Conduzione termica in regime stazionario

Si assuma che in un sistema di geometria proprietà fisiche (conducibilità termica k) note, siano stati posizionati un conveniente numero di punti (o nodi) sia al-l’interno che sul contorno, avendosi in particolare un nodo in corrispondenza di ogni eventuale vertice. La posizione dei nodi sia nota rispetto ad una riferimento cartesiano globale esterno XOY , come illustrato in figura (4.3).

Figura 4.3. Distribuzione di nodi nel dominio in esame e definizione di una mesh locale attorno al generico nodo interno P_P con sei nodi satellite S_i

Note le condizioni al contorno (temperature imposte, sorgenti di calore con-centrate, flussi di calore sul contorno) ci si pone l’obiettivo di determinare i valori della temperatura in ogni nodo.

L’algoritmo prevede la definizione di una mesh di celle primali localmente nodo a nodo; preso in esame un generico nodo polo P :

• si individuano i più vicini nodi circostanti4;

• si ordinano i o questi nodi in senso, ad esempio, antiorario rispetto al nodo polo, in modo tale da avere una lista ordinata di N nodi satellite Si;

4l’individuazione dei nodi circostanti può avvenire con un criterio empirico di individuazione dei nodi contenuti all’interno di una circonferenza di raggio R valutato a partire da informazioni circa la densità - globale o locale - dei nodi

• si definiscono N celle locali c_i: le prime N − 1 celle avranno vertici P,S_i,S_i+1; l’ultima avrà vertici P,S_N,S₁;

• si provvede alla definizione della regione tributaria del nodo polo: un modo immediato è ad esempio quello di creare il complesso di celle duale locale a partire dal complesso primale locale appena definito;

Figura 4.4. Creazione della regione tributaria del nodo polo: a sinistra la regione è individuata dalla divisione di ogni cella appoggiata al baricentro e ai punti medi dei lati, come usualmente effettuato nel CM tradizionale; nella figura di destra la regione è delimitata in ogni cella da una superficie parallela al lato di cella opposto al nodo polo e passante per il baricentro di cella

• cella per cella si calcolano i flussi di calore in transito attraverso la super-ficie di confine tra la cella duale del nodo polo e il resto della cella; queste grandezze saranno funzione dei valori di temperatura nodale dei vertici della cella esaminata. Con riferimento alle notazioni di figura (4.5) il flusso attraverso l’elemento di superficie piana orientata A è esprimibile come5:

Qc P = ¹ 2t A_c £ A_x A_y^¤ K_c · A_hx A_ix A_jx Ahy Aiy Ajy ¸ c    T_h T_i T_j    c (4.2) essendo:

– t lo spessore del sistema piano; – Ac l’area della cella c;

– A_x e A_y le componenti del vettore area A;

Figura 4.5. Flusso attraverso una superficie orientata A nella cella c: orien-tazione dei vettori area; a puro titolo di esempio è stata assunta l’esatta geo-metria della cella 1 di vertici P,S₁,S₂

– Ahx,Ahy,Aix, . . . i vettori area associati ai lati della cella c di cui alla figura (4.5).

• si scrive il bilancio di calore al nodo polo, imponendo l’equivalenza tra il calore generato G_P all’interno della sua regione tributaria e il calore uscente dalle sue superfici di contorno; avendo calcolato, cella per cella del com-plesso locale, tutti i termini di flusso Qc

P attraverso le porzioni di superficie Ac

P di contorno della regione tributaria del nodo polo P , si ha X

c∈I(P )

Qc

P = G_P (4.3)

dove il termine a primo membro è espresso in funzione dei valori nodali di temperatura di tutti i nodi satellite S_i della costellazione. Si ottiene una espressione nella forma:

£ k_P k_S1 k_S2 . . . k_SN^¤_c            T_P T_S1 T_S2 . . . T_SN            c = GP (4.4) 5cfr. [30]

I coefficienti della matrice a primo membro andranno a posizionarsi nella matrice fondamentale del sistema lineare risolvente alla riga corrisponden-te all’indice di nodo asociacorrisponden-teo al nodo polo nella numerazione complessiva globale dei nodi; le colonne in cui si posizioneranno i vari coefficienti sono quelle corrispondenti agli indici dei nodi della costellazione (polo e satelliti) nella medesima numerazione. Analogamente accade per il valore a secon-do membro che va a costituire posizionarsi nel termine noto del sistema risolvente alla riga associata al nodo polo.

Nota: come precisato nell’introduzione, la definizione della regione tributaria attorno al nodo polo è arbitraria. Nel caso siano presenti sorgenti distribuite è ne-cessario assicurare una piena copertura del dominio con l’insieme delle regioni tributarie locali, pena l’errato computo dei termini di sorgente.

4.2.1.1 Nodi di bordo

La procedura da seguire per i nodi di bordo rimane sostanzialmente inalterata; come peraltro già nell’approccio tradizionale, nel bilancio al nodo polo andranno tenuti presente anche eventuali flussi di calore applicati al contorno del dominio nella porzione ΦP che interessa la cella duale del polo. L’equazione (4.3) assume

dunque la forma: _X

c∈I(P )

Q^c_P = GP + ΦP (4.5)

4.2.1.2 Alcuni test numerici

Per verificarne l’accuratezza, l’approccio descritto è stato applicato alla soluzione della equazione di Laplace ∇2(w) = 0 su un domino piano quadrato di lato uni-tario centrato nell’origine di un sistema di riferimento cartesiano con assi paralleli ai lati; nel dominio sono stati posizionati dei punti secondo una griglia regolare parallela ai lati; Da questa griglia, con spostamenti random e facendo in modo di avere un punto in ogni vertice e un certo numero di punti posizionati lungo cia-scun lato6, si sono poi ottenute delle distribuzioni casuali di punti nel dominio. Sui punti del contorno sono stati imposti i valori assunti dalla funzione armonica:

w_t(x,y) = excos y (4.6)

soluzione del problema, il cui grafico è raffigurati in figura (4.7).

Come parametro di valutazione della precisione della soluzione numerica, viene

6per i punti posizionati sui lati lo spostamento avviene lungo il lato stesso mentre i punti posizionati sui vertici non subiscono alterazioni di posizione

Figura 4.6. Bilancio sulla regione tributaria di un nodo di bordo quando presente un valore di flusso sul contorno del dominio

utilizzato il valore dello scarto quadratico medio rispetto alla soluzione teorica: δ =

sP_Ni

i=1(w_t,i − w_i)²

N_i ^(4.7)

essendo N_i il numero di nodi interni (quelli su cui non sono stati imposti i valo-ri della funzione soluzione del problema), w_t,i il valore assunto dalla soluzione teorica nel punto i e w_i il valore ottenuto dalla soluzione numerica nello stesso punto.

Il problema così posto è stato risolto con la procedura meshless a celle locali so-pra descritta, implementata con riferimento a costellazioni locali composte da 4 satelliti.

La stima dell’ordine di convergenza, ossia del decrescere dell’errore al diminuire di una misura significativa della distanza dei punti, è stata effettuata con riferi-mento ad una griglia regolare di punti, situazione in cui il passo di griglia dà una misura esatta della dimensione associata alla distribuzione di punti. La tabella (4.1) riporta i valori ottenuti per il parametro δ con passi della griglia man mano ridotti: lato δ 0.5 0.002604 0.25 0.000543 0.125 0.000122 0.0625 0.000029 0.03125 0.000007

Tabella 4.1. Valore dell’errore medio δ per i punti interni al dominio al variare del passo della griglia di punti

Questi stessi valori, riportati in scala logaritmica nel grafico di figura (4.8), evidenziano come l’ordine di convergenza, per le varie interpolazioni sia pari a 2; relativamente alla griglia regolare di punti.

4.2.2 Sistemi elastici piani in regime di piccoli spostamenti