A seconda del modello prescelto (e di altri presenti in bibliografia), ci possiamo aspettare dei risultati molto differenti. Comunque è evidente che tra i modelli scelti, il Modello 2 e il Modello 4 inducono degli shift posizionali molto più importanti rispetto agli altri due.
I risultati ottenuti con il sistema (4.24) sono un esempio semplificato di come possa essere studiato in maniera analitica il problema. Nei calcoli abbiamo visto come siano stati trascurati alcuni effetti periodici a lungo periodo che possono giocare un qualche ruolo nella ridistribuzione del momento angolare tra i satelliti. Anche per questo possiamo spiegarci la differenza dei risultati ottenuti rispetto a quelli in bibliografia; la varietà di questi ultimi rende però il problema ancora aperto e necessita di future investigazioni.
Per poter studiare il sistema in tutta la sua complessità sarà necessaria la costruzione di un modello dinamico da integrare numericamente, potendo così
-2e-12 -1.5e-12 -1e-12 -5e-13 0 5e-13 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000
mean motion variation (rad/s)
days
Figura 6.8: Variazione del moto medio di Io (linea verde), ottenuta come n(t) − n1, da cui si deduce la variazione secolare di moto medio (linea blu), calcolata
con i valori del Modello 3. Notiamo come i picchi siano distanziati di 2650 giorni, cioè il periodo della librazione dell’angolo φ.
evitare l’utilizzo di espansioni in serie delle funzioni perturbatrici. Al suo interno dovrà essere considerato anche l’effetto delle maree tramite l’introduzione dei parametri k2e Q di Io e Giove principalmente.
Tra i parametri da determinare saranno presenti, oltre alle orbite dei satelliti, anche i parametri ˙n1, ˙n2e ˙n3, i quali si presenteranno come un effetto trasversale
lungo l’orbita (simile ad un effetto Yarkovsky), da modellare tramite le variazioni secolari dei moti medi dovute alle maree.
In conclusione, per Ganimede ci aspettiamo uno spostamento che può andare da qualche centinaio di metri a circa 2 chilometri, dopo un periodo di 3 anni e mezzo; se prendiamo come riferimento il risultato ottenuto da Lainey è previsto uno shift all’indietro lungo l’orbita di circa 330 metri (14 metri se considerati invece 9 mesi, la durata della fase orbitante intorno a Ganimede).
Grazie ai dati di JUICE il centro di massa del terzo satellite galileiano ver- rà calcolato con una precisione dell’ordine del metro durante la fase dedicata ad esso; di conseguenza dai valori presentati appena sopra auspicheremmo che la missione riuscirà a rilevare l’effetto secolare di variazione del moto medio di Ganimede. Quest’ultimo però può essere mascherato dai vari effetti periodi- ci; come abbiamo visto la librazione di φ ha un periodo superiore ai 5 anni e produce effetti istantanei quantitativamente maggiori (vedi per esempio Figu- ra 6.8), sarebbe quindi utile avere misurazioni durante e oltre l’intero periodo di librazione. Questo per una questione di tempistiche di missione sappiamo essere impossibile.
In più la determinazione della posizione di Ganimede non sarà altrettanto buona nelle altre fasi della missione. E’ comunque possibile aumentare il numero dei dati raccolti durante l’intera missione, e così il peso complessivo dell’infor-
mazione ottenuta da JUICE. In primo luogo grazie agli incontri ravvicinati, che comunque non sono molti e distribuiti in maniera non uniforme. Secondaria- mente ci si può avvalere di altri tipi di osservazione, in particolare, utilizzando le immagini delle telecamere e degli strumenti della sonda, sono due le tipologie di fenomeni che si possono osservare (se le condizioni lo permettono):
• l’occultazione di una stella (con magnitudine non troppo debole) da parte del disco di Ganimede, rispetto alla posizione in cui si trova la sonda. Di queste osservazioni ne possiamo contare dell’ordine della decina;
• l’entrata e l’uscita di Ganimede attraverso l’ombra di Giove, che permet- tono l’analisi della curva di luminosità. Poiché il satellite ha una velocità di circa 10.87 km/s, il tempo che impiega per passare da una situazione di luminosità completa a una di oscurità totale, o viceversa, è di circa 8 minuti (ricordando che il raggio medio di Ganimede è 2631 km).
Tali osservazioni possono essere condotte anche per Io ed Europa, con un numero maggiore di occasioni in quanto compiono più rivoluzioni intorno a Giove. In questa tesi non ci avventuriamo in una trattazione relativa a queste tematiche, ma sottolineiamo solo il fatto che potrebbe essere un punto molto importante per studi futuri.
Infine, il proposito è quello di ottenere un volume di dati che sia, per infor- mazione, al livello dei 100 anni e più di osservazioni telescopiche, per quanto riguarda lo studio della variazione del moto medio di Ganimede.
In questo modo, oltre a poter compiere delle verifiche sui risultati presenti in bibliografia, è possibile ottenere un risultato indipendente dalle osservazioni tele- scopiche, per poi integrare queste ultime in un unico processo di determinazione orbitale.
Considerare le osservazioni telescopiche del passato è essenziale per aumen- tare il tempo coinvolto nel calcolo, il che è un vantaggio essendo gli effetti cercati quadratici nel tempo. Sarà fondamentale combinare i dati di JUICE con le os- servazioni astrometriche effettuate sui satelliti galileiani. Grazie alla precisione degli osservabili di JUICE ci possiamo dunque aspettare:
• di avere dei punti tramite i quali praticamente vincoleremo (data l’alta precisione e la grande pesatura che verrà loro assegnata) il passaggio di Ganimede. Questo da una parte aumenterà la grandezza dei residui, ma ci permetterà anche di avere un controllo qualitativo sulle osservazioni telescopiche del passato;
• la possibilità di utilizzare osservazioni di un intervallo temporale più corto, potendo così evitare l’utilizzo dei dati raccolti troppo indietro nel tempo (e con una maggior probabilità di fonti di errore), che possono far nascere risultati discutibili;
• dalla determinazione della variazione del moto medio di Ganimede, po- tremo ottenere numericamente una stima del parametro k2/Q di Io, da
cui, grazie a modelli fisici coerenti che descrivano l’interno del satellite, è possibile avere un’idea dei singoli valori k2 e Q.
Appendice A
Il problema dei due corpi
Dati due corpi soggetti unicamente alla reciproca forza gravitazionale, siamo in grado di descrivere il loro moto in maniera quasi analitica. L’idea è quella di passare ad un problema equivalente più semplice, il cosiddetto problema di Keplero. Indichiamo con 1 il pianeta più massivo, mentre con 2 il pianeta con massa minore.
Scriviamo le equazioni del moto per entrambi rispetto ad un sistema di riferimento inerziale qualsiasi:
m1¨r1= − Gm1m2 |r1− r2| 3(r1− r2), (A.1) m2¨r2= Gm1m2 |r1− r2| 3(r1− r2). (A.2)
Moltiplicando la prima equazione per m2 e la seconda per m1e sottraendo
membro a membro le due equazioni otteniamo: m1m2(¨r1− ¨r2) = − Gm1m2(m1+ m2) |r1− r2| 3 (r1− r2). Posto r= r1− r2otteniamo: M¨r = −GMM r3 r. (A.3)
Possiamo considerare il problema come il moto di una particella con massa la massa ridottaM dei due corpi (M = m1m2/(m1+ m2)) attratto da un corpo
fermo di massa la massa totale M= m1+ m2, posto nell’origine del sistema di
riferimento.
Otteniamo così un campo di forze centrali, con centro nell’origine, mentre il corpo di massa ridotta si muove intorno ad esso tramite la legge (A.3).
A.1
Le costanti del moto e le orbite kepleriane
Siano r(t) e v(t) il vettore posizione e velocità ad un certo istante t del corpo il cui moto risolve la (A.3). Dalla (A.3) ricaviamo che il vettore momento angolare per unità di massa J= r × v è costante lungo il moto del corpo, infatti:
˙
J= v × v + r × ¨r= 0.
Questo implica che il moto avviene su un piano fissato, che chiameremo piano orbitale, contenente i vettori r e v per ogni istante t.
Consideriamo invece l’energia associata al corpo, che non è altro che la somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale kepleriana:
E=1 2Mv
2−GMM
r .
E’ facile vedere che la derivata temporale di tale quantità è 0, quindi anche l’energia è un integrale primo del moto: il corpo si muoverà lungo un’orbita con energia fissata.
In più un altro vettore rimane costante, il cosiddetto vettore di Lenz B: B= v × J − GM
r r. (A.4)
Vediamo ora come ricavare l’equazione della traiettoria nel piano orbitale: se moltiplichiamo scalarmente la (A.4) e indicando con p = J2/GM ed e =
B/GM (rispettivamente saranno il semilato retto e l’eccentricità dell’orbita, i quali notiamo essere delle costanti del moto) otteniamo:
r= p
1 + e cos ν. (A.5)
L’angolo ν è l’anomalia vera, cioè l’angolo tra il vettore di Lenz e il vettore posizione r. L’equazione (A.5) lega la distanza dall’origine all’anomalia vera; si noti che tale equazione ha la forma di una conica. Per ν= 0 il raggio vettore è parallelo al vettore di Lenz, in più otteniamo il minimo della lunghezza di r; il punto in cui si trova il corpo è detto pericentro. Il tipo di conica dipende solo dal valore di e:
• se 0 ≤ e < 1 l’orbita è un’ellisse, in particolare se è 0 la conica è una circonferenza;
• se e = 1 è una parabola; • se e > 1 è un’iperbole.
Se siamo nel primo caso esiste anche il punto di distanza massima dal centro di forza; esso si ricava ponendo ν= π ed è chiamato apocentro
Definendo a= p/(1 − e2) il semiasse maggiore della conica, anch’esso chia-
ramente costante, è facile dimostrare che l’energia può essere riscritta in questo modo:
E= −GMM
2a (A.6)
Poiché il segno di a cambia a seconda della conica su cui il corpo si muove abbiamo una nuova caratterizzazione delle orbite kepleriane tramite la (A.6):
• se E < 0 siamo nel caso ellittico; • se E = 0 siamo nel caso parabolico; • se E > 0 siamo nel caso iperbolico.