notando che sia i moduli di Young che i moduli di Poisson sono diversi lungo direzioni diverse. Il legame ortotropo è caratteristico dei materiali compositi che sono formati da lamine sovrapposte composte di fibre e matrice. Dunque, risulta spesso necessario ruotare gli sforzi o le deformazioni dal sistema di riferimento ortotropo relativo alla singola lamina con cui esse sono state ricavate nel sistema di riferimento del laminato. Al fine di definire il tensore di rotazione è necessario considerare i tensori completi di sforzo e deformazione, poiché non è possibile applicare la rotazione ai vettori ! e
! , essendo essi vettori in senso algebrico. La rotazione di un vettore meccanico si può effettuare tramite la matrice dei coseni direttori come:
! simmetria del tensore di sforzo, passando alla scrittura vettoriale algebrica e ipotizzando stato di sforzo piano si ricava:
!
Poiché nel vettore delle deformazioni è presente il termine ! , la rotazione
diventa: ! . Per quanto riguarda l’energia di
deformazione si ha:
!
Pertanto è possibile spostare il legame ! dal sistema di riferimento ortotropo della lamina al sistema del laminato:
!
γ
{ } ε = m
2
n
2mn
n
2m
2−mn
−2mn 2mn m
2− n
2⎡
⎣
⎢ ⎢
⎢
⎤
⎦
⎥ ⎥
⎥
{ } ε
V
d= 1
2 { } ε
T{ } σ = 1 2 { } ε
T⎡⎣ ⎤⎦ ε D { } = 1 2 { } ε
T[ ] T ⎡⎣ ⎤⎦ T D [ ]
T{ } ε
σ ,ε
[ ] D = T [ ] ⎡⎣ ⎤⎦ T D [ ]
TDOMANDA 72,73 - MATERIALI COMPOSITI: MODELLO DI PIASTRA, TEORIA DELLA LAMINAZIONE E STRATIFICAZIONI PARTICOLARI
I compositi sono materiali bifase, composti da fibra (componente che sopporta i carichi) e matrice (componenti che mantiene la forma e trasferisce i carichi dall’esterno sulle fibre). La fibra è caratterizzata da prestazione meccaniche elevatissime, per lo più dovute al fatto che durante la trafilatura (processo di produzione delle fibre) le impurità del materiale vengono portate in superficie e rimosse, evitando in maniera quasi totale la presenza di inclusioni dove si innescano i cedimenti a taglio. A fronte di prestazioni ottimali delle fibre, la matrice (generalmente fatta con resina epossidica) degrada in maniera significativa l’efficacia delle fibre. Inoltre, prendendo una lamina di materiale composito, la rigidezza in direzione perpendicolare alla direzione delle fibre è fornita solo dalla matrice.
I componenti in materiale composito sono formati tramite la sovrapposizione di più lamine, dove ogni lamina è considerata ortotropa in stato di sforzo piano. diversa. La teoria della laminazione consente di definire opportune tecniche di assemblaggio delle lamine per ricavare laminati con determinate proprietà a cui corrispondono determinati legami costitutivi.
Al fine di trovare il legame tra forze e momenti risultanti e spostamenti è necessari considerare che ogni lamina è caratterizzata da un diverso legame costitutivo (dovuto alla rotazione) del tensore di legame costitutivo nel sistema di riferimento del laminato e a un possibile utilizzo di materiali diversi. Dunque, prese ! lamine, noti gli ! tensori di legame ! negli ! differenti sistemi di riferimento ortotropi, si applica per ogni lamina un’opportuna rotazione ! , al fine di trovare gli ! tensori di legame ! nel sistema di riferimento del laminato. A questo punto, applicando le note formule di equivalenza tra azioni interne risultanti e sforzi si ricava:
!
e s s e n d o ! , ! , ! .
Pertanto si ha:
!
Se sono note le risultanti ! e ! , applicando il procedimento al contrario è possibile ricavare le deformazioni su ogni lamina e tramite il legame costitutivo gli sforzi (in assi laminato). A questo punto è necessario riportarsi in assi lamina su ogni lamina per poi valutare che gli sforzi ricavati siano inferiori ai limiti ammissibili per il materiale.
{ } ε = { } ε
0+ z k { }
A seconda delle diverse tecniche di laminazione si possono ricavare laminati con alcune proprietà. Di seguito sono riportate alcune stratificazioni particolari:
• Laminato simmetrico: le lamine superiori al piano medio sono ruotate dello stesso angolo di quelle inferiori al piano medio, pertanto si ha ! . Nel caso di laminati simmetrici, si verifica il disaccoppiamento tra le azioni nel piano e le azioni fuori dal piano.
• Laminato equilibrato: per ogni lamina sopra il piano medio ruotata di un certo angolo esiste una lamina sotto il piano medio ruotata di un angolo opposto, pertanto ! . In un laminato equilibrato, la matrice ! assume una forma simile a quella di un legame isotropo.
• Laminato bilanciato: le lamine superiori al piano medio sono ruotate di angoli o p p o s t i r i s p e t t o a q u e l l e i n f e r i o r i a l p i a n o m e d i o , p e r t a n t o
! e ! . Un laminato bilanciato, dunque,
disaccoppia momenti flettenti e torsioni.
Non è possibile sfruttare contemporaneamente tutti e tre i tipi di laminazione per avvicinarsi al comportamento dei materiali isotropi con lamine unidirezionali. Ciò è invece possible con l’uso dei tessuti, poiché sono caratterizzati da fibre orientate a ! e ! alla stessa quota ! .
[ ] B = 0
A
13= A
23= A
31=
32= 0 [ ] A
A
13= A
23= A
31= A
32= 0 C
13= C
23= C
31= C
32= 0
+ϑ −ϑ z
DOMANDA 74 - INSTABILITÀ
In ambito strutturale le instabilità possono portare a rotture catastrofiche.
Nel caso aeronautico due tipi di instabilità sono di interesse: le instabilità di elementi snelli e le instabilità dei pannelli. Per quanto riguarda le instabilità di elementi snelli si può fare inizialmente riferimento all’instabilità Euleriana: una trave soggetta ad un carico ! di compressione si instabilizza globalmente deformandosi in relazione alla condizione di vincolo, carico e lunghezza della struttura. In particolare, si identifica un carico critico ! che rappresenta la condizione di soglia tra stabilità (intesa come capacità di tornare alla configurazione iniziale una volta tolto il carico) e instabilità (che porta a cedimento per collasso strutturale). Il carico critico Euleriano si può calcolare risolvendo l’equazione della linea elastica:
!
Si ricava:
!
essendo ! . Applicando le condizioni al contorno (in questo caso appoggio e carrello) si ricava una soluzione non banale solo se ! , per cui:
!
In corrispondenza di un carico ! si hanno ! flessi della deformata geometrica. Tramite opportuni coefficienti ! è possibile legare l’espressione del carico critico (! ) fornita sopra ad ogni condizione di vincolo. È bene sottolineare che se la struttura ha uno sforzo di snervamento inferiore allo sforzo critico è necessario utilizzare una rigidezza locale relativa al campo plastico. Infine, se un elemento è parzialmente in campo elastico e parzialmente in campo plastico, è necessario applicare due valori di modulo elastico diversi per ogni parte.
Oltre alle instabilità globale possono verificarsi anche instabilità locali. In particolare, in aeronautica, esistono molti elementi snelli con forme particolari, non considerate nell’ambito dell’approssimazione a semiguscio.
Quando la struttura del velivolo è soggetta a carichi, essi si ridistribuiscono sui correnti (di forma particolare), pertanto i pannelli delle anime e delle flange possono instabilizzarsi localmente dando origine a onde bidirezionali.
Per stimare gli sforzi nelle flange e nell’anima dei correnti si utilizzano delle formulazioni semi-empiriche basate sulla geometria dei correnti e sulle condizioni di bordo per i singoli pannelli costituenti i correnti. Oltre alle instabilità locali tradotte in onde bi-direzionali, anche il fenomeno di crippling può essere dannoso per i correnti. Esso consiste in un eccessivo aggravio di carico in prossimità degli spigoli che possono cedere. Per valutare questo fenomeno non esistono formulazioni analitiche: si utilizzano il metodo di Needham o il metodo di Gerand. Il primo si basa su considerazioni di tipo geometrico, in particolare valutando il numero di lati liberi e il numero di angoli presenti su una sezione. Il secondo, invece, è un metodo più generale che si basa sulla forma, sul numero di flange e il numero di tagli necessari a riportare la sezione al caso base (sezione ad L o sezione a T). In particolare si valuta un coefficiente che corregge la valutazione del carico di crippling come la somma dei tagli necessari e delle flange. È possibile valutare il carico critico (come criticità maggiore tra instabilità e crippling) al variare del rapporto ! . In una prima fase la criticità è rappresentata dal crippling, mentre per elementi relativamente più lunghi è rappresentata dal carico euleriano. Nel mezzo è presente una fase transizionale.