4.6 Risultati recenti e future investigazioni
5.1.4 Deficienze di rango
Se la matrice normale C ha un autovalore nullo, allora le soluzioni proposte non possono essere applicate senza incorrere in un fallimento. Infatti non è possibile definire la matrice di covarianzaΓ, che ricordiamo essere inversa della matrice normale, e ottenere il vettore x∗ (nel caso lineare) o il vettore xk+1 (nel caso
non lineare) definito in (5.8).
Definizione 11. Il problema di determinazione orbitale impostato, con matrice normale C al passo k-esimo, ha una deficienza di rango di ordine d se nello spazio dei parametri incogniti esiste un sottospazio K di dimensione massimale d per cui se prendiamo un vettore v (diverso da 0) su K allora Cv= 0.
Questo che si presenta come un problema numerico nasce proprio dalla for- mulazione del principio dei minimi quadrati. Infatti una deficienza di rango implica che ci sono delle direzioni (per precisione ce ne sono d indipendenti) nello spazio dei parametri incogniti che lasciano invariati, o quasi, i residui:
ξ(x + sv) = ξ(x) + sBv +O(s2) = ξ(x) +O(s2).
Il principio dei minimi quadrati perciò non riesce a vincolare alcuni dei pa- rametri che vogliamo calcolare. Per ovviare a questo intoppo ci sono diversi metodi possibili; uno di questi è utilizzare la pseudoinversa di C, la quale è la matrice nulla sulker C e l’inversa di C sul sottospazio ortogonale al nucleo. Questo però non risolve il problema in generale, abbiamo bisogno di metodi più robusti.
Tra le soluzioni possibili vi sono:
• descoping, si eliminano dai parametri incogniti gli xi che danno origine
alle direzioni deboli di C. Per fare questo per ognuno di questi xi si fissa
un valore, il più possibile attendibile, ottenuto da precedenti osservazioni. • osservazioni a priori, si cerca di eliminare la deficienza di rango, aggiun- gendo informazione alla matrice C. In particolare si costruisce una matrice diagonale CP semidefinita positiva con autovalori nulli o della forma1/σ
i
e un vettore xP in cui inseriamo dei valori attendibili per i parametri x i;
i σi saranno le rispettive incertezze. In questo modo stiamo aggiungendo
delle osservazioni supplementari, che vanno a cambiare anche la funzione target
Q(x) = 1
N+ m[(x − x
∗) · CP(x − x∗) + ξTξ].
e di conseguenza l’equazione normale al passo k-esimo (se siamo nel caso non lineare) è:
[CP+ BTB](x
k+1− xk) = −BTξ+ CP(xP− xk).
Se le incertezze sono abbastanza piccole allora la matrice CP ha degli
autovalori molto grandi lungo le direzioni deboli, i quali rendono CP +
BTB invertibile, per cui il metodo non si blocca.
Un risultato molto importante per scovare le deficienze di rango riguarda le simmetrie del problema:
Definizione 12. Una simmetria esatta per un problema di determinazione orbitale è l’azione di un gruppo G sullo spazio dei parametri incogniti, la quale lascia invariati i residui
ξ(g[x]) = ξ(x) ∀g ∈ G.
Un gruppo di simmetria ad un parametro è un gruppo G parametrizzato da un parametro s (cioè i suoi elementi possono essere espressi come g(s)); per la teoria che segue aggiungiamo come ipotesi che la mappa (s, x) 7→ g(s)[x] è differenziabile e che G non ha isotropia, cioè se per ogni azione con s 6= 0 vale che g(s)[x] 6= x per ogni x. Un gruppo di simmetria locale a un parametro, invece ha le stesse proprietà, ma in un intorno di 0 per s.
Enunciamo ora il seguente risultato:
Proposizione 1. La presenza di d gruppi di simmetria ad un parametro indi- pendenti implica una deficienza di rango di dimensione d.
Dimostrazione. Sia G uno dei gruppi di simmetria delle ipotesi, i cui elementi g(s) sono parametrizzati da s. Prendiamo il vettore ∂g(s)[x]/∂s, esso per ipotesi di non isotropia è diverso dal vettore 0.
Da una parte però le seguenti uguaglianze ∂ξ(s)[x] ∂s = ∂ξ ∂x ∂g(s)[x] ∂s = B ∂g(s)[x] ∂s ;
dall’altra il primo termine è uguale a 0 per ipotesi. Abbiamo così trovato un vettore che soddisfa la definizione di deficienza di rango.
Lo stesso ragionamento può essere fatto per tutti gli altri gruppi di sim- metria presenti nel problema, e per ipotesi di indipendenza avremo d direzioni linearmente indipendenti per cui esiste una deficienza di rango.
Nella maggior parte dei problemi, dove gli effetti da considerare sono tanti, le deficienze di rango non sono esatte, ma si può trovare un numero piccolo >0 per cui con le stesse notazioni di prima, preso v unitario in K, vale |Bv| ≤ . Tali deficienze di rango sono dette approssimate.
Si può dimostrare che in tal caso d autovalori della matrice C sono minori o uguali a 2; questo oltre a implicare un problema numerico una volta che si
cerca di invertire C, implica un problema sulla qualità della soluzione. Infatti d autovalori della matrice di covarianzaΓ hanno autovalori maggiori o uguali a 1/2, quindi d semiassi dell’ellissoide di confidenza maggiori1/, che comporta
incertezze elevate lungo certe direzioni.
Come nel caso precedente si può dimostrare che le deficienze di rango ap- prossimate sono legate a delle simmetrie, questa volta approssimate:
Definizione 13. Una simmetria approssimata è un’azione differenziabile di un gruppo sullo spazio dei parametri incogniti, la quale cambia i residui di valori dell’ordineO(), con piccolo. Se abbiamo un gruppo di simmetria approssimata ad un parametro vale che per ogni azione g(s) esiste un vettore a tale che
ξ(g(s)[x]) = ξ(x) + sa +O(s2),
a ∈ Rm, |a|= 1.
Aggiungendo di nuovo l’ipotesi di assenza di isotropia, si riesce a dimostrare che l’esistenza di d gruppi a simmetria approssimata (con parametro ) indi- pendenti implicano una deficienza di rango approssimata di dimensione d, dove però il parametro di piccolezza non è più solo , ma un quantità dello stesso ordine.
Generalmente quello che si fa in un problema di determinazione orbitale è cercare prima delle simmetrie esatte del problema senza perturbazioni, succes- sivamente si aggiungono queste ultime e si verifica se le simmetrie trovate sono rimaste, almeno nella forma approssimata.
Sarà nostro interesse quando descriveremo un possibile processo di deter- minazione orbitale cercare le simmetrie del problema, per poter scoprire le deficienze di rango presenti e mostrare un metodo per eliminarle.