Per analizzare il problema in esame, riguardante il compressore nella condi- zione di funzionamento reale con IGV ad 1,1 bar alla mandata, si è modellata la zona di inserimento dell’acqua nella cassa di alta pressione, tra lo stadio AP1 e lo stadio AP2, come uno scambiatore adiabatico in cui confluiscono due fluidi a temperature diverse che entrano in contatto tra di loro. Uno schema dello scambiatore è riportato in Figura 6.6.
Durante la fase di scambio termico è necessario che l’acqua subisca un cam- biamento di fase e si trasformi in vapore acqueo in modo da potersi mescola- re con il fluido di lavoro del compressore per essere successivamente trattato dalla girante AP2.
Figura 6.6: Schema di scambiatore a due entrate ed un’uscita.
di evaporazione dell’acqua risulta essere pari a
Tvap(0,506 bar) = 81,5 °C
Si possono ricavare mediante le tabelle termodinamiche riportate in Appen- dice E anche il valore del calore latente di vaporizzazione Lvap ed il valore
del calore specifico del vapore Cp,vapin tali condizioni:
Lvap= 2305,45 kJ/kg; Cp,vap= 1,9654 kJ/kgK
Una volta note tali grandezze è possibile calcolare la potenza termica neces- saria a far vaporizzare completamente la portata di acqua GH2O iniettata
nella cassa. Facendo riferimento alla Figura 6.7 la potenza termica può essere divisa in vari contributi:
• Potenza termica per innalzare la temperatura dell’acqua da TH2O =
19,999 °C a Tvap= 81,5 °C
Wrisc = GH2OCp(Tvap− TH2O) (6.7)
• Potenza termica per far evaporare la portata d’acqua essendo noto il calore latente di vaporizzazione a 0,506 bar
Figura 6.7: Diagramma del passaggio di stato dell’acqua da fase solida a fase aeriforme.
La potenza termica totale quindi per far evaporare la portata di acqua con- siderata risulterà essere pari alla somma dei due contributi sopra descritti
Wtot = Wrisc+ Wevap (6.9)
Chiaramente Wtotvaria a seconda della portata di acqua GH2Oiniettata nella
cassa: più acqua si inserisce più la potenza termica da garantire sarà alta. A questo punto è necessario verificare che i gas endogeni in uscita dalla prima girante di alta pressione siano effettivamente in grado di fornire all’acqua la potenza termica necessaria alla completa vaporizzazione. Per fare questo si suppone in prima ipotesi che i gas cedano all’acqua completamente Wtot
− Wtot = GgasCp(T1,gas− T0,gas) (6.10)
dove T1,gas è la temperatura dei gas dopo aver vaporizzato completamente
l’acqua inserita e
T0,gas= T2,AP 1 = 100 °C
Invertendo l’eq. 6.10 si può ricavare T1,gas
T1,gas =
−Wtot
GgasCp
+ T0,gas (6.11)
La prima verifica da fare a questo punto è proprio su T1,gas. Tale tempera-
tura infatti deve essere maggiore o al massimo uguale della temperatura di formazione del vapore ovvero Tvap= 81,5 °C
T1,gas ≥ Tvap (6.12)
Se così non fosse si otterrebbe una situazione assurda ovvero i gas una vol- ta ceduto calore all’acqua e raggiunta Tvap continuerebbero a cedere calore
ad un corpo più caldo violando così il secondo principio della termodinami- ca1. Quindi già con queste semplici considerazioni si può andare a trovare la massima portata di acqua vaporizzabile nella cassa con le condizioni impo- ste. Effettuando varie prove si può dimostrare numericamente che per una portata pari a 90 kg/h si ha
T1,gas(90 kg/h) = 81,6 °C
che rappresenta di fatto la minima temperatura a cui si possono portare i gas endogeni.
Per portate inferiori a G(max)H
2O la miscela di gas e vapore acqueo che si forma
raggiungerà una temperatura Tmisc di equilibrio più alta rispetto a Tvap che
può essere calcolata come segue
GH2OCpH2O(Tmisc− Tvap) = −GgasCp(Tmisc− T1,gas) (6.13)
da cui si può ricavare
Tmisc =
GH2OCpH2OTvap+ GgasCpT1,gas
GH2OCpH2O+ GgasCp
(6.14)
1È impossibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo senza l’apporto di lavoro esterno (formulazione di Clausius).
Per correttezza è necessario controllare che a tale temperatura il vapore che si è formato rimanga tale e non tenda a condensare. Per fare questo si deve andare a confrontare il valore della pressione parziale del vapore generatosi con la pressione di saturazione che si avrebbe alla temperatura di equilibrio Tmisc. Se la pressione di saturazione è maggiore della pressione parziale al-
lora si ha completa vaporizzazione altrimenti nella miscela si ha anche una parte di acqua non vaporizzata.
Per quanto riguarda la pressione di saturazione può essere facilmente rica- vata dalle tabelle termodinamiche o mediante programmi quali REFPROP in funzione della temperatura raggiunta. Al contrario la pressione parzia- le può essere calcolata partendo dai dati in possesso. Ricordando che la pressione parziale di un gas è la pressione che lo stesso assumerebbe se riempisse da solo il volume che occupa invece insieme ad altri gas si può scrivere
ptot = pgas+ pvap (6.15)
dove ptot = p2,AP 1 = 0,506 bar è costante e rappresenta la pressione dei gas
nella cassa prima di entrare nella girante AP2. Per il computo di pvapinvece
bisogna considerare che già nei gas endogeni è presente una quota parte di vapore acqueo e quindi anche questo concorre nel determinare tale pressio- ne parziale. I valori noti in partenza sono riportati in Tabella 6.3.
Grandezza Simbolo Unità
Portata massica di gas end. Ggas kg/s
Portata massica di vapore nei gas end. GH2Ogas kg/s
Portata massica di acqua GH2O kg/s
Potata massica totale vapore Gvap = GH2Ogas+ GH2O kg/s
Temperatura finale della miscela Tmisc °C
Peso molecolare gas end. P Mgas kg/kmol
Peso molecolare acqua/vapore P MH2O kg/kmol
Costante dei gas R J/kgK
Tabella 6.3: Dati di partenza per calcolo delle pressioni parziali.
Se fossero note le pressioni parziali si potrebbero facilmente calcolare ri- spettivamente le densità dei gas e del vapore alla temperatura di equilibrio Tmiscraggiunta dalla miscela dopo lo scambio termico attraverso le seguenti
relazioni: ρgas= P Mgas R · pgas Tmisc (6.16) ρvap= P Mvap R · pvap Tmisc (6.17)
A priori si può invece calcolare la densità iniziale della miscela consideran- do la miscela di gas e vapore come un unico gas di cui si conosce il peso molecolare complessivo: ρtot = P Mtot R · ptot Tmisc (6.18)
Dalla conservazione delle portate volumetriche si può ricavare un’ulteriore relazione tra le densità utile a risolvere il problema
Qtot = Qgas+ Qvap (6.19)
infatti ricordando che
Qtot = Gtot ρtot ; Qgas = Ggas ρgas ; Qvap= Gvap ρvap (6.20)
l’equazione 6.19 può essere semplificata in
1 = ρgas ρtot
+ ρvap ρtot
(6.21)
Mettendo a sistema le equazioni 6.15, 6.16, 6.17 e 6.21 si ottiene
ptot = pgas+ pvap
ρgas = P Mgas
R ·
pgas Tmisc
ρvap= P MRvap · Tpmiscvap
1 = ρgas ρtot +
ρvap ρtot
(6.22)
Ricavando il valore di pvapdalla prima equazione e sostituendolo nella terza
si arriva ad ottenere ρvap= P Mvap R · ptot− pgas Tmisc = a · (ptot− pgas) (6.23)
dove a = P Mvap R 1 Tmisc [J/kmolK2] (6.24)
Allo stesso modo anche l’equazione 6.16 può essere semplificata in
ρgas = P Mgas R · pgas Tmisc = b · pgas (6.25) dove b = P Mgas R 1 Tmisc [J/kmolK2] (6.26)
Sostituendo le equazioni 6.23 e 6.25 nell’equazione 6.21 si ottiene
1 = a · (ptot− pgas) ρtot
+b · pgas ρtot
(6.27)
da cui si può facilmente ricavare il valore della pressione parziale dei gas endogeni
pgas =
ρtot− a · ptot
b − a (6.28)
Una volta nota pgas dalla 6.15 si può andare a ricavare pvap
pvap= ptot− pgas
Il valore della pressione parziale del vapore come si vede bene dalle equa- zioni in gioco dipende dalla portata massica di acqua inserita nella cassa dall’esterno più un contributo costante derivante dal vapore presente all’in- terno dei gas elaborati dal compressore. Risulta quindi possibile effettuare uno studio parametrico al variare delle portata in modo tale da individuate il valore di GH2O massimo. È bene sottolineare come tale studio sia pura-
mente teorico in quanto si deve assumere che tutta l’acqua che si inserisce nella cassa si trasformi in vapore. Come è già stato sottolineato in prece- denza i gas al massimo riescono a trasformare totalmente in vapore una portata G(max)H
2O = 90 kg/h. Per tale portata il valore della pressione parziale
del vapore risulta essere pari a
mentre la pressione di saturazione alla temperatura Tmisc = 81,6 °C risulta
essere
psat(Tmisc) = 0,5053 bar
La pressione di saturazione è maggiore (più di un ordine di grandezza) della pressione parziale del vapore quindi si può affermare con sicurezza che, una volta formatosi, il vapore non tende a saturare.
Si può andare a graficare l’andamento della temperatura di miscela, del- la pressione parziale del vapore e della pressione di saturazione al variare della portata massica di acqua inserita nella cassa. Il risultato è riporta- to in Figura 6.8. Come si vede il limite di vaporizzazione è individuato dal raggiungimento da parte della miscela di una temperatura pari a quella di evaporazione dell’acqua. Le curve della pressione parziale e della pressio- ne di saturazione si andrebbero ad intersercare per portate molto maggiori (attorno ai 250 kg/h) cosa non fisicamente possibile nelle condizioni di fun- zionamento del compressore.
Riepilogando le verifiche da fare a livello termodinamico sono due:
1. Controllare che la temperatura finale della miscela sia maggiore o ugua- le alla temperatura di vaporizzazione dell’acqua a ptot = 0,506 bar:
Tmisc(GH2O) ≥ Tvap(ptot)
2. Controllare che la pressione parziale del vapore generatosi sia inferiore alla pressione di saturazione alla temperatura raggiunta dalla miscela:
psat(Tmisc) > pvap(Tmisc)
Si hanno quindi tutti gli strumenti per calcolare le nuove condizioni di in- gresso allo stadio AP2 e valutare come cambia la pressione di mandata al variare della portata di acqua inserita.