Capitolo 1. Le equazioni fondamentali della fluidodinamica
1.15 Conclusioni
Il problema fluidodinamico classico consiste nell’andare a risolvere lo stato di moto del fluido individuando tutte le proprietà che lo caratterizzano: campo di velocità, pressione e componenti del tensore degli sforzi, che definiscono lo stato di tensione del fluido.
1.15.1 L’approccio classico con le equazioni di Navier-Stokes
L’approccio classico utilizzato è quello che fa ricorso alle equazioni di Navier-Stokes (1.24), le quali descrivono il moto di un fluido in presenza di un flusso continuo, che interessa tutte le particelle del fluido e che globalmente si riscontra in uno stato di molto complessivo del fluido stesso.
Queste partono dalle seguenti semplici ipotesi:
− fluido reale, cioè dotato di valori finiti di viscosità e comprimibilità;
− fluido newtoniano, ovvero nel quale le tensioni tangenziali sono legate al gradiente della velocità in direzione normale alla parete solida, con coefficiente di proporzionalità pari alla viscosità dinamica, secondo la legge di Newton (1.1).
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Il sistema delle equazioni che risolvono il problema è composto da:
− tre equazioni scalari di equilibrio dinamico (equazioni di Cauchy o indefinite del moto) (1.15) o, indifferentemente, di conservazione della quantità di moto (1.22), le quali legano le componenti di velocità con la pressione;
− una equazione scalare di continuità (1.10), che lega la densità con le componenti di velocità;
− sei equazioni scalari di legame costitutivo (1.23), che legano le componenti di tensione con la pressione e con le componenti di velocità. Il problema risulta ben posto e determinato perché si hanno a disposizione dieci equazioni nelle dieci incognite seguenti:
− le tre componenti del campo di velocità: u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) z(x, y, z, t) − la pressione p(x, y, z, t);
− le sei componenti indipendenti di sforzo superficiale: Φij(x, y, z, t).
Se si va poi ad inserire il legame costitutivo nelle equazioni di Cauchy o, indifferentemente, in quelle di conservazione della quantità di moto, si ottengono le equazioni di Navier-Stokes (1.24), ricordate di seguito nella loro forma scalare: 𝛒𝛒 �𝐟𝐟𝐢𝐢−𝛛𝛛𝐮𝐮𝛛𝛛𝛛𝛛 − 𝐮𝐮𝐢𝐢 𝐢𝐢∙𝛛𝛛𝐮𝐮𝛛𝛛𝐱𝐱𝐢𝐢 𝐢𝐢� = 𝛛𝛛𝐜𝐜 𝛛𝛛𝐱𝐱𝐢𝐢− (𝛌𝛌 + 𝛍𝛍) 𝛛𝛛 𝛛𝛛𝐱𝐱𝐢𝐢� 𝛛𝛛𝐮𝐮𝐢𝐢 𝛛𝛛𝐱𝐱𝐢𝐢� − 𝛍𝛍 𝛛𝛛𝟐𝟐𝐮𝐮 𝐢𝐢 𝛛𝛛𝐱𝐱𝐢𝐢𝟐𝟐
Osservazione. Andare ad introdurre il legame costitutivo (1.23) nelle equazioni di equilibrio dinamico o indefinite del moto di Cauchy (1%) o in quelle di conservazione della quantità di moto (1.22) si ottiene, in entrambi i casi, la medesima formulazione per le equazioni di Navier-Stokes. Infatti le due tipologie di equazioni hanno una formulazione del tutto analoga: l’espressione differenziale scalare della conservazione della quantità di moto
ρ �∂u∂t + ui i∙ div u�⃗� = ρfi+ �div T�i
può essere facilmente ricondotta a quella delle equazioni di Cauchy ρ ∙ �ai−dudt � = div Φi ni
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Tesi di Laurea Magistrale – Lorenzo Mainardi se si nota che:
− il termine �∂ui
∂t + ui∙ div u�⃗� esprime semplicemente la derivata sostanziale dui
dt che compare nelle equazioni si Cauchy;
− il termine che indica le forze di massa per unità di massa fi è, dimensionalmente, del tutto analogo ad una accelerazione ai;
− i termini di divergenza del tensore degli sforzi coincidono.
Introducendo poi opportune ipotesi semplificative, è possibile ricondurre la forma delle equazioni di Navier-Stokes a quella (1.44) delle equazioni di Eulero:
1. fluido perfetto: densità ρ costante e viscosità ν nulla;
2. fluido incomprimibile (ρ=cost e c → +∞) e moto irrotazionale (rot u�⃗ = 0 → ∇2u�⃗ = rot(rot u�⃗) = 0 ) .
Entrambi i gruppi di ipotesi permettono quindi di semplificare la forma delle equazioni di Navier-Stokes in quella delle equazioni di Eulero (1.44)
ρ �fi−dudt � =i dxdp i
ma è opportuno precisare che, mentre per il primo set di ipotesi si va a studiare il moto di un fluido realmente ideale o perfetto, per il secondo set di ipotesi si tratta di indagare un fluido fittiziamente perfetto poiché l’irrotazionalità del moto annulla il termine viscoso delle equazioni di Navier-Stokes, senza però implicare che gli sforzi tangenziali siano nulli. La viscosità infatti non si annulla, gli sforzi tangenziali costituiscono un sistema autoequilibrato e, dal punto di vista delle condizioni del moto, il fluido si comporta come se fosse perfetto.
1.15.2 L’approccio acustico con l’equazione di D’Alembert
Un approccio più semplificato al problema è quello di andare ad indagare il moto del fluido come un moto di natura acustica, cioè come un moto di trasmissione di pressione e quantità di moto tra una particella fluida e l’altra sotto forma di oscillazione ondulatoria attorno ad una posizione media, mentre però il fluido nella sua globalità resta fermo.
Un moto del genere è indagato con l’equazione delle onde o di D’Alembert (1.36) e introduce delle ipotesi molto più restrittive e semplificative:
− fluido privo di viscosità (μ=0) (1.43), cioè si trascurano i fenomeni di natura viscosa, come se andassimo ad indagare il moto del fluido sempre
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ad una certa distanza dalle pareti solide, in zone quindi in cui i gradienti sono nulli;
− piccole oscillazioni (1.26) delle particelle attorno alla loro posizione media, ipotesi che permette di dire che anche la variazione di pressione e, conseguentemente, la variazione di densità dovuta alla comprimibilità del fluido sono contenute.
Il sistema delle equazioni che risolvono il problema è composto da: − tre equazioni scalari di equilibrio dinamico (1.29) del tipo
ρ ∙dudt = −i (∇p)i
le quali legano le componenti di velocità con la pressione;
− una equazione scalare di continuità (1.11), che lega la densità con le componenti di velocità
∂ρ
∂t = −∇ ∙(ρu�⃗);
Il problema risulta ben posto e determinato perché si hanno a disposizione dieci equazioni nelle dieci incognite seguenti:
− le tre componenti del campo di velocità: u(x, y, z, t) v(x, y, z, t) z(x, y, z, t) − la pressione p(x, y, z, t).
Introdurre poi una espressione che rappresenti un legame costitutivo per il fluido (28), legando le variazioni di pressione e densità con una caratteristica di comprimibilità del fluido, permette appunto di far comparire nell’espressione dell’equazione di continuità la comprimibilità stessa del fluido:
∂p ∂ρ = c2 ma ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ c = �ερ ε =dρdp ρ � → c2 = ε ρ = dp dρ ρ⁄ ρ = dp dρ ∙ ρ ρ = dp dρ
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attraverso cui si può esprimere l’equazione di continuità come 𝛛𝛛𝐜𝐜
𝛛𝛛𝛛𝛛 = −𝛒𝛒 ∙ 𝐜𝐜𝟐𝟐∙ 𝐝𝐝𝐢𝐢𝛒𝛒 𝐮𝐮��⃗
Introducendo poi l’ulteriore ipotesi di moto potenziale, si può ammettere l’esistenza di una funzione potenziale Φ per la velocità (1.32) ed unire il sistema dato dall’equazione di continuità e dall’equazione (vettoriale) di equilibrio dinamico in una sola equazione, l’equazione di D’Alembert (1.36) per l’appunto:
𝛁𝛁𝟐𝟐𝚽𝚽 = 𝟏𝟏 𝐜𝐜𝟐𝟐∙
𝛛𝛛𝟐𝟐𝚽𝚽 𝛛𝛛𝛛𝛛𝟐𝟐
Se poi si pensa anche al caso di fluido incomprimibile, cioè con densità ρ costante e c → +∞, si ottiene una formulazione ancora più semplice, che prende il nome di equazione di Laplace (41):
𝛁𝛁𝟐𝟐𝚽𝚽 = 𝟎𝟎 1.15.3 Confronto tra i due approcci
Fondamentalmente l’approccio classico, che si basa sulle equazioni di Navier- Stokes, permette di risolvere lo stato di moto di un qualsiasi fluido reale newtoniano in condizioni di moto qualsiasi.
L’approccio acustico, trascurando la viscosità del fluido, si applica quindi soltanto a fluidi reali comprimibili o a fluidi reali non comprimibili (o ideali), ma con lo scopo di indagarne stati di moto in cui il fluido globalmente permane in uno stato di quiete, mentre le singole particelle oscillano attorno ad una posizione d’equilibrio, trasmettendo così l’una alle adiacenti una certa quantità di moto.
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