Conoscenza dei fenomen

Come si possono descrivere le catastrofi dal punto di vista del matematico applicato (attuario, statistico...), che misura l’incertezza in vista di valutazioni di tipo patrimoniale, economico e finanziario oltreché sociale ed etico?

Si tratta di eventi con bassa o bassissima probabilità che comportano danni in una certa area territoriale, che può essere anche molto ampia, che riguardano una moltitudine di soggetti, la più parte dei quali colpiti con una certa consistenza.

Nella modellazione si parla di rischi dipendenti e positivamente correlati. Si ipotizza che in una certa area territoriale si possa verificare una catastrofe con un livello scelto tra l diversi possibili livelli di rischio; le probabilità di tali livelli siano π₁, ..., π₁ e verificano (la somma di tali probabilità, c, è la probabilità dell’evento catastrofico “molto” minore di 1 e 1 è la probabilità dell’evento certo ovvero di tutto quello che può accadere, ivi inclusa la non catastrofe, che ha probabilità 1 – c)

π₁ + ... + π₁ = c << 1

Per capire quali possano essere i valori di l basti pensare a livelli di allerta della protezione civile in previsione di pioggie torrenziali, di valanghe, ai livelli di avaria per centrali termonucleari, ai livelli del moto ondoso nel caso di tsunami...

Un caso con numerosi tentativi di codificazione è quello dei terremoti. La profondità dell’ipocentro fa classificare i terremoti in superficiali (da 0 a 70 km - come quello recente di questi giorni in Emilia Romagna), intermedi (da 70 a 300 km ), profondi (da 300 a 700 km). La scala Mercalli (Giuseppe Mercalli 1850-1914) è di tipo discreto e distingue 12 livelli (o gradi o intensità) codificandoli con le relative aggettivazioni per la denominazione delle scosse: strumentale, leggerissima, leggera, mediocre, forte, molto forte, fortissima, rovinosa, disastrosa, disastrosissima, catastrofica, grande catastrofe.

Essa è stata sostituita da scale di tipo continuo, in primis la scala Richter (Charles Francis Richter 1900-1985) basata sulla cosiddetta magnitudo M, grandezza adimensionale a cui si possono legare altre grandezze fisiche come la magnitudo modificata m, l’intensità I, l’accelerazione a, l’energia E (l’unità di misura dell’energia è l’erg: 1 erg = 10–7 _{joule e 1 joule è il lavoro effettuato}

dalla forza di 1 newton quando il suo punto di applicazione si sposta di un metro nella direzione della forza e 1 newton è la forza in grado di imprimere l’accelerazione di 1 m/s2 _{a un corpo avente la massa di un kg). Tali grandezze}

sono legate dalle seguenti relazioni m = M – 0.37 · (M – 6.76)

Log E = 11.8 + 1.5 · M da cui E (M) = 1011.8+1.5·M _erg

ASSICURAZIONE E RIASSICURAZIONE DELLE CATASTROFI AMBIENTALI

CAMBIAMENTI CLIMATICI, CATASTROFI AMBIENTALI E ASSICURAZIONE 34

indicano che l’energia (o il lavoro) per la magnitudo M + 1 è 31.6228 volte quella della magnitudo M e che l’energia (o il lavoro) per la magnitudo M + 2 è 1000 volte quella della magnitudo M.

La magnitudo M è quella con cui si danno le informazioni giornalistiche sui terremoti più rilevanti e va da 0 (erg < 1012_{) fino ai livelli catastrofici, come M}

= 9 con m = 8.2, I = 11.9, a = 3000 (cm/s2_{), E = 2 x 10}25 _{erg: tale magnitudo è}

prossima a quella registrata lo scorso anno in Giappone.

2 x 1025 _{erg significano 2 x 10}18_{joule: si tratta di 2 x 10}18 _{kg = 2 x 10}15 _tonnellate

accellerate di un m/s2 _{con spostamento medio di un metro. Si rifletta che}

2 x 1015 _{tonnellate sono 2 x 10}15 _{metri cubi di acqua, un cubo di spigolo}

; oppure, ponendo pari a 8 il rapporto tra le densità di massa del ferro e dell’acqua, un cubo di ferro di spigolo

chilometri (il volume si riduce a un ottavo se lo spigolo si dimezza); oppure, con un spostamento di 8 metri anziché di 1, un cubo di ferro di spigolo chilometri. Una tabella di conversione delle due scale, Richter e Mercalli, trovata sul web dà (ho aggiunto la colonna che indica lo spigolo in metri del cubo di ferro che si muove nell’ipocentro per 1 metro con accelerazione di 1 m/ s2_{, invece delle usuali tonnellate di tritolo)}

magnitudo

Richter energiajoule Mercalligrado

m spigolo cubo di ferro spostato di 1 m con a = 1 m/s2 << 3.5 << 1.1 x 1010 _I 3.5 1.1 x 1010 _{II 112} 4.2 1.3 x 1011 _{III 250} 4.5 3.6 x 1011 _{IV 354} 4.8 1.0 x 1012 _{V 500} 5.4 7.9 x 1012 _{VI 998} 6.1 8.9 x 1013 _{VII 2233} 6.6 5.0 x 1014 _{VIIII 3972} 6.9 1.4 x 1015 _{IX 5610} 7.3 5.6 x 1015 _{X 8891} 8.1 8.9 x 1016 _{XI 22334} >> 8.1 >> 8.9 x 1016 _XII

Luigi Vannucci 35

Un’idea delle frequenze con cui si presentano i terremoti nel mondo può essere data con questa tavola (reperita in Wikipedia)

Scala Richter _{giornalistica}Descrizione Frequenza_registrata

< 2 micro 8000 al giorno

2 – 2.9 molto leggero 1000 al giorno

3 – 3.9 molto leggero 49000 all’anno

4 – 4.9 leggero 6200 all’anno

5 – 5.9 moderato 800 all’anno

6 – 6.9 forte 120 all’anno

7 – 7.9 molto forte 18 all’anno

8 – 8.9 fortissimo 1 all’anno

9 – 9.9 fortissimo 1 ogni 20 anni

> 10 enorme (mai registrato ?!)

Se dal livello 1 al livello l si pensa a gradi crescenti di catastrofe allora il matematico applicato, che “misura l’incertezza”, ordina i risarcimenti aleatori condizionati ai possibili livelli di catastrofe, calibrando opportunamente le distribuzioni di probabilità delle variabili aleatorie in funzione del livello h in e {1, ..., l} di catastrofe,

N_h numero di danni per catastrofe di livello h

(X_h,1, ..., X_{h, Nh}) distribuzione di probabilità congiunta degli N_h risarcimenti È velleitario, qui e in poco spazio, volere dar conto di modellistiche che trovano largo impiego e rinvio, per una presentazione introduttiva, al mio testo: L. Vannucci, Teoria del rischio e tecniche attuariali contro i danni, Pitagora Editrice Bologna (2010).

Quello che si riscontra rispetto al caso di rischi individuali indipendenti, a parità di risarcimenti attesi, è una crescita sorprendente (ma non troppo per gli addetti ai lavori) di tutti gli indicatori di rischio quali

- varianza, indici di asimmetria, kurtosis del risarcimento globale - quantili della distribuzione del risarcimento globale

- valori attesi del risarcimento globale condizionati al superamento di soglie prefissate

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Voglio soltanto presentare un caso di scuola. Si supponga di dovere dare copertura a rischi che comportino lo stesso risarcimento atteso per unità di tempo. Il generico rischio è caratterizzato dalla probabilità p > 0 che un bene di valore sia distrutto e che con probabilità 1 – p non subisca alcun danno: per questo rischio il premio equo è qualunque sia p.

Ma la varianza è e tende all’infinito per

L’indice di asimmetria è

e tende all’infinito per La kurtosis è

e tende all’infinito per

Graficamente questi indicatori di rischio hanno la seguente rappresentazione (andrebbe stampato a colori)

Fig. 3 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -5 0 5 10 15 20

p

momenti

Luigi Vannucci 37

legenda: magenta varianza, verde asimmetria, blu kurtosis, rossa kurtosis = 3, giallo valor medio = 1

In una tabella si riportano gli indicatori di rischio di cui abbiamo determinato il valore in funzione di p.

p valor medio varianza asimmetria kurtosis

1/2 1 1 0 1 1/4 1 3 1.1547 2.3333 1/8 1 7 2.2678 6.1429 1/16 1 15 3.6148 14.0667 1/32 1 31 5.3882 30.0323 1/64 1 63 7.8113 62.0159 1/128 1 127 11.1807 126.0080

Questi indicatori segnalano la opportunità di coprire quei rischi escogitando adeguati e opportuni strumenti: dai più classici di tipo assicurativo (nell’ambito della tecnica delle assicurazioni: franchigie, scoperti e massimali..., coassicurazione in forma consortile), a quelli di tipo assicurativo di seconda istanza (riassicurazione: proporzionale, non proporzionale (excess loss), con rischio frazionato in “layer”, “ecomor”...) o ricorrendo ai mercati finanziari in cui si propongono strumenti per la copertura dei rischi quali CAT Bond o i contingent capital o, in ultima istanza, il “riassicuratore pubblico”.

In presenza di una scala continua di livelli di rischio, livelli inversamente correlati con la probabilità del loro accadimento, il momento h = 1, 2, ... del risarcimento aleatorio si dovrebbe determinare con un conto come il seguente

Se è presente una franchigia assoluta f allora si avrebbe

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Se è presente un quota trattenuta allora

e così via. Salto le tecnicalità nel tradurre in conti da fare quando si considerino specifici trattati di riassicurazione.

Nel ricorrere al mercato dei capitali si propongono investimenti con rendimenti largamente maggiori di quelli ottenibili da titoli privi di rischio se la catastrofe non si verifica e con rendimenti negativi o nulli (per es. si restituisce solo una quota del capitale alla scadenza pattuita e si sospende il pagamento delle cedole di interesse) se la catastrofe si verifica: ovviamente, per trovare sottoscrittori interessati il rendimento atteso, ottenuto misturando tutti i possibili esiti, dovrà essere ancora maggiore di quello free risk.