Coefficienti caratteristici di stadio

Il passo successivo consiste nella valutazione dei coefficienti caratteristici di stadio che sono un insieme di parametri adimensionali che permettono di effettuare una stima di massima delle prestazioni che la macchina (nel caso specifico il singolo stadio) è in grado di fornire; di seguito si andranno ad elencare i vari coefficienti con i passaggi algebrici necessari per giungere alla loro formulazione analitica:

• Coefficiente di flusso o di portata in aspirazione: come suggerito dal nome, questo coefficiente viene usato solitamente per caratteriz- zare la portata elaborata da una macchina. Dato che la definizione di questo parametro si basa su alcune componenti di velocità relative al triangolo delle velocità in ingresso alla girante, in Figura 4.1 vie- ne riportato uno schema classico in cui vi è una visione dall’alto della girante con i relativi triangoli delle velocità. Chiaramente da questo punto di vista è possibile visualizzare in modo completo esclusivamen- te il triangolo delle velocità in uscita dato che quello in ingresso si trova su di un piano ortogonale al foglio, tuttavia i parametri indicati per il triangolo delle velocità in ingresso sono validi anche per il triangolo in

Figura 4.1: Girante vista dall’alto con triangoli delle velocità.

uscita, basta semplicemente considerare le varie grandezze con pedice 1 anzichè 2. Il valore del coefficiente in esame si calcola con il rapporto

φ1 ≡

c1r

u1

(4.33)

in cui vi sono le due componenti di velocità presentate di seguito, rife- rite alla miscela di gas all’ingresso della girante:

1. c1r: componente radiale della velocità assoluta c1;

2. u1: velocità tangenziale in corrispondenza del diametro D1.

Il valore di u1 si ricava semplicemente considerando le formule rela-

tive al moto rotatorio, quindi, indicando con ω la velocità di rotazione dell’albero su cui è calettata la girante, si ha che:

ω = u1 D1

= u2 D2

Invece il valore di c1r è stato calcolato come rapporto tra la portata

volumetrica elaborata dal generico stadio (Q1) e l’area in ingresso della

girante, la quale si può ricavare nel seguente modo:

A1 = π 4 D 2 1− D 2 0
= πD1b1 (4.35)

Utilizzando la relazione sopra si può quindi esprimere il valore del- la componente radiale della velocità assoluta in ingresso alla girante mediante il rapporto presentato di seguito:

c1r = Q1 A1 = Q1 πD1b1 (4.36)

Sostituendo la relazione 4.36 nella 4.33 e svolgendo qualche passaggio matematico utilizzando anche l’equazione 4.34, si arriva alla formula- zione analitica del coefficiente φ1 adottata nel foglio di calcolo

φ1 = Q1 u1πD1b1 = Q1 u2π D2 1 D2b1 = Q1 u2πD221a (4.37)

dove, per mezzo della relazione 4.35, il coefficiente a è definito come:

a = D 3 2 πD2 1b1 = D 3 2 D1A1 (4.38)

I valori dei parametri a relativi ad ogni stadio sono stati calcolati con l’ultimo rapporto espresso nella relazione precedente in quanto tra i dati geometrici di partenza vi sono i diametri D1 e D2 ma non l’altezza

palare in ingresso b1.

• Coefficiente di flusso o di portata aerodinamico in aspirazione Il coefficiente in questione si calcola con la seguente relazione:

φ1l =

4Q1

u2πD22

(4.39)

Questo coefficiente, a differenza di φ1, non serve per il calcolo della pre-

valenza politropica (esposto successivamente nel paragrafo 4.1.4) bensì si utilizza per effettuare una prima verifica di carattere fluidodinamico

degli stadi assicurandosi che si abbia φ1l < 0, 15.

• Coefficiente di flusso o di portata in uscita girante: questo coef- ficiente è analogo ai precedenti con la sola differenza che è riferito all’uscita della girante anzichè all’ingresso; per questo motivo sono validi i ragionamenti fatti per il precedente coefficiente ed anche la formulazione risulta essere analoga, infatti si ha che:

φ2 =

Q1

u2πD2b2fe

(4.40)

Come si può notare la sola differenza rispetto a φ1 consiste nell’intro-

duzione di fe a denominatore che rappresenta il fattore di ingombro

delle pale:

fe = 1 −

N s πD2

(4.41)

• Coefficiente di prevalenza: questo coefficiente caratterizza la pre- valenza fornita dai singoli stadi del compressore e si può definire come rapporto tra componenti di velocità riferite al triangolo delle velocità in uscita dalla girante

τ ≡ c2u u2

(4.42)

in cui i termini che formano il rapporto sono:

1. c2t: componente tangenziale della velocità assoluta c2;

2. u2: velocità tangenziale in corrispondenza del diametro D2.

Dall’equazione 4.42 derivano le seguenti espressioni per i coefficienti di prevalenza, caratterizzate da una riduzione progressiva delle ipotesi semplificative considerate:

1. Girante a pale infinite.

τ∞=

L12∞

u2 2

(4.43)

Il termine L12∞ indica il valore assoluto del lavoro scambiato tra

gli organi rotanti del compressore ed il fluido; il segno ∞ nel pe- dice sta ad indicare che si ammette, con una forte semplificazione rispetto al caso reale, che sia possibile suddividere la vena fluida

all’interno di ogni singolo vano palare in un certo numero di filetti identici fra loro ed interessanti completamente lo spazio compre- so tra due pale contigue. Secondo questa ipotesi le molecole del fluido descrivono le stesse traiettorie ed hanno, per una distanza dall’asse di rotazione fissata, velocità identiche in grandezza e di- rezione. La forma dei filetti fluidi è quella del profilo delle pale del compressore ed in particolare all’uscita della palettatura mobile, la direzione della velocità relativa w2 (vedere Figura 4.1) coincide

con la direzione della tangente alla pala nella sezione di uscita [1]. Per determinare il valore di L12∞ si ricorre all’equazione di Eu-

lero che lega la potenza assorbita dal fluido, cioè il lavoro comu- nicato all’unità di peso di fluido dalla girante nell’unità di tempo, e la velocità del fluido nelle sezioni di ingresso e uscita:

L12∞ = gH = c2 2− c21 2 + w2 1 − w22 2 + u2 2− u21 2 = u2c2t− u1c1t (4.44) L’equazione di Eulero scritta come sopra è cambiata di segno ri- spetto alla formulazione classica; nelle trattazioni delle macchine operatrici come l’estrattore gas in esame si è soliti procedere in questo modo per avere direttamente il valore di L12∞ positivo an-

zichè doverne fare il valore assoluto. Si precisa inoltre che il va- lore assoluto del lavoro scambiato (L12∞) è uguale al prodotto tra

la prevalenza (H) e l’accelerazione di gravità a meno delle perdite in quanto con H si indica la prevalenza teorica sviluppata dalla girante. La relazione 4.43 può anche essere scritta nella forma

τ∞ = 1 − φ1 tan β2 b1 b2  D₁ D2 2 = 1 − φ2 tan β2 (4.45)

dove β2è l’angolo compreso tra u2e w2come si può vedere in Figura

4.1.

Nel foglio di calcolo realizzato il coefficiente τ∞ è stato calcolato

con l’ultima relazione dell’equazione 4.45. 2. Girante con N pale.

τz = ξτ∞= ξ

L12∞

u2 2

Figura 4.2: Effetti del moto rotatorio all’interno dei vani palari delle giranti.

Il fattore di scorrimento ξ presente nella relazione sopra viene in- serito per quantificare lo scostamento delle condizioni di funzio- namento della macchina con N pale, dalle condizioni di funziona- mento teoriche valide per una macchina con un numero infinito di pale; le due condizioni possono arrivare a differire del 30% in termini di prevalenza fornita dalla girante. In pratica con il fat- tore di scorrimento si va a considerare il fenomeno per cui il flui- do compreso all’interno dei condotti della girante è animato, oltre che da un moto di traslazione, anche da un moto di rotazione con velocità −ω, avendo indicato con ω la velocità di rotazione della girante. Dalla composizione dei due moti ne deriva una corrente nella quale la velocità relativa risultante è massima presso l’intra- dosso, ventre della pala, e minima presso l’estradosso, dorso della pala, come risultante dalla composizione di due velocità relative con verso contrario. L’effetto del moto rotatorio che sussiste in un compressore reale , è quello di provocare una modifica dell’ango- lo β2 con cui il fluido abbandona il condotto. Esso assume infatti

un valore β2z minore di quello costruttivo, per cui la w2z, velocità

relativa con N pale, risulta più inclinata della w2. Ne consegue

che la c2z forma un angolo α2z > α2, e pertanto c2tz < c2t restando

invariata la portata cioè c2r [1], [4]. Gli effetti provocati dal moto

rotatorio all’interno dei vani palari sono schematizzati in Figura 4.2. Dal punto di vista analitico la definizione generale del fattore di scorrimento è la seguente

ξ = c2tz c2t

tuttavia nel foglio di calcolo realizzato è stata utilizzata una for- mulazione più pratica molto simile alla formula di Stodola [1], [4]: ξ = 1 − sin β2 N0,7 1 1 − φ2cot β2 (4.48) 3. Stadio completo τs= L12s u2 2 = gHpol u2 2 (4.49)

Inserendo in questa equazione le relazioni 4.44 e 4.46 si ottiene anche un’altra formulazione per τs che tornerà utile successiva-

mente:

τs = ηsτz (4.50)

In questo caso oltre a considerare la girante con il numero effettivo di pale si tiene anche conto di tutte le altre perdite che vi possono essere nello stadio tra le quali le più importanti sono le perdite per attrito e per urto nel diffusore e nella girante. Questa cosa è ben visibile nella formula 4.49 in cui è presente la prevalenza po- litropica (Hpol) invece della prevalenza teorica (H) utilizzata nella

relazione 4.45.

4.1.4

Rendimento politropico e prevalenza politropica