CFU: 9 - SSD. MAT/05, MAT/08 Descrizione
Il corso di Complementi di Matematica è il completamento dei due corsi di carattere analitico-matematico e geometrico-algebrico, svolti nel primo anno del corso di studi. Tale corso amplia la natura degli oggetti studiati nel precedente corsi di Analisi Matematica, passando dai numeri reali ai numeri complessi e quindi alle relative funzioni di una variabile complessa. Inoltre vengono presentate numerose tecniche di carattere integro-differenziale per l’analisi dei problemi che coinvolgono funzioni reali o complesse, quali la teoria delle trasformate di Fourier e di Laplace.
Il corso di Complementi di Matematica presenta la teoria delle funzioni di variabile complessa che viene affrontata introducendo dapprima i numeri complessi e le relative funzioni di una variabile complessa per poi investigare tutte le proprietà di queste ultime, quali i concetti di analiticità e olomorfia oltre all’integrazione mediante il teorema dei residui, ciò che generalmente è detta Analisi Complessa.
Successivamente il corso si occupa delle tecniche integro-differenziali attraverso gli strumenti della trasformata di Fourier e della relativa antitrasformata e utilizzando i concetti delle funzioni complesse, il corso presenta la trasformata di Laplace e le sue applicazioni.
Didattica Erogativa
La didattica è organizzata in modo tale che ogni corso di studio venga erogato tre volte l’anno e ciascuna erogazione dura due mesi e mezzo. Il sistema consente sempre agli studenti di avere accesso ai contenuti, ma durante il periodo di erogazione, lo studente viene inserito in una classe in cui sono presenti al massimo 20 studenti, in cui svolgere le attività organizzate nel tempo con la guida di un tutor esperto della materia che segue i processi di apprendimento.
Questo modello di erogazione è stato adottato per consentire agli studenti di iscriversi durante tutto l’anno all’Università e di avere la possibilità di entrare nelle classi a seconda del periodo in cui si iscrivono.
Il presente corso, che fornisce 9 crediti formativi, è strutturato in macroargomenti ed è composto da 29 ore di videolezioni, da vedere due volte, per un totale minimo di 58 ore di attività dello studente.
Le videolezioni trattano i seguenti argomenti:
• Lezione n. 1: Numeri complessi: generalità
• Lezione n. 2: Potenze e radici di numeri complessi • Lezione n. 3: Funzioni elementari dei numeri complessi
• Lezione n. 4: Funzioni a valori complessi . Funzioni di variabile reale a valori reali o complessi • Lezione n. 5: Analisi Armonica
• Lezione n. 6: Polinomi di Fourier
• Lezione n. 7: Polinomio di Fourier di un segnale x(t). Disuguaglianza di Bessel • Lezione n. 8: Serie di Fourier: generalità
• Lezione n. 9: Convergenza puntuale e convergenza uniforme delle serie di Fourier • Lezione n. 10: Funzioni di variabile complessa. Integrali di linea in campo
• Lezione n. 11: Funzioni analitiche. Definizione di derivata e di olomorfia. Analiticità
• Lezione n. 12: Formule integrali di Cauchy. Esistenza delle derivate di ogni ordine per le funzioni olomorfe
• Lezione n. 13: Serie di Laurent. Prova della formula di Eulero • Lezione n. 14: Sviluppo di Laurent: zeri e poli primo ordine
• Lezione n. 15: Sviluppo di Laurent: poli di ordine qualunque e singolarità essenziali • Lezione n. 16: Singolarità non uniformi e singolarità non isolate. Il punto all'infinito • Lezione n. 17: Teorema dei residui
• Lezione n. 18: Integrali impropri con il metodo dei residui. Lemma di Jordan
• Lezione n. 19: Lemma di Jordan per il calcolo di integrali lungo cammini paralleli all'asse immaginario • Lezione n. 20: Decomposizione in fratti semplici con il metodo dei residui
• Lezione n. 21: Decomposizione in fratti multipli con il metodo dei residui • Lezione n. 22: Decomposizione in fratti semplici. Poli complessi coniugati
• Lezione n. 23: Trasformata di Fourier. Definizione per funzioni e per distribuzioni. Antitrasformata di Fourier
• Lezione n. 24: Proprietà della trasformata di Fourier
• Lezione n. 25: Ulteriori proprietà della trasformata di Fourier. Proprietà di simmetria, convoluzione, prodotto
• Lezione n. 26: Trasformata di Laplace. Definizione di trasformata di Laplace bilatera per funzioni e distribuzioni
• Lezione n. 27: Proprietà della trasformata di Laplace. Hermitianeità e convoluzione • Lezione n. 28: Esercizi di trasformate di Laplace
• Lezione n. 29: Antitrasformata di Laplace
Per ognuno dei macroargomenti del corso saranno disponibili esercizi di autovalutazione che prevedono lo sviluppo tecniche di calcolo e di risoluzione di problemi che consentiranno agli studenti di esercitarsi e di mettere in pratica le conoscenze erogate attraverso le videolezioni e le aule virtuali. Si stima che gli esercizi, corredati di soluzione o provvisti di sistema di correzione automatica del risultato, richiederanno circa 10 ore di impegno dello studente.
Didattica Interattiva
La didattica interattiva avviene sia in modo sincronico che diacronico.
Il Docente/Tutor proporrà ogni settimana argomenti di discussione su forum e wiki, riguardanti approfondimenti sui contenuti del corso trattati in quella settimana, collegati ai macroargomenti delle videolezioni. Si stima che tali attività richiederanno circa 4 ore di impegno dello studente.
Inoltre suddivise per gruppi di 20 studenti ciascuno, saranno svolte aule virtuali interattive (appuntamenti sincroni, in audio-video streaming su piattaforma Web, con gli studenti collegati che possono interagire via chat testuale). Per la valutazione degli esercizi e la relativa correzione, saranno svolte aule virtuali specifiche con gruppi di studenti collegate ai macroargomenti di cui è composto il corso. Si stima che l’impegno dello studente sarà di circa 3 ore.
Per quanto concerne la didattica in situazione, durante l’erogazione il tutor pone nuovi problemi, non discussi nelle videolezioni e non risolvibili direttamente con i metodi esposti nelle esercitazioni, affidando agli studenti il compito di risolverli (singolarmente o in modo collaborativo) in autonomia, pur sotto la guida del tutor. I problemi possono essere posti a singoli studenti o condivisi con l'intera classe attraverso diversi strumenti e/o ambienti di apprendimento della piattaforma: laboratori virtuali, discussione negli incontri di chat con l'intera classe, invio per email al singolo studente o ad un gruppo, analisi e attività collaborative nel forum con la comunità di studenti. Queste attività stimolano sia il Learning-by-doing sia il Problem Based Learning nel quale lo studente sviluppa e sperimenta in autonomia l'apprendimento su casi pratici di studio e/o in situazioni esperienziali. Ogni settimana, infine, il Docente/Tutor pianifica un'ora di chat in cui fornirà spiegazione aggiuntive sugli argomenti del corso, raccoglierà e risponderà in tempo reale alle domande degli studenti, commenterà gli esercizi proposti e la struttura delle prove di verifica. Le chat saranno pianificate ad inizio erogazione e la loro calendarizzazione sarà disponibile nell'Agenda del Corso. Nel complesso queste attività richiedono circa 11 ore di impegno dello studente.
Autoapprendimento
Sono inoltre presenti materiali didattici collegati agli argomenti delle video lezioni, che si compongono di testi di approfondimento teorico, datasheets e dispense; tali materiali didattici compongono lo studio individuale dello studente di circa 124 ore.
In dettaglio, i materiali didattici collegati:
- Slide del corso, le slide utilizzate dai docenti autori delle videolezioni, che gli studenti potranno scaricare e stampare per crearsi il proprio "quaderno del corso"
- Libri&Articoli: testi, saggi, schede descrittive, approfondimenti,
- Bibliografia: riferimenti ragionati a fonti bibliografiche associati ai singoli argomenti di ogni videolezione
- Sitografia: selezioni ragionate di Siti web collegate agli argomenti della videolezione Testi d'esame:
I testi d'esame per il corso di Complementi di Matematica sono:
“Calculus II – Part I”, Uninettuno University Press - McGraw-Hill, 2013 (acquistabile tramite la Uninettuno University).
“Calculus II – Part II”, Uninettuno University Press - McGraw-Hill, 2013 (acquistabile tramite la Uninettuno University). "Lezioni di Analisi Matematica, Vol. I, Esculapio Editore, 2012 - Clemente Cesarano
Materiali di supporto e pianificazione dell’apprendimento
In dettaglio, i materiali di supporto e di pianificazione dell’apprendimento collegati sono:
- il Programma del Corso, che contiene informazioni sulla descrizione, gli obiettivi ed i contenuti dell’insegnamento, l’individuazione dei prerequisiti necessari, il riferimento agli esercizi relativi alle videolezioni, l’indicazione dei libri di testo, le indicazioni metodologiche ed i suggerimenti per lo studio della materia
- una Mappa Concettuale dell'insegnamento, che, in formato grafico e navigabile su Web, per ognuno dei macro argomenti riporterà:
o lezioni che affrontano il macroargomento o argomenti trattati in ognuna delle lezioni
o materiali di approfondimento associati agli argomenti o cadenza e temi degli appuntamenti di tutoring online
- la Pianificazione didattica, che illustra tempi e modalità di erogazione dell'insegnamento, corrispondenza tra argomenti delle videolezioni e capitoli dei testi d'esame, argomenti principali del corso
- la Guida all'esame, che illustrerà criteri di ammissione e modalità di svolgimento dell'esame - l’Agenda, che contiene le date e gli orari di svolgimento delle attività di didattica erogativa ed
interattiva (chat, aule virtuali, ricevimenti), nonché degli esami.
Modalità di valutazione in itinere e finale
Le modalità di valutazione del corso sono strutturate da 2 prove di verifica intermedie, che verranno consegnate attraverso la piattaforma UNINETTUNO e valutate dal Docente/Tutor. Tali prove di verifica, di respiro più ampio rispetto agli esercizi di autovalutazione, verteranno sugli argomenti del corso e saranno composte da più problemi ed applicazioni inerenti alla capacità di modellare sistemi complessi sia in ambito produttivo sia in quello logistico. La data limite di consegna delle prove sarà inserita nell'agenda del corso ad inizio di ogni erogazione. Lo studente è chiamato ad assegnarsi un voto al momento della consegna, voto che è "cieco" al Docente/Tutor, finché questi non completi la correzione e a sua volta assegni un voto alla prova dello studente. Questi due dati andranno quindi a popolare il grafico di
valutazione dello studente presente nella schermata "Valutazioni e statistiche" del Corso. Si stima che queste prove richiederanno circa 15 ore di lavoro dello studente.
La prova di valutazione finale consiste nello sviluppo di uno dei macroargomenti in cui è suddiviso il corso o parte di essi, dove lo studente dovrà dimostrare di saper modellare un sistema reale. In particolare si richiederà di implementare un modello di simulazione mediante l’utilizzo di software aperti e di dimostrare la piena conoscenza di tutte le tematiche relative ai processi statistici di calibrazione e validazione dei modelli matematici mostrando con esempi attinenti la padronanza dell’argomento.