Capitolo 2. Confronto tra indicazioni normative a livello internazionale
2.7 Spagna
2.9.3.2 Verifica di stabilità a ribaltamento (Overturning)
Una struttura può ruotare attorno ad un punto della sua base quando il momento dovuto alle azioni statiche, a cui sono sommati eventualmente gli effetti del sisma (momento ribaltante Mo) superano il momento dovuto alle azioni stabilizzanti agenti sulla struttura (momento stabilizzante Mr).
In funzione dell’intensità della PGA, della durata del moto sismico e della rigidezza della struttura ci si può aspettare una risposta differente dal parte del sistema, di tipo rotazionale o di rocking.
Come nel caso dello scorrimento, le forze d’inerzia saranno maggiori per una struttura flessibile e minori per una rigida. La risposta rotazionale o di rocking al movimento sismico può includere le seguenti casistiche:
− nessuna rotazione per Mo < Mr;
− rotazione o sollevamento per Mo > Mr, ma assenza di rocking per insufficiente energia nel movimento sismico del suolo;
− risposta di tipo rocking per Mo > Mr, che si può fermare per smorzamento dell’energia dovuto a fenomeni di impatto;
− risposta di tipo rocking che porta ad una instabilità per rotazione.
Nonostante si presenti una inclinazione del corpo diga, ciò difficilmente conduce da solo ad un ribaltamento della struttura. Per contro delle alte pressioni
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sull’appoggio si possono sviluppare durante una risposta di tipo rocking, col rischio di portare la fondazione al collasso.
Il rischio di collasso per ribaltamento a seguito di una risposta di tipo rocking ad un’azione sismica può essere valutato attraverso un’analisi spettrale o time- history non lineare.
− Valutazione dell’inclinazione potenziale: strutture idrauliche soggette a forze laterali di elevata intensità prodotte da eventi sismici possono iniziare ad inclinarsi, instaurando fenomeni di rocking, quando il momento risultante delle azioni ribaltanti diventa così elevato da vincere l’attrito di contatto con la fondazione.
Per una struttura quasi rigida e per una flessibile schematizzata con un equivalente sistema ad un solo grado di libertà (come mostrato nella seguente figura) tale fenomeno si instaura quando il momento ribaltante eccede quello stabilizzante dovuto al peso proprio della struttura.
Figura 2.31 - Confronto corpo rigido - corpo flessibile
Questa condizione è riassunta nella seguente relazione: Mo> Mr mSah > 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑏𝑏 → Sa > 𝑚𝑚 �bh� (2.40) con: - Mo = momento ribaltante; - Mr = momento stabilizzante; - Sa = accelerazione spettrale; - g = accelerazione gravitazionale;
- b = metà della larghezza della struttura; - h = distanza dalla base del centro di massa; - m = massa della struttura.
− Analisi della stabilità rotazionale basata sull’energia: la condizione di ribaltamento Mo > Mr porta all’effettivo collasso della struttura se si presenta per un certo lasso di tempo, mentre sotto l’azione sismica possono anche manifestarsi elevati momenti ribaltanti, i quali però si
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presentano per frazioni di secondo ad ogni ciclo, intervallati da fasi di scarico della struttura. Quindi, nonostante il fenomeno di rocking si manifesti, la struttura può non collassare se la perdita di energia durante l’impatto col suolo genera una riduzione della velocità angolare quando la rotazione si inverte.
Paragonando l’energia media di un sisma con l’energia media necessaria a ribaltare la struttura, Housner (1963) ha fornito la seguente relazione come criterio di stabilità a ribaltamento per strutture oscillanti sotto rocking:
α = SV�mrgI
0 (2.41) con:
- α = angolo tra la verticale ed il segmento R, come mostrato nella figura precedente;
- r = distanza tra il centro di massa ed il punto attorno al quale avviene la rotazione;
- I0 = momento d’inerzia attorno alla retta per il punto di rotazione; - Sv = velocità spettrale del sisma.
Per come è formulata, questa equazione afferma che, fissata la velocità del moto sismico Sv, un blocco formante un angolo α come definito ha il 50% di probabilità di instabilizzarsi per ribaltamento.
Per strutture snelle, l’equazione precedente può essere riscritta come: α = SV
�gr (2.42)
Secondo R. S. Scholl (1984) un solo parametro sismico sarebbe insufficiente per determinare una soglia per il ribaltamento della struttura sotto azione sismica e perciò ha proposto la seguente relazione:
Sd= b quando Sd= gbh
che dimostra come la struttura inizi a subire un fenomeno di rocking non appena l’accelerazione sismica raggiunge il valore Sa, ma non si ribalta finché lo spostamento sismico Sd non ha raggiungo il valore b. Ciò dimostra perché grandi strutture come i palazzi non si ribaltino durante un evento sismico, mentre per blocchi rigidi con lo stesso rapporto dimensionale b/h è stimato il contrario: Sd non è mai grande abbastanza
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da poter far ribaltare un intero edificio, ma lo è per blocchi di minori dimensioni.
− Metodi Time-History e di rocking spectrum: si tratta di metodi più accurati per stimare il sollevamento o il ribaltamento di struttura soggette a moti oscillatori di tipo rocking (Makris and Konstantinidis, 2001).
Esistono differenze nette tra un oscillatore ad un solo grado di libertà ed un blocco rigido soggetto a rocking, come appena visto, fatto che porta a dire che non è realistico utilizzare un sistema a singolo grado di libertà (SDOF), equivalente alla struttura di partenza, per studiare il rocking della struttura avvalendosi di uno spettro standard in accelerazione o in spostamento. Infatti i meccanismi stabilizzanti per i due sistemi sono del tutto differenti: per il sistema ad un grado di libertà è l’elasticità che contrasta le oscillazioni, mentre per il blocco rigido è la gravità.
Inoltre un oscillatore SDOF ha una rigidezza k finita e positiva e l’energia dissipata forma una curva forza-spostamento che disegna cicli chiusi. Il blocco rigido ha, invece, una rigidezza infinita fintanto che Mo < Mr, quindi essa decresce nettamente durante il rocking, fino a divenire nulla quando la rotazione del blocco raggiunge il valore α. Se ne ricava che la frequenza di vibrazione del blocco rigido non è costante perché dipende dall’ampiezza delle vibrazioni (Housner, 1963). La frequenza delle vibrazioni indotte dal sisma nel blocco può essere stimata come
p =12 �4R� (2.43) 3g
come misura caratteristica del comportamento dinamico del blocco. Essa è funzione della dimensione del blocco R e dell’accelerazione gravitazionale g, fatto che indica che la risposta ciclica di un blocco di grandi dimensioni al rocking è più lunga rispetto a quella di un blocco di minori dimensioni.
Per le equazioni che governano il moto, vedere [27].
− Time-history solution: la soluzione delle equazioni del moto che regolano il problema precedente può essere ottenuta attraverso un metodo numerico ed iterativo di integrazione. La soluzione indicherà l’angolo di rotazione del blocco e la sua velocità, suggerendo il numero di impatti del blocco col suolo e la sua effettiva possibilità di ribaltamento.
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Figura 2.32 - Fenomeno di rocking per un corpo flessibile e per uno rigido
− Spettri di rocking: come per gli spettri di risposta standard, è possibile generare spettri di velocità rotazionale ed angolare (spettri di rocking) in funzione del periodo T = 2π p� per differenti valori della snellezza (o smorzamento) α = tan−1
�b h� �. Ciò può essere ottenuto risolvendo le equazioni che governano il problema e ricavando la massima rotazione di blocchi di differenti dimensioni, soggetti tutti alla stessa storia di accelerazioni sismiche.
Uno studio del genere è stato condotto per blocchi simili con valore di α=15°, soggetti ai movimenti della Pacoima Dam durante il terremoto di San Fernando del 1971. Come si può vedere dalla figura seguente, ad elevati valori della snellezza α corrisponde una elevata energia di impatto col suolo all’inversione del movimento rotatorio e se ne ricava che ciascun blocco con 2π p� < 3.3 𝑐𝑐 si ribalta. Blocchi di maggiori dimensioni, e quindi con periodo T > 3.3 s, si sollevano, senza però ribaltarsi.
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Figura 2.33 - Esempio di spettro di rocking
− Per le dighe a gravità uno studio preliminare della stabilità a ribaltamento può essere condotto secondo il metodo proposto da Chopra e Zhang (1991).
Il corpo diga è ipotizzato rigido e soggetto sia alla componente verticale, che a quella orizzontale del sisma. La diga inizia ad inclinarsi verso valle se il momento ribaltante dovuto all’accelerazione al suolo a monte e alla pressione dell’acqua supera il momento stabilizzante secondo la relazione seguente:
M|ax(t)|yc+ Md(t) +3 hH1 s+ U(b − bU) ≥ M�g + ay(t)�(b − xc) (2.44) in cui Md(t) è il momento dovuto alla pressione idrodinamica
Md(t) = Md0ax(t) +16 ρh3ay(t) (2.45)
con Md0 = ∫ p0h 0(y)ydy momento dovuto alla pressione idrostatica generata dal movimento orizzontale del suolo.
Lo studio dimostra però che il collasso per scorrimento verso valle è precedente a quello di collasso per rocking, che può pertanto essere trascurato nella valutazione della stabilità a scorrimento.
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Figura 2.34 - Studio di Chopra-Zhang