Nella trattazione differenziale si utilizzano le funzioni di punto e risultano per-tanto fondamentali i sistemi di coordinate, utili a collocare i punti nello spazio e, quindi, a collocare le grandezze fisiche.
La trattazione discreta considera invece grandezze globali che sono, come det-to, riferite a punti, linee, superfici e volumi. Il riferimento spaziale costituito dai sistemi di coordinate risulta pertanto uno strumento insufficiente: è necessaria invece una struttura organizzata di elementi geometrici (volumi, facce, spigoli e punti) a cui poter attribuire le grandezze da collocare nello spazio. Questa strut-tura costituita dai complessi di celle.
In termini pratici l’operazione non è nuova: si tratta di dividere il dominio in tan-te porzioni (celle) di forma arbitraria e di dimensioni opportune. Questo primo complesso di celle è detto complesso primale: esso è sin qui analogo all’insieme di elementi delle mesh che si usano comunemente quando si adopera un meto-do numerico tradizionale che discretizza le equazioni differenziali. Nonostante questa iniziale analogia, si preferisce utilizzare il termine “complesso di celle” in luogo di mesh, in quanto tutti gli elementi geometrici che formano il complesso sono coinvolti nella formulazione discreta.
Vi è poi un’altra differenza fra “mesh” tradizionalmente intesa e i complessi di celle: dato un complesso di celle di forma qualunque, si può individuare in ma-niera arbitraria un punto all’interno di ogni cella. Congiungendo tali punti interni per ogni coppia di celle adiacenti si ottiene un secondo complesso di celle. A que-sto secondo complesso di celle si dà il nome di complesso duale.
Vi è una stretta corrispondenza reciproca (dualità) tra i due complessi di celle, tale da giustificare l’attributo di “duale” nella denominazione del secondo siste-ma di celle: innanzitutto ad ogni elemento del complesso prisiste-male corrisponde un opportuno elemento del complesso duale, secondo il legame illustrato nella seguente tabella (2.5)
Un complesso di celle, inteso come insieme piccole porzioni adiacenti che compongono un dominio, è formato da punti, spigoli, facce e volumi: topolo-gicamente questi elementi sono considerati celle di dimensione, rispettivamente zero, uno, due e tre, e si parla infatti di 0-celle, 1-celle, 2-celle e 3-celle. Dal punto di vista topologico un complesso di celle è non già un insieme di volumi, quanto piuttosto un insieme di celle di varia dimensione. Dal punto di vista formale ad
elementi del complesso primale elementi del complesso primale
punti P ⇔ volumi eV
linee L ⇔ superfici eS
superfici S ⇔ linee eL
volumi V ⇔ punti eP
Figura 2.5. Celle primali e celle duali nello spazio a 2 e a 3 dimensioni
una cella primale di ordine p corrisponde un elemento del sistema duale di ordi-ne n − p, e viceversa, essendo n la dimensioordi-ne dello spazio in cui si considera il sistema di celle.
Altro aspetto di dualità riguarda l’orientazione degli elementi dei due sistemi di celle: la figura (2.3) evidenzia come un’orientazione interna delle celle primali induca un’orientazione esterna delle corrispondenti celle duali.
La figura (2.5) illustra la formazione di celle duali nel piano e nello spazio con diverse forme di celle primali. Va rilevato il fatto che tanto la scelta del punto all’interno di ogni cella primale (0-cella duale in ogni 2 o 3-cella primale), quanto il modo di unire tali punti (collegamento diretto oppure appoggiato al baricentro
dei lati o delle facce delle celle primali) sono assolutamente arbitrari. Le più sem-plici figure geometriche che compongono un complesso di celle nel piano sono i triangoli: un complesso del genere viene pertanto detto complesso simpliciale; il complesso simpliciale nello spazio è invece costituito da tetraedri. Per entram-bi questi complessi la costruzione delle celle duali viene comunemente effettuata adottando come punti duali i baricentri oppure i circocentri (sferocentri) delle cel-le primali.
Rispetto ai termini dell’orientazione viene chiamato primale il complesso di cel-le cui si attribuisce orientazione interna; conseguentemente il compcel-lesso duacel-le è quello che riceve dal complesso primale un’orientazione sterna.
Un’altro aspetto della dualitá dei sistemi di celle riguarda l’attribuzione del-le grandezze fisiche agli edel-lementi geometrici: se associamo aldel-le celdel-le del sistema primale le variabili fisiche di configurazione, e attribuiamo dunque al complesso primale orientazione interna, si produce una naturale associazione delle variabili di sorgente (che come detto necessitano di orientazione esterna) ai corrisponden-ti elemencorrisponden-ti duali. La costruzione del sistema duale mette cioè a disposizione le strutture necessarie ad “ospitare” le variabili di sorgente che completano la defi-nizione del sistema fisico in esame.
Questa è la manifestazione di una stretta corrispondenza che sussiste fra la classificazione fisica delle variabili e la classificazione geometrica. La sistematica associazione fra variabili fisiche ed elementi spaziali orientati dei due sistemi di celle è un punto fondamentale per la formulazione finita diretta delle leggi fisiche dei campi.
Resta ora evidente una sostanziale differenza fra i complessi di celle e le “me-sh” tradizionali:
• costruire un complesso di celle significa certo dividere un dominio in tante porzioni discrete, ma significa anche costruire il sistema di elementi geome-trici duali a quelli appena creati. Questa operazione, che è funzionale alla formulazione discreta usta dal Metodo delle Celle, non ha un omologo nella pratica usuale dei metodi numerici citati;
• le variabili globali sono associate alle celle (0-celle = vertici; 1-celle = lati; 2-celle = facce; 3-celle = volumetti). Data una grandezza Q associata ad elementi spaziali di dimensione p, ne viene che ad ogni cella p-dimensionale ckdel complesso di celle risulta associato un valore Qkdella grandezza Q. In questo modo la distribuzione della grandezza Q è descritta dalla N-pla (Q1, Q2, . . . , QN). Nella topologia algebrica una tale distribuzione porta il nome (quanto mai infelice) di “co-catena”. Noi la denoteremo con un termine più
semplice ed espressivo di distribuzione p-dimensionale. Essa è l’analogo di una funzione di campo, usata nella formulazione differenziale, la quale associa ad ogni punto (non ad ogni p-cella) la densità q della grandezza Q. Una distribuzione p-dimensionale è una funzione di dominio o funzione di insieme mentre una funzione di campo è una funzione di punto.