Range e range-rate di JUICE

Come abbiamo già accennato i dati raccolti dalla missione JUICE, tramite gli esperimenti di radioscienza, sono di tipo range ρ, cioè distanza tra la base a Terra e la sonda, e di tipo range-rate ˙ρ, cioè di variazione del range.

Tali misure sono eseguite grazie alle onde radio in banda Ka e X trasmesse e rimbalzate dallo spacecraft. Nel vuoto esse avrebbero una velocità pari a quella della luce c, ma a causa del plasma interplanetario, esse subiscono un effetto di rifrazione, che le porta ad una velocità effettiva cef f minore di c. Il

fatto di usare diverse frequenze permette di vincolare la densità interplanetaria e quindi di calcolare cef f: infatti l’indice di rifrazione n= c/cef f è inversamente

proporzionale alla frequenza f (perciò minore nel caso di onde in banda Ka)

n= s

1 − k f2,

SSB spacecraft Jupiter Moon Earth Ganymede EMB � x x x x x sc ga emb ant ea JSB xjsb

Figura 5.9: Raffigurazione del sistema Terra-Luna, dal quale parte il segnale al tempo tt e viene ricevuto al tempo tr, e del sistema Giove-Ganimede, dove il

segnale viene recepito e rimandato dalla sonda al tempo tb. L’immagine non è

in scala, né rappresenta la vera disposizione dei corpi.

dove k è indice della densità del plasma. Due misure permettono di vincolare tale quantità e diminuire l’incertezza dei dati.

Le precisioni prospettate per il range e il range-rate sono rispettivamente 20 cm e 3 micron/s per integrazione di 1000 secondi.

Il dato osservabile range è calcolato, conoscendo la velocità e il tempo in cui l’onda radio arriva alla sonda e ritorna alla base, dalla formula:

ρ= cef f∆t/2.

Il modello con cui andremo a predire il risultato del range ha diverse sotti- gliezze da tenere in considerazione. Ricordiamo inizialmente che per una missio- ne spaziale interplanetaria nel sistema di Giove, a circa 5.2 unità astronomiche dal Sole, i segnali radio impiegano una quarantina di minuti per arrivare dalla base alla sonda.

I tempi da considerare sono tre: il tempo di trasmissione del segnale tt, il

tempo di rimbalzo del segnale da parte dello spacecraft tb e il tempo di ricevi-

mento a Terra del segnale di ritorno tr. Con riferimento allo schema presentato

in Figura 5.9, avremo bisogno di sei vettori per calcolare il vettore range: xsc

va dal centro di massa di Ganimede allo spacecraft, xga dal baricentro del si-

stema di Giove (JSB) a Ganimede, xjsbdal baricentro del sistema solare (SSB)

a JSB, xembda SSB al baricentro del sistema Terra-Luna (EMB), xea da EMB

al centro di massa della Terra e infine xant dal centro di massa della Terra alla

posizione della base sulla superficie del nostro pianeta.

ρ= |ρ| = |(xjsb+ xga+ xsc) − (xemb+ xea+ xant)|. (5.16)

Di seguito indicheremo con xjgsil vettore all’interno della prima parentesi e

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 0 1 2 3 4 5 6 shapiro effect (m) rad 0 10 20 30 40 50 60 0 1 2 3 4 5 6 shapiro effect (m) rad

Figura 5.10: Addendi da aggiungere al range dovuti al ritardo del segnale radio (effetto Shapiro). Nel primo grafico è rappresentato l’effetto Shapiro dovuto alla massa del Sole: notiamo come il valore minimo sia circa 5 km, mentre il picco di massimo è di circa 40 km, raggiunto la Terra e Giove sono in opposizione rispetto al Sole (notiamo che però quest’ultimo caso non si presenterà durante i 132 giorni di tracking). A destra invece consideriamo la deformazione dovuta a Giove, il cui picco per il ritardo del segnale è di circa 50 m (quando la Terra e Ganimede sono in opposizione rispetto a Giove).

Un effetto aggiuntivo da considerare è l’effetto Shapiro di ritardo del segnale radio, dovuto alla deformazione dello spazio-tempo da parte sia di Giove che del Sole. Esso in approssimazione 1 PN (grado 1 postnewtoniana) è della forma:

S(γ) = (1 + γ)GM c2 ln r_t+ r_r+ r rt+ rr− r  . (5.17)

La massa M appartiene al corpo che origina il campo gravitazionale, il para- metro γ è uno dei parametri post-newtoniani, il quale misura la curvatura dello spazio tempo; in relatività generale il suo valore è pari a 1. Con rr = |r(tr)|

ed rt = |r(tt)| indichiamo, rispettivamente, la distanza tra il centro di mas-

sa di Giove (o del Sole) del ricevitore e del trasmettitore; la quantità r invece corrisponde a |r(tr) − r(tt)|.

Notiamo che entrambi gli effetti devono essere considerati, in quanto nono- stante quello dovuto a Giove sia molto minore di quello del Sole, è comunque di diversi ordini di grandezza maggiore della sensibilità degli osservabili di tipo range.

Avremo così due misure, a seconda se consideriamo il viaggio di andata (uplink) o di ritorno (downlink) del segnale; nel primo caso il vettore xeea sarà

preso al tempo tt, nel secondo al tempo tr.

ρdo(tr) = |xjga(tb(tr)) − xeea(tr)|,

ρup(tr) = |xjga(tb(tr)) − xeea(tt)|.

A queste due equazioni sono associate le due misure di predizione (dove S contiene entrambi gli effetti di Shapiro, solare e gioviano)

cef f(tr− tb) = ρdo+ Sdo,

I tempi tb e tt sono in funzione del tempo di ricevimento, e sono ottenibili

tramite un metodo iterativo di ricerca degli zeri (per esempio il metodo di New- ton) applicato alla funzione (5.16). Come abbiamo già accennato in precedenza, osserviamo che alcuni vettori della formula (per esempio la posizione della Ter- ra) saranno calcolati da effemeridi pre-calcolate dalle quali il programma di determinazione orbitale attingerà i dati, mentre altri (per esempio la posizione di Ganimede) saranno calcolati attraverso il modello costruito per JUICE.

Per convenzione la misura di range ρ sarà posta uguale a ρ= 1

2(ρdo+ Sdo+ ρup+ Sup).

Osservazione 18. I vettori necessari per il calcolo del range tramite la formu- la (5.16) non sono calcolati tutti nel sistema di riferimento baricentrico, ma xga

è ottenuto nel sistema di riferimento con origine nel centro di massa del sistema di Giove, xsc nel sistema ganimedocentrico e xant nel sistema geocentrico. E’

necessaria una trasformazione tra tali sistemi di riferimento a quello del baricen- tro del sistema solare: in un contesto newtoniano questo è molto semplice, ma in una notazione relativistica questo è molto più complicato, in quanto anche il tempo è coinvolto in tali trasformazioni. In questa tesi non presenteremo i particolari di questo aspetto, evidenziamo comunque il fatto che i tempi dei vari sistemi di riferimento considerati non sono gli stessi (il tempo in relatività non è assoluto).

Per la misurazione dell’osservabile range-rate invece si utilizza la variazione di frequenza dovuta all’effetto Doppler. L’allontanamento dello spacecraft dalla base a Terra infatti implica una diminuzione della frequenza delle onde radio ricevute, mentre un avvicinamento implica un aumento della stessa quantità. La formula classica dell’effetto Doppler è:

f − f0

f0

= − ˙ρ cef f

. (5.18)

Abbiamo indicato con f0 la frequenza dell’onda radio partita dalla Terra ed

f quella arrivata allo spacecraft. Una volta ricevuto il segnale, il transponder montato sulla sonda lo rimodula attraverso una frazione prossima ad 1, per poi rimandare il segnale a Terra.

Anche la predizione del range-rate tramite il modello costruito per JUI- CE, come nel caso del calcolo del range, necessita di un’equazione della forma di (5.16) (derivata temporalmente rispetto al tempo di ricevimento) e di correzio- ni di tipo relativistico. Tra questi citiamo l’effetto Shapiro per le velocità, la cui formula è più complicata rispetto a quella per il range (5.17), ed è consultabile in [34].