Si è deciso di completare l’analisi non lineare delle serie battito-battito MAP e HP calcolando anche un terzo indice dell’entropia, la corrected conditional entropy (CCE).
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Il primo passo dell’algoritmo per calcolare la CCE consiste in una normalizzazione dei valori della serie per ridurla ad un processo con media nulla e varianza unitaria:
(2.20) Dove X(i) è la serie originale costituita da N campioni.
A partire dalla serie normalizzata si costruisce uno spazio delle fasi m-dimensionale (time delay recostruction, Takens, 1981). Si costruiscono quindi N-m+1 vettori, ciascuno dei quali contiene m campioni della serie, questo significa che ciascun vettore rappresenta un pattern di durata m campioni: Ed è rappresentato da un punto nello spazio delle fasi.
La Conditional Entropy (CE) è definita dalla seguente equazione:
∑ ∑ (2.21)
In cui indica la probabilità di individuare il pattern , indica la
probabilità condizionata che, dato il pattern , sega a questo l’m-esimo campione
del pattern . Questa definizione deriva direttamente da quella dell’entropia di Shannon (2.12). infatti la CE può essere vista come la variazione dell’SE rispetto ad m:
= E (m) - E(m-1) (2.22) La stima della CE può essere ottenuta approssimando la (2.22):
̂ = ̂ (m) - ̂(m-1) (2.23) In cui ̂ (m) e ̂(m-1) rappresentano la stima della SE rispettivamente in uno spazio di embedding m-dimensionale ed (m-1)-dimensionale. ̂ (m) può essere calcolata approssimando la probabilità contenuta in (2.14) con le frequenze di ciascun campione. Per calcolarle si quantizza la serie in ξ livelli di ampiezza r = (xmax - xmin) / ξ. La
quantizzazione della serie corrisponde a suddividere lo spazio delle fasi in M iper-cubi di lato r. Ciascun pattern di lunghezza m è rappresentato un punto nello spazio degli stati m-dimensionale, due punti all’interno di uno stesso iper-cubo hanno una distanza inferiore ad r e ciò equivale a dire che, fissata una soglia di tolleranza r, i pattern rappresentati dai
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punti che si trovano all’interno di uno stesso iper-cubo sono simili tra loro. Contando il numero di punti all’interno di un iper-cubo ottengo le frequenze per calcolare la (2.23).
La CE calcolata secondo questo algoritmo mostra diverse limitazioni: la frequenze dei pattern calcolata in questo modo dipende dal numero di campioni della serie N e dal numero di livelli di quantizzazione ξ , dunque ̂ è una funzione di m, N e ξ.
In particolare un numero limitato di campioni N porta a sottostimare la CE poiché, al diminuire di N, aumenta il numero di punti che vengono a trovarsi da soli all’interno di un iper-cubo; lo stesso accade all’aumentare di m.
Un numero N di campioni superiore a ξ m+1 garantisce che, anche in presenza di rumore, in media ogni iper-cubo contenga più di un singolo punto in ogni spazio delle fasi di dimensione inferiore a m (Porta et al., 1998).
Al fine di superare i problemi associati alla disponibilità di un numero limitato di campioni ed evitare la scelta apriori della dimensione di embedding m è stata introdotta una correzione nella procedura di calcolo della CE. In particolare il metodo proposto si basa sulla ricerca del minimo della funzione Corrected Conditional Entropy(CCE):
̂ (2.24) La CCE è una funzione della dimensione di embedding m ed è composta da due termini: la CE ed un temine correttivo così definito:
̂ (2.25) Dove indica la percentuale di punti che si trovano da soli all’interno di un iper-cubo e ̂ il valore stimato della SE per m=1. Quest’ultimo rappresenta il valore della CE per un rumore bianco che ha la stessa distribuzione di probabilità della serie considerata.
Le componenti della CCE hanno un andamento opposto all’aumentare di m, la prima componete decresce all’aumentare di m la seconda, invece, cresce all’aumentare di m. Di conseguenza, la CCE presenta un minimo, il quale è considerato come la migliore stima della CE (figura 2.11).
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Figura 2.11 Andamento delle componenti della CCE in funzione della dimensione di embedding m
Anche in questo caso si è scelto di applicare questo metodo di calcolo dell’entropia alle serie battito-battito MAP e HP per il periodo temporale che va dal trentesimo minuto dopo l’occlusione delle arterie sino alla nota che segnala l’evento di FPD. Questa finestra temporale è stata suddivisa in sotto finestre della durata di tre minuti con overlapping del 50%, per ciascuna finestra è stato calcolato il valore della CCE tramite l’algoritmo appena descritto. Per ciascun ratto il calcolo della CCE è stato effettuato anche per il segmento di baseline, ricavato come descritto nel paragrafo 2.2.1, al fine di avere un valore di riferimento in una condizione precedente all’occlusione delle arterie splancniche e alla condizione di ischemia provocata da quest’ultima.
In particolare, si è scelto di confrontare il valore della CCE nei primi tre minuti del suddetto periodo temporale precedente all’evento di FPD con il valore negli ultimi tre minuti. Nel seguito con la dicitura 30’post clamp si fa riferimento alla prima finestra di durata tre minuti e con la dicitura Pre-FD si fa riferimento all’ultima finestra di durata 3 minuti precedente all’evento di fatal drop.
Per il calcolo della CCE è stata utilizzata la funzione reg.m che implementa l’algoritmo descritto nel corso di questo paragrafo. La funzione chiede in ingresso il valore massimo della dimensione di embedding mmax ed il numero di livelli ξ per effettuare la
quantizzazione del segnale. Sulla base di studi ed applicazioni precedenti (Porta et Al, 1998) è stato impostato mmax = 10 e ξ=6. Il numero N di campioni di ciascun serie battito-
battito per cui è stato effettuato il calcolo della CCE è sempre superiore ad 800.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 m CCE CE E c
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