connesse con bordo che sono contenute in certi iperboloidi. (Adesso abbiamo diversi iperboloidi per ogni pezzo.) Usando lo stesso argomento del caso