Comportamento in esercizio dei pali caricati orizzontalmente

Lo studio dello stato di deformazione e sollecitazione in esercizio di un palo verticale, soggetto a carichi orizzontali o da momenti applicati in sommità, viene generalmente condotto schematizzando il terreno come un mezzo alla Winkler.

Figura 64:Esempio di analisi di un palo generico con terreno schematizzato alla Winkler

Indicando con y lo spostamento di un generico punto del palo posto a profondità z, la corrispondente reazione del terreno per unità di lunghezza del palo può essere indicata con P=p·d senza necessariamente ipotizzare che il terreno eserciti sul palo solo un’azione normale costante pari a p, l’equazione del modello alla Winkler diviene:

p=k_h∙y

dove kh è il coefficiente di reazione orizzontale del terreno.

Generalmente i pali sono strutture molto snelle e quasi sempre ai fini del modello alla Winkler, risultano infinitamente lunghi, inoltre le azioni applicate sono solamente azioni concentrate in sommità al palo (forze trasversali o coppie), perciò il regime delle sollecitazioni e deformazioni, risulta influenzato dalla la rigidezza relativa palo-terreno e soprattutto dalla variazione stratigrafica e quindi delle caratteristiche fisico-meccaniche del terreno interessato dal palo.

Tali variazioni stratigrafiche sono assai frequenti soprattutto nelle fondazioni su pali che si realizzano generalmente per riuscire a scaricare i carichi e le sollecitazioni provenienti dalla sovrastruttura a strati di terreno profondi dotati di migliori caratteristiche meccaniche.

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In questo caso la simulazione del modello alla Winkler risponde perfettamente alla variazione stratigrafica del modello geotecnico.

Dal punto di vista applicativo, si possono individuare due principali casi, ossia la presenza di terreno coerente ed incoerente. Nel primo caso, applicato soprattutto in presenza di argille sovraconsolidate, si ipotizza la rigidezza del terreno costante con la profondità:

k_h(z)=cost

Nel secondo caso, in presenza di terreno incoerente o di argille normalmente consolidate, si ipotizza la rigidezza del terreno linearmente crescente con la profondità:

k_h(z)=nh z d

Il caso di rigidezza costante può essere facilmente risolto esattamente come per le travi di fondazione disposte su suolo elastico alla Winkler, sostituendo la larghezza della fondazione con il diametro del palo. Molto più attendibilmente, se possibile, il valore di kh dovrà essere determinato

mediante prove di carico orizzontale su pali in vera grandezza, oppure con prove pressiometriche, dove in seguito a prove sperimentali Baguelin (1978) ha realizzato una correlazione tra il modulo pressiometrico e la rigidezza del terreno in funzione della tipologia di sottosuolo.

Broms (1964) ha invece suggerito di correlare il valore di k.h al modulo secante E50 determinato da

prove di compressione triassiale non drenate con un livello di sforzo deviatorico pari alla metà di quello a rottura, mediante l’espressione:

k_h=1.67E50 d

A sua volta la coesione non drenata cu può essere correlata a E50 con una relazione per le arille

sovraconsolidate pari a :

E₅₀=(100÷500)c_u Da cui ne deriva che:

k_h=(170÷800)cu d

Le correlazioni si complicano notevolmente nel caso in cui kh(z) ∝ z e cresce con la profondità z

(modello di Matlock e Reese), come nel caso di terreni coesivi normalmente sovraconsolidati o debolmente sovraconsolidati o terreni incoerenti. In questo caso l'equazione differenziale della linea elastica del palo diventa:

E_pJd 4_y

dz4+nhzy=0

Questa è un’equazione differenziale del quarto ordine a coefficienti variabili, della quale non sono note soluzioni in forma analitica chiusa, è quindi necessario fare ricorso a soluzioni numeriche o iterative. La lunghezza caratteristica viene definita come:

165 λ= EpJ n_h

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al variare delle condizioni a contorno, si possono ricavare le espressioni dello spostamento e della rotazione in sommità del palo.

palo rigido L λ<2 y₀=18H L2n_h+ 24M L3n_h ϑ₀=24H L3n_h+ 36M L4n_h

palo infinitamente rigido L λ>4 y₀= 2.4H n_h35 E_pJ 25 + 1.6M n_h 2 5 _E pJ 3 5 ϑ₀= 1.60H n_h 2 5 _E pJ 32 5 + 1.6M n_h15 E_pJ 4 5

Per un palo vincolato in testa ad una fondazione che ne impedisca la rotazione, ma ne consenta lo spostamento orizzontale: palo rigido L λ<2 y 0= 2H L2n_h ϑ₀=0 palo infinitamente lungo L

λ>4

ϑ₀= 0.93H n_h35 E_pJ

2 5 Per un palo di lunghezza qualsiasi si pone:

Spostamento orizzontale: y=A_yHλ 3 E_pJ+By Mλ2 E_pJ Rotazione: θ=AθHλ 3 E_pJ+Bθ Mλ2 E_pJ

166 Momento flettente: M=A_MH+B_MM Sforzo di taglio: T=A_TH+B_TM λ

I valori delle funzioni A e B sono forniti (Viggiani) tramite grafici di correlazione in base ai rapporti tra la lunghezza del palo e la lunghezza critica (L/λ) e tra la profondità e la lunghezza critica (z/λ). Una volta calcolato il momento in sommità, la determinazione delle caratteristiche della sollecitazione e deformazione lungo il fusto del palo, possono essere condotte con le equazioni appena descritte.

Se la sommità del palo è incastrata in una fondazione che ne impedisce la rotazione, ma questa, ma questa è ubicata ad un livello superiore alla superficie del terreno, conviene effettuare una sconnessione a livello della superficie del terreno e determinare in quel punto le caratteristiche della sollecitazione.

L’analisi di un gruppo di pali risulta ulteriormente più onerosa, infatti imponendo l’equilibrio alla traslazione orizzontale di una palificata costituita da n pali uguali, si ottiene il taglio in sommità per ciascun palo:

T=H/n

Tale relazione non è valida nel caso in cui i pali presentassero lunghezza e quindi rigidità tra loro diversa, in quel caso lo sforzo di taglio si distribuirà in funzione della rigidezza flessionale degli stessi.

Figura 65: Palificata soggetta a sforzo di taglio orizzontale

Il momento invece non può essere determinato con una semplice condizione di equilibrio alla rotazione, in quanto in quest’ultima appaiono anche i valori incogniti degli sforzi normali dei pali. Perciò è necessario introdurre una condizione di congruenza, che può essere ad esempio

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l’uguaglianza delle rotazioni nella sezione di sconnessione, considerata appartenente alla parte in elevazione o alla parte interrata del palo.

La rotazione della sezione di sconnessione, considerata appartenente alla parte di palo fuori terra, si esprime: θS=Tl 2 2EJ- Ml EJ

Mentre considerando la sezione appartenente al tratto di palo interrato, la rotazione si esprime nella forma: θi=A_θ Tλ 2 2E_pJ+Bθ Mλ E_pJ Imponendo la congreuenza (e quindi l’uguaglianza), si ricava:

M=T l2 2-Aθλ2

B_θλ+1

Per i terreni incoerenti, il valore di nh dipende dallo stato di addensamento e dalla presenza o

meno della falda, esso può essere ottenuto dall’espressione:

n_h= A∙γ 1.35

Nella quale si entrerà con il valore del peso per unità di volume immerso γ′ nel caso ci si trovi al di sotto del livello della falda. Valori indicativi di nh e A sono riportati nella tabella seguente:

Stato di addensamento Sciolto Medio Denso

Campo dei valori di A 100÷300 300÷1000 1000÷3.000

Valore consigliato di A 200 600 1500

nh [N/cm3], sabbie non immerse 2.5 7.5 20

nh [N/cm3], sabbie non immerse 1.5 5 12

Per terreni argillosi normalmente consolidati o debolmente sovraconsolidati, valori orientativi si possono ricavare dalla seguente tabella:

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Tipo di terreno nh [N/cm3] Fonte

Argilla n.c. o lievemente o.c. 0.3÷3.5 0.3÷0.5 Reese, Matlock,1956 Davisson, Prakash, 1963 Argilla organica n.c. 0.1÷1.0 0.1÷0.8 Peck, Davisson,1970 Davisson, 1970 Torba 0.05 0.03÷0.1 Davisson,1970 Wilson, Hilts,1967 Loess 8÷10 Bowels,1968

In casi nei quali sia importante una precisa valutazione delle caratteristiche della sollecitazione e degli spostamenti orizzontali come per esempio per la banchina a giorno realizzata su pali off- shore, occorre tenere conto della non linearità della relazione fra reazioni del terreno e spostamenti orizzontali. Infatti la risposta del terreno è tutto fuorché perfettamente elastica, infatti si presenta come un materiale elasto-plastico-viscoso, inoltre si presentano non linearità di tipo geometrico e non linearità dovute alla tipologia di contatto, infatti come precedentemente illustrato a tergo del muro si ha la formazione di un gap ed il terreno non è collaborante a trazione.

Si può tenere conto di questo fattore adottando il così detto metodo delle curve p-y. Note le curve per vari tipi di terreno, è possibile realizzare un programma di calcolo incrementale e/o iterativo che consenta la soluzione del palo immerso in un mezzo alla Winkler con molle di legge non lineare. E’ possibile anche adoperare soluzioni iterative come suggerito da Marlock e Reese, infatti ipotizzata nota una curva p-y per il terreno, è possibile assumere un valore iniziale di kh

costznte con la profondità per argille sovraconsolidate di nh.. Ottenuta una prima soluzione,

verranno determinati sulle curve p-y i valori di p corrispondenti agli spostamenti orizzontali calcolati alle varie profondità, dividendoli per i corrispondenti valori y si ottengono i nuovi valori di kh. a questo punto si procede in modo iterativo finchè le curve p-y non ottengono la convergenza.

Per quanto riguarda il comportamento dei pali in gruppo e le rispettive iterazioni in caso di sollecitazioni orizzontali, il modello alla Winkler cade in difetto perché non è possibile considerare in modo esplicito l’effetto dei pali adiacenti. In prima approssimazione si può simulare la mutua iterazione adottando un valore opportunamente ridotto di kh detto kh,g. Poulos e Davis forniscono

le seguenti indicazioni, calide per valori del rapporto tra interasse e diametro dell’ordine di 3 (i/D≤3).

Gruppo di due pali: k_h,g=0.5k_h Gruppo di tre o quattro pali: k_h,g=0.33k_h Gruppo di cinque o più pali: k_h,g=0.25k_h

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Analisi più elaborate, che consentono di tenere conto dell’effettiva geometria del gruppo e della direzione della forza orizzontale, sono possibili ricorrendo alla schematizzazione del terreno come continuo elastico, il procedimento basato in genere sul metodo degli elementi a contorno o elementi finiti richiede però importanti risorse computazionali per la simulazioni di analisi non lineari.

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