I diagrammi di Tonti

Per la formulazione di un modello di analisi di un sistema fisico, viepiù quando si intenda fornirne una formulazione discreta, è essenziale individuare le gran-dezze coinvolte e gli enti geometrici cui esse sono riferite. Secondariamente, in termini logici, é necessario rilevare le relazioni che sussistono tra le grandezze tra di loro e nella loro eventuale evoluzione temporale. Si ottiene in questo modo il quadro completo della struttura logica utilizzata, strumento molto importante ai fini tanto della rappresentazione del modello di analisi quanto per l’implementa-zione di procedure per il calcolo per via numerica della solul’implementa-zione.

Un’efficace rappresentazione sintetica del modello fisico approntato per la solu-zione di un problema offerta dai diagrammi di Tonti: si tratta di grafici che evi-denziando il percorso che conduce alle equazioni risolutive passando attraverso le varie equazioni di struttura e costitutive. Inoltre evidenziano la suddivisione in variabili di sorgente e configurazione e presentano le attribuzioni delle varia-bili stesse agli enti geometrici e temporali. Uno schema generale di riferimento presentato in figura (2.6). Il diagramma è tridimensionale, e si compone di due piani: il secondo piano, rappresentato a tratto fine, ospita le grandezze integrali nel tempo; in primo piano (in grassetto) sono invece collocate le grandezze che si ottenute dalle precedenti tramite un’operazione di differenza nel tempo, ossia l’analogo discreto della derivazione temporale.

In ciascun piano figurano due colonne di caselle, cui corrispondono i simboli P, L, S e V che si riferiscono rispettivamente ai punti, alle linee, alle superfici e ai volumi. La colonna di sinistra rappresenta le entità primali, quella di destra le corrispondenti entità duali. Da notare che gli elementi duali, in ordine ovvia-mente inverso, sono identificate dalle stesse lettere cui è sovrapposto il simbolo tilde.

Poiché le caselle sono destinate ad ospitare una o più grandezze coinvolte nella formulazione, ne deriva che le variabili di configurazione si collocheranno nelle caselle della colonna di sinistra, mentre le variabili di sorgente troveranno collo-cazione nelle caselle della colonna di destra. Le equazioni di struttura, che legano

Figura 2.6. Schema generale di un diagramma di Tonti per l’illustrazione del-le variabili, deldel-le entità geometriche (n-celdel-le) di riferimento e deldel-le equazioni che definiscono le relazioni tra le grandezze coinvolte

variabili dello stesso tipo, sono rappresentate da frecce verticali; le equazioni co-stitutive, che costituiscono invece una sorta di “ponte” tra le due categorie di grandezze, rappresentate da frecce orizzontali od oblique che collegano caselle appartenenti a colonne opposte. L’equazione risolvente si ottiene componendo le equazioni di struttura e quelle costitutive, ottenendo un legame fra variabile di configurazione e quella di sorgente del campo.

Lo schema proposto è certamente uno schema generale e non è detto che tutti i legami che è possibile indicare debbano necessariamente essere sempre presenti. Nel caso di problemi stazionari, ad esempio, il diagramma perde evidentemen-te la sua tridimensionalità e si riduce ad una rappresentazione piana dei legami tra le grandezze coinvolte. Le figure (2.7) e (2.8) riportano il diagramma di Ton-ti per il problema elasTon-tico, riassumendo con evidente sinteTon-ticit le relazioni fon-damentali della meccanica dei continui nella formulazione differenziale e finita, rispettivamente..

Formulazione quadratica con il

Metodo delle Celle

Rispetto al Metodo degli Elementi Finiti, il Metodo delle Celle utilizza un ap-proccio metodologico completamente diverso: l’uso delle variabili di dominio in luogo delle funzioni di punto, l’attribuzione delle grandezze agli elementi geo-metrici secondo i processi sperimentali utilizzati per la loro misura, sono due elementi fondamentali che portano ad una formulazione discreta diretta senza dover fare ricorso alla formulazione differenziale. È stato dimostrato [30] che, pur usando un approccio completamente diverso, il CM, usando i simplessi, è in grado di ottenere la stessa matrice di rigidezza costruita con il Metodo degli Ele-menti Finiti. Relativamente all’uso dei simplessi, la differenza tra i due metodi, in termini di risultati ottenibili, risiede solo nella differente costruzione del termine noto del sistema lineare che descrive la soluzione approssimata del problema. In particolare i due metodi sono caratterizzati dallo stesso valore di ordine di con-vergenza.

Quando però si adotti la formulazione quadratica, il Metodo delle Celle ha di-mostrato di poter ottenere il quarto ordine di convergenza, superiore al valore ordinariamente ottenibile dal FEM con la medesima interpolazione. Questo è possibile grazie ad una particolare costruzione del complesso di celle duale otte-nuta appoggiando la divisione delle celle primali ai punti di Gauss dei suoi lati. Questa proprietà è stata verificata relativamente alla soluzione numerica dell’e-quazione di Poisson per domini bidimensionali. Resta l’interrogativo circa il fatto che questa possibilità di ottenere il quarto ordine di convergenza permanga nella soluzione dei problemi tridimensionali.

In questo capitolo verrà presentata l’implementazione dell’interpolazione qua-dratica per la soluzione dell’equazione di Poisson in domini tridimensionali con il Metodo delle Celle; verrà dimostrato come, ancora, un’opportuna costruzione

del complesso duale permetta di ottenere l’ordine di convergenza 4. In conclusio-ne l’uso dell’interpolazioconclusio-ne quadratica verrà presentato conclusio-nella sua estensioconclusio-ne allo studio dei corpi elastici in regime di piccoli spostamenti, verificando la precisione della soluzione ottenibile in un problema di riferimento standard e comparando i risultati sia con la soluzione teorica del problema che con i valori ottenuti da un analisi FEM di confronto.

3.1 Problemi scalari tridimensionali

In questo paragrafo verrà presentata l’implementazione del Metodo delle Celle con interpolazione quadratica nella soluzione dell’equazione di Poisson in domi-ni tridimensionali.

Come problema di riferimento viene assunta la conduzione termica in regime sta-zionario. Dopo l’illustrazione dell’implementazione verrà descritto il test di valu-tazione dell’accuratezza nella soluzione di un problema di controllo di cui è nota la soluzione analitica, comparando i risultati con quanto ottenuto da un’analisi gemella (con identiche mesh, interpolazione e condizioni al contorno) condotta con un codice commerciale FEM.