Contatti

Nelle Figure 2.12 e 2.13 è riassunto lo stato dei contatti tra le pareti del Cordal Hinge e quelle di cassa e anello.

Lo stato dei contatti mostra come le superci interagiscono tra loro. Inizial- mente poste a distanza nulla su tutta la loro estensione, sotto l'eetto dei carichi termici le due superci si sono deformate e in alcune zone separate (Near) oppure sono rimaste a contatto (sliding) o addirittura unite (stic- king).

Il fatto che l'eettiva supercie a contatto sia una piccola parte di quella ini- ziale avvalora la scelta di un contatto di tipo non lineare frictional rispetto a quello di tipo bonded che avrebbe forzato le superci a rimanere comple- tamente unite e conferma l'eettiva deformazione ipotizzata all'inizio. Nella seconda immagine è riportata la pressione di contatto agente sugli elementi superciali del Chordal Hinge.

2.2.2 Tensione

La distribuzione della tensione equivalente di Von Mises è riportata nella Figura 2.14.

Il valore massimo dello stress è nell'ordine dei 700 MPa ed è individuato in prossimità di un foro della piattaforma inferiore. In questa zona lo stress è dovuto principalmente al particolare vincolo (coupling) introdotto tra i fori. Sebbene riesca a simulare in maniera coerente l'azione dei perni che uniscono

del foro. Questo fa allontanare la soluzione dalla distribuzione di sforzi reali dove le tensioni sarebbero distribuite su tutta la lunghezza di perno e foro. Nelle zone di alto interesse per l'analisi come le foglie e i raccordi con le piattaforme vi è una distribuzione di stress regolare, senza eccessive concen- trazioni di tensione.

In Figura 2.15 è rappresentata la distribuzione dello stress principale massi- mo o S1.

Il Trailing Edge è una parte critica della foglia a causa del piccolo spes- sore e delle alte temperature che vi agiscono.

Per capire a che tipo d stress è sottoposto il metallo in prossimità del TE sono stati estratti le direzioni principali della tensione misurandone l'inten- sità. Si è giunti alla conclusione che le foglie sono soggette principalmente a sforzi agenti lungo direzione radiale.

In Figura 2.16 è rappresentata la componente x degli sforzi (radiale). Si può notare come il bordo di uscita dell foglie, in condizione di regime, sia sottoposto in una foglia a compressione, nell'altra a trazione.

2.2.3 Deformazione

L'altro risultato analizzato sono state le deformazioni (strain) a cui è stato indotto l'ugello. L'andamento della deformazione totale equivalente (Total Mechanical Strain) è rappresentato nella Figura 2.17.

Per poter identicare le zone in cui il materiale entra in regime plastico è stata estratta la distribuzione della deformazione plastica (Plastic Strain) mostrata in Figura 2.18.

Dal risultato si evince che il materiale di cui è composto l'ugello supera il valore di snervamento in corrispondenza dei raccordi (llets) tra foglia e piat- taforma, sia sui bordi di attacco che quelli di uscita.

La plasticizzazione è localizzata e di valore contenuto.

2.2.4 Conclusione

I risultati dell'analisi statico strutturale compiuta a Steady State sono stati poi utilizzati per le successive analisi di creep, pre-stressed per l'analisi mo- dale. Per l'analisi a fatica per bassi numeri di cicli (LCF) si sono sfruttati i risultati dell'analisi transitoria in cui il modello è stato modicato.

Figura 2.12: Stato dei contatti

Figura 2.15: Distribuzione della componente principale massima della tensione

Capitolo 3

Analisi Modale

Successivamente all'analisi statica, è stata compiuta sull'ugello un'analisi di tipo modale, illustrata in questo terzo capitolo.

L'obbiettivo è quello di valutare come il componente reagisca ad eventuali forze esterne oscillanti al ne di evitare i fenomeni di risonanza che possono portare al danneggiamento della struttura.

3.1 Fondamenti di dinamica

La dinamica di ogni elemento in cui è scomposto il pezzo in esame nel modello agli EF è descritta dalla seguente equazione dierenziale del secondo ordine: [M ]{¨x} + [C]{ ˙x} + [K]{x} = {F } (3.1) dove [M] è la matrice di massa, [C] la matrice dello smorzamento e [K] la matrice della rigidezza dell'elemento.

{¨x}, { ˙x} e {x} rappresentano invece i vettori accelerazione, velocità e spo- stamento e sono tutti e tre in funzione del tempo. {F } è inne il vettore delle forze esterne.

Si ipotizza inizialmente che le forze esterne siano nulle, inoltre per i ma- teriali metallici il coeciente di smorzamento è basso (inferiore al 10%) e quindi trascurabile. Si ottiene quindi l'equazione:

[M ]{¨x} + [K]{x} = {0} (3.2) Le soluzioni di questa equazione dierenziale semplicata saranno nella for-

ma ₍

{x}(t) = {X}eiwt

dove {X} è un vettore costante , eiwt _{una semplice sinusoide che rappresenta}

la risposta in frequenza mentre w è la frequenza della sinusoide stessa. Sostituendo le soluzioni trovate nell'Equazione 4.2 si ricava l'espressione:

− w2[M ]{X}eiwt+ [K]{X}eiwt = {0} (3.4) Dividendo inne per eiwt _{si ottiene l'equazione nale dove w}2 _rappresenta

gli autovalori e {X} gli autovettori.

([K] − w2[M ]){X} = {0} (3.5) Risolvere l'Equazione 3.5 signica trovare soluzioni non banali ovvero un vettore degli spostamenti {X} diverso da 0. Ma se la matrice risultante da [K] − w2[M ] è denita positiva l'unica soluzione rimanente è quella banale {X} = 0.

L'unico modo per trovare una soluzione non banale rimane quindi trova- re quelle frequenze wn tali per cui [K] − w2[M ]sia nullo dopodiché trovare

un vettore che corrisponda a tale frequenza. Da notare che non c'è un solo vettore da associare ad una frequenza w ma inniti in quanto moltiplicando {X} per un qualsiasi scalare, il vettore degli spostamenti rimane soluzione del problema agli autovalori.

La denizione più corretta di {X} non è vettore degli spostamenti ma "forma propria" o "modo proprio". Si tratta infatti della disposizione relativa degli elementi che oscillano alla particolare frequenza wn detta frequenza propria

o frequenza naturale.

Un modo proprio, così come la frequenza propria ad essa associata, sono dun- que proprietà intrinseche della struttura calcolate senza considerare eventuali forze esterne che vi agiscono. Detto in altri termini un modo proprio è quella congurazione che una volta raggiunta con una deformazione statica, se la struttura viene lasciata libera di muoversi, oscilla indenitamente tra il va- lore iniziale ed il negativo della deformazione di partenza con una frequenza pari a quella naturale wn (ciò vale n tanto che si continua ad assumere

anche smorzamento nullo).

Nel caso in cui siano presenti i carichi esterni espressi nel vettore {F } l'e- nergia introdotta dalle forze viene assorbita interamente dalla struttura che tenderebbe ad ampliare l'oscillazione no a deformarsi indenitamente. Con la presenza di un coeciente di smorzamento l'oscillazione raggiungerebbe un punto di equilibrio in cui la quantità di energia introdotta dall'esterno è pari a quella assorbita dal sistema stesso tramite il fattore smorzante. Come spesso accade lo smorzamento non è suciente a stabilizzare l'oscil-

Pertanto questi fenomeni detti di risonanza in cui si ha la presenza di forzan- ti in concomitanza con vibrazioni di frequenza pari ad una frequenza propria wn della struttura devono essere evitati per garantire la durata del compo-

nente.

E' importante sapere che il numero di modi propri di una struttura è pari al numero dei gradi di libertà del sistema. Di conseguenza in un sistema oscillante di due masse m attaccate a tre molle come mostrato in Figura 3.1 dove i gradi di libertà sono le due posizioni x1 e x2 delle masse, si avranno

due frequenze naturali w1 =pk/me w2=p3k/m.

Figura 3.1: Sistema oscillante a due masse

Se prendiamo in considerazione strutture più complesse con più di due ele- menti, il numero di gradi di libertà sale. Ricorrendo al Metodo degli Elementi Finiti, il componente è suddiviso i tanti piccoli elementi, schematizzabili co- me tante masse m collegate tra loro da molle di rigidezza k come mostrato nell'esempio di Figura 3.2.

Ciò comporta che in un'analisi FEM si abbiano corpi con una quantità mas- sima di frequenze proprie calcolabili pari almeno al numero di elementi che compongono la struttura.

Diagramma di Campbell

Per impedire l'insorgere di fenomeni di risonanza si deve quindi evitare che la velocità delle oscillazioni corrisponda alle frequenze naturali trovate con l'analisi modale. Tramite il disegno del Diagramma di Campbell è possibile vericare con facilità se questa condizione è soddisfatta e valutare il range di sicurezza in cui si opera.

Questo graco rappresenta l'andamento della frequenza al variare della ve- locità di oscillazione della forzante che nel caso di alberi rotanti corrisponde alla velocità di rotazione. Il valore della frequenza è calcolabile tramite la formula

f (Hz) = N · Ω

60 (3.6)

dove Ω è il numero di rotazioni al minuto, N è un numero naturale intero che identica l'ordine dell'armonica scelto tra quelli in cui è scomposta l'o-

scillazione eccitante tramite la serie di Fourier.

Intersecando questo fascio di rette passanti dall'origine con le rette orizzon- tali corrispondenti alle frequenze naturali calcolate si trovano le velocità di rotazione critiche a cui si incorre nella risonanza.

In Figura 3.3 è rappresentato un esmpio di diagramma di Campbell.

Figura 3.2: Esempio di asta discretizzata per un'analisi agli Elementi Finiti

3.2 Risultati Analisi

L'analisi modale sull'ugello in esame è stata compiuta ancora tramite il soft- ware ANSYS utilizzando lo stesso modello strutturale creato per l'analisi statica. E' stata conservata la stessa geometria così come la mesh i vincoli e i carichi esterni corrispondenti alla condizione operativa di regime.

I risultati dell'analisi statica sono serviti per ricostruire lo stato di tensione interno alla struttura e svolgere l'analisi modale tenendo conto delle forze esterne (pre-stressed analysis).

Il calcolo è stato impostato per restituire le prime 100 frequenze proprie dell'ugello che sono valide per tutti i 22 settori in cui è suddiviso l'ugello grazie all'applicazione della simmetria ciclica.

3.2.1 Indice Armonico

Figura 3.3: Esempio di diagramma di Campbell

Per diametro nodale si intende un linea che attraversa un corpo vibrante di forma circolare caratterizzata da spostamenti perpendicolari nulli. Nella Figura 3.4 sono mostrati i diametri nodali per i primi tre modi propri di un disco.

Per corpi con forme più complicate come per esempio un rotore di una tur- bina, queste linee possono non essere osservabili nella ragurazione di un modo proprio.

Figura 3.4: Diametri nodali per un cerchio

L'indice armonico (Harmonic Index, HI ) è un numero intero che determina la variazione del valore di un singolo grado di libertà nei punti distanziati da un angolo circonferenziale pari all'ampiezza del settore. Per un indice

armonico pari ad un diametro nodale d, questa variazione vale cos(d·θ). Ciò implica che per un dato indice armonico ci sia un numero variabile di onde lungo la circonferenza. Per esempio in un disco la cui simmetria permette una divisione in 6 settori, un indice armonico pari a 0 produce modi propri con 0,6,12...6N onde lungo la circonferenza.

Diametro nodale e indice armonico sono lo stesso numero solo in pochi casi. La soluzione per un indice armonico dato può contenere modi propri di più diametri nodali.

La relazione tra questi nue numeri è espressa dalla relazione

d = m · N ± k (3.7)

dove d è il numero di diametri nodali, k è l'indice armonico, N è il numero di settori e m = 0, 1, 2, 3, ...∞.

Per esempio, se in un modello vi è una suddivisione in sette settori (N = 7) con un indice armonico k = 2, l'analisi modale risolve il sistema per 2, 5, 9, 12, 16, 19, 23, ...diamteri nodali.

Il range di valori selezionabili per l'indice armonico va da 0 a N/2, se il numero dei settori è dispari (N − 1)/2.

Nel caso dell'ugello esaminato, tra gli undici indici selezionabili sono stati scelti i primi cinque (0,1,2,3 e 4). Per ognuno sono stati estratti i primi 100 modi e frequenze proprie corrispondenti.