R x = qAB R y = qCD

Nel caso in cui si vogliano ricavare le risultanti su un piano cartesiano, si sfruttano le proiezioni del pannello su tali assi:

!

Si nota che, nel caso il pannello sia chiuso, la risultante è nulla.

Per trovare il punto di applicazione della forza risultante è necessario sfruttare la definizione del momento del flusso di taglio in un pannello:

!

essendo ! l’area spazzata dal raggio vettore ! .

Pertanto nel caso generico presentato, posta la risultante ! ad una distanza

! incognita, essa vale:

!

R = qΔl

R

_x

= qAB R

_y

= qCD

M = qCOdl

0

∫

l

^{= 2qΩ}

⁰

Ω

₀

CO

R

_x

d

_x

R

_x

d

_x

= 2Ω

_{0 x}

q → d

_x

= 2Ω

_{0 x}

q

R

_x

= 2Ω

_{0 x}

AB

DOMANDA 31 - CALCOLO DI FLUSSI IN SEZIONI AD UNA CELLA: PROCEDIMENTO In generale, data una sezione composta da ! correnti, ! pannelli e ! celle (definite come numero di percorsi esprimibili), vale la legge:

!

Nel caso di sezioni ad una cella (! ) è possibile calcolare gli ! flussi di taglio incogniti utilizzando ! equazioni dei flussi sorgenti e un’equazione di equilibrio alla rotazione (non garantito dalle equazioni dei flussi sorgenti). Al fine di applicare tali equazioni è necessario numerare nodi e pannelli e definire baricentro e momenti d’inerzia:

!

!

essendo ! gli assi baricentrali e principali d’inerzia nel caso in cui il momento centrifugo sia nullo (in caso contrario è necessario ruotare gli assi di un angolo ! . A questo punto, definendo le aree ! spazzate dai flussi di taglio dei vari pannelli è possibile risolvere il sistema lineare:

!

La sua risoluzione fornisce i valori degli ! flussi dei pannelli.

È importante sottolineare che per il calcolo di tali flussi si utilizzano solo equazioni di equilibrio, pertanto la sezione è isostatica.

n m N

N = m − n +1

N = 1,m = n n

n −1

x

_CG

=

A

_i

y

_i

i=1

∑

n

A

_i

i=1

∑

n

^y

^CG

⁼

A

_i

x

_i

i=1

∑

n

A

_i

i=1

∑

n

J

_x

= A

_i

y

_i²

i=1

∑

n

^J

^y

^{= A}

ⁱ

^x

ⁱ² i=1

∑

n

^J

^{x y}

^{= A}

ⁱ

^x

ⁱⁱ

^y

ⁱ i=1

∑

n

x, y

α = arctan 2J

_{x y}

J

_y

− J

_x

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ Ω

_{0 j}

φ = − T

_y

J

_x

S

_x^'

− T

_x

J

_y

S

_y^'

n ( −1 ) ^eq.

T

_y

d

_x

− T

_x

d

_y

+ M

_z

= 2q

_j

Ω

_{0 j}

j=1

∑

n=m

^{1 eq.}

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

n = m

DOMANDA 32 - CALCOLO DI FLUSSI IN SEZIONI A PIÙ CELLE: PROCEDIMENTO In generale, data una sezione composta da ! correnti, ! pannelli e ! celle (definite come numero di percorsi esprimibili), vale la legge:

!

Nel caso di sezioni a più celle (! ), le ! equazioni di equilibrio imponibili (! equazioni dei flussi sorgenti e 1 equazione di equilibrio alla rotazione) non sono sufficienti alla determinazione delle ! incognite.

In particolare, è necessario imporre ! condizioni di congruenza. Tali condizioni si esprimono come uguaglianza delle torsioni delle varie celle.

Avendo inserito i diaframmi (elementi infinitamente rigidi nel loro piano), infatti, la sezione a semi-guscio non si può deformare nel piano e si può muovere solamente di moti rigidi (rotazioni rigide attorno all’asse ! e traslazioni rigide in ! e ! ).

Definendo in via preliminare le quantità geometriche (baricentro, momenti statici e momenti d’inerzia) è possibile risolvere il sistema:

!

È importante sottolineare che dovendo aggiungere delle equazioni di congruenza alle equazioni di equilibrio per la risoluzione della sezione, tale sezione è da considerarsi iper-statica.

n m N

N = m − n +1

N > 1,m > n n n −1

m = n + N −1 N −1

x y z

φ = − T

_y

J

_x

S

_x^'

− T

_x

J

_y

S

_y^'

(n-1 eq.) T

_y

d

_x

− T

x

d

_y

+ M

z

= 2q

_j

Ω

0 j

j=1

∑

m

^{(1 eq.)}

ϑ !

_k

= ! ϑ

_k+1

(N-1 eq.)

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎪⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪ ⎪

DOMANDA 33 - CALCOLO DI FLUSSI IN SEZIONE APERTA E CENTRO DI TAGLIO:

PROCEDIMENTO

In generale, data una sezione composta da ! correnti, ! pannelli e ! celle (definite come numero di percorsi esprimibili), vale la legge:

!

Nel caso di sezioni aperte ! , le incognite sono in numero inferiore alle equazioni di equilibrio (! equazioni dei flussi sorgenti e una equazione di equilibrio alla rotazione). Pertanto, dopo aver calcolato le quantità geometriche necessarie (posizione del baricentro, momenti statici dei correnti, momenti d’inerzia della sezione) basta applicare le equazioni di equilibrio alla traslazione (ossia le equazioni dei flussi sorgenti) per ricavare i valori dei flussi:

!

I flussi trovati devono rispettare l’equilibrio alla rotazione, dunque devono verificare l’equazione:

!

Ciò avviene solo se il momento torcente applicato è nullo e la risultante delle azioni di taglio passa per il centro di taglio. Nel caso delle sezioni a semi-guscio, il centro di taglio è definito come il punto per il quale la sezione non ruota. Se il taglio non passa per il centro di taglio, la rotazione della sezione è infinita, ossia essa non è in equilibrio, così che i flussi di taglio non sono equivalenti alle azioni interne. In questo senso, la sezione aperta è labile a torsione.

Per conoscere la posizione del centro di taglio di una sezione aperta, basta considerare come n-esima incognita il braccio della forza di taglio. Applicando l’equazione di equilibrio alla rotazione è possibile ricavare tale valore.

n m N

N = m − n +1 (N = 0, m = n −1)

n −1

φ = q

_out

− q

_in

= − T

_y

J

_x

S

_x^'

− T

_x

J

_y

S

_y^'

T

_y

d

_x

− T

_x

d

_y

+ M

_z

= 2q

_j

Ω

_{0 j}

j=1

∑

m

DOMANDA 34 - CENTINE E ORDINATE FUNZIONI E CALCOLO

Le centine e le ordinate, in generale i diaframmi, sono elementari strutturali perpendicolari all’asse della trave fondamentali per le strutture a semi-guscio.

Infatti, svolgono tre funzioni:

• Mantengono la forma della sezione, poiché essi sono infinitamente rigidi nel piano rispetto alla sezione a semi-guscio, pertanto essi impongono un vincolo di non deformazione nel piano (nelle sezioni a più celle tale vincolo è tradotto in una condizione di congruenza delle rotazioni);

• Introducono i carichi;

• Limitano l’instabilità a compressione dei correnti (che sono snelli) e a taglio dei pannelli.

Per quanto riguarda le ordinate, esse sono travature circolari di forza, poste con un certo intervallo tra le ordinate di fusoliera. Le centine, invece, sono diaframmi posti ad intervalli (con una particolare regolarità) nell’ala. Le centine possono essere divise in tre tipologie:

• Travatura reticolare;

• Pannello intero sagomato sulla forma del profilo e forato per alleggerimento e miglioramento del comportamento torsionale;

• Pannello intero fresato.

L’utilizzo di una tipologia dipende dall’utilizzo richiesto. Per determinare le azioni interne nelle centine è necessario determinare precedentemente i carichi.

I f l u s s i a g e n t i s u l l a c e n t i n a s o n o equilibranti ai carichi esterni e sono opposti ai flussi equivalenti calcolati sulla sezione a semi-guscio con le equazioni dei flussi sorgenti e l’equazione alla rotazione.

Nel caso la centina sia una travatura reticolare, i flussi equilibranti diventano azioni assiali distribuite che considerate assieme ai carichi esterni forniscono la condizione di carico per la struttura. Invece, nel caso di altre soluzioni strutturali, è necessario trasformare le centine in travi a sezione variabile (dove l’asse è rappresentato dalla linea media). In questo caso, i flussi perpendicolari alla linea media diventano dei carichi concentrati (il loro valore va moltiplicato per la lunghezza del lato perpendicolare alla linea media), mentre i flussi paralleli alla linea media diventano delle azioni assiali distribuite (di cui va eventualmente considerato il braccio rispetto alla linea media che causa un momento flettente distribuito). Se si considerano tali flussi e i carichi esterni è possibile ricavare l’andamento delle azioni interne nella trave che rappresenta la centina.

Nel caso delle ordinate, è necessario calcolare le azioni interne sulla struttura circolare reale, poiché esse non sono né una struttura reticolare, né approssimabili ad una trave singola posta sulla linea media.

DOMANDA 35 - FLESSIONE DIFFERENZIALE

La flessione differenziale è il meccanismo con cui le sezioni aperte riescono ad assorbire un momento torcente applicato. Esso si verifica solo per travi vincolate ad uno degli estremi, infatti il meccanismo di assorbimento si basa sul vincolo assiale, capace di impedire le traslazioni lungo l’asse della trave, trasformando così il momento torcente in un momento flettente. Questo meccanismo, come ci si aspetta, è molto debole rispetto alla risposta di sezioni chiuse al momento torcente.

Considerando una sezione a semi-guscio aperta, sulla quale è applicato un momento torcente, è possibile applicare l’equazione dei flussi sorgenti per legare i flussi di taglio all’azione assiale. Tramite l’equilibrio alla rotazione si ricava:

!

Riferendosi al corrente 1, è possibile ricavare l’azione assiale ! nella generica sezione ! :

!

In ! la trave presenta un estremo libero, dunque l’azione assiale è nulla.

Pertanto è possibile ricavare il valore ! come:

!

A questo punto l’azione assiale sul corrente 1 si può scrivere come:

!

Con analoghe considerazioni si possono trovare le altre azioni assiali. Dal loro valore si nota come su una generica sezione, le anime verticali si flettano in versi opposti. È importante sottolineare che se l’estremo della trave in ! non fosse stato vincolato in maniera da poter scaricare sul vincolo l’azione assiale, la conversione del momento torcente in azioni assiali sui correnti (e quindi in momento flettente) non sarebbe stata possibile.

q

₁

= q

₃

= M

ba , q

₂

= 0

N

₁

z = z

φ = − dN

dz → dN

₁

N₁( )z=0 N₁( )z=z

∫ ^{= −} ∫

^0z

_ab ^{M dz → N}

¹

^{( ) z = N}

¹

^{( ) 0 −} _ab ^{M z}

z = L

N

₁

( ) 0 N

₁

( ) 0 ^{= M}

ab L

N

₁

( ) z ^{= M}

ab ( L − z )

z = 0

DOMANDA 36 - TRAVE FINITAMENTE DIAFRAMMATA E ANDAMENTO DELLE AZIONI INTERNE

Una trave con sezione a semi-guscio contiene molti diaframmi che, come noto, sono elementi strutturali atti a mantenere la forma della sezione nel piano (impedendo deformazioni nel piano) e ad introdurre i carichi. Considerando un pannello che va da un diaframma all’altro, infatti, si giunge alla conclusione assurda che i flussi di taglio siano nulli lungo tutta la trave se ad ogni diaframma non viene introdotta una porzione di carico. Preso il generico pannello in figura, infatti, è facile comprendere come esso presenti flussi di taglio nulli, essendo il pannello privo di area. Se il taglio fosse nullo sull’estremo libero, lungo tutta la trave i flussi di taglio sarebbero nulli.

Ciò però non è vero, infatti i diaframmi introducono un salto finito di azione di taglio (sia dovuta a carichi concentrati che distribuiti). Il diagramma del taglio, dunque, sarà un diagramma a scalini (costante a tratti) che presenterà una discontinuità su ogni diaframma. Da qui nasce il concetto di trave finitamente diaframmata. Poiché i flussi di taglio subiscono una variazione discontinua, anche per la pendenza dell’azione assiale avviene lo stesso. Infatti, dall’equazione dei flussi sorgenti scritta nella prima forza, si ha che ! . Poiché l’azione assiale dipende dallo sforzo ! che a sua volta dipende dal momento flettente ! , anche quest’ultimo presenterà una variazione discontinua di pendenza, pertanto sarà lineare a tratti.

In una trave finitamente diaframmata, i pannelli si possono considerare appoggiati ai diagrammi, sui quali essi scaricano il carico distribuito.

Si sottolinea che l’effetto lontano del carico distribuito è ben rappresentato dai salti di azione di taglio introdotti dai diaframmi, mentre l’effetto vicino, rappresentato da un carico locale a flessione sui pannelli, non è investigabile con le ipotesi adottate. In ogni caso, lo schema a semi-guscio, composto da correnti, pannelli e diagrammi finitamente spaziati fornisce risultati più realistici del modello di De Saint Venant in ambito aeronautico.

−q = dN

dz σ

M

_f

DOMANDA 37 - TORSIONE: DEFINIZIONE E DIMOSTRAZIONE MEDIANTE PLVC Conoscendo l’andamento degli sforzi di taglio è possibile valutare la torsione

! relativa ad una sezione di una trave. Conoscere tale parametro risulta vitale, poiché tramite esso è possibile imporre delle condizioni di congruenza che consentono di chiudere il bilancio equazioni-incognite nel caso di sezioni a più celle. Inoltre, la torsione rappresenta un parametro importante anche dal punto di vista aerodinamico, visto che si inserisce nella definizione dell’angolo d’incidenza. L’espressione della torsione si ricava tramite l’applicazione del principio dei lavori virtuali complementari. Considerando un concio di trave ! , affinché la congruenza sia verificata, le rotazioni ! e

! relative alla faccia negativa ed alla faccia positiva del concio, devono essere concordi. Al fine di scrivere il PLVC si utilizza un sistema reale di spostamenti, in questo caso composto dalle rotazioni ! e ! e dalle deformazioni causate dai flussi di taglio (sarebbero presenti anche quelle causate dalle azioni assiali, ma non lavorano per il sistema di forze fittizie scelto). Il sistema fittizio di forze equilibrato, invece, è composto da momenti torcenti, pertanto gli sforzi saranno solamente flussi di taglio. Il lavoro virtuale complementare risulta:

!

essendo ! il lavoro virtuale di deformazione (con ! i flussi fittizi, tutti uguali al flusso circolare di sezione). Manipolando l’espressione del PLVC si ricava:

!

Nel caso in cui la sezione sia a più celle, la formula della torsione va leggermente modificata. Sfruttando il fatto che il sistema di forze fittizie che si utilizza nel PLVC non deve obbligatoriamente essere congruente, è possibile immaginare che il momento torcente fittizio sia applicato ad una sola cella (ad esempio alla cella k-esima). I flussi di taglio fittizi saranno dunque presenti solo nella cella k-esima, pertanto:

!

dove ! se ! , ! se ! ed è discorde e ! se ! . Pertanto, la torsione diventa:

!

ϑ !

dz ϑ

ϑ + dϑ

ϑ ϑ + dϑ

1⋅ ( ϑ + dϑ ) ^{−1⋅ ϑ = q'}

^j

^q

^j

Gt

_j

l

_j

dz

∑

j

q'

_j

q

_j

Gt

_j

l

_j

∑

j

∫ ^{dz q'}

^j

⁼ _2Ω ¹

dϑ

dz = ! ϑ = 1 2GΩ

q

_j

l

_j

t

_j

j=1

∑

m

q'

_j

= α

_kj

1 2Ω

k

α

kj

= 1 j ∈k α

kj

= −1 j ∈k α

kj

= 0 j ∉k

ϑ !

_k

= 1 2Ω

k

G

α

kj

q

_j

l

_j

t

_j

∑

j

DOMANDA 38 - DEFINIZIONE E PROCEDIMENTO DI CALCOLO DEL CENTRO DI TAGLIO IN SEZIONI CHIUSE

Nella teoria di De Saint Venant per le sezioni massicce, la torsione ! è funzione del punto e il centro di taglio è definito come il punto per il quale se si applica il taglio su di esso, il taglio stesso e il momento torcente sono disaccoppiati. Infatti, il lavoro prodotto dagli sforzi di taglio ! generati dal momento torcente e dalle deformazioni a taglio ! generate dal taglio è nullo.

Nello schema a semi-guscio, invece, il centro di taglio ha una definizione più semplice. Esso, infatti, è quel punto per il quale se si applica il taglio su di esso la torsione ! è nulla. Essa, infatti, non è una funzione del punto, ma è costante per una sezione. Si noti che nelle sezioni aperte la torsione ! tende all’infinito se il taglio non è applicato nel centro di taglio.

Per calcolare il centro di taglio di una sezione generica è possibile aggiungere un’equazione di congruenza del tipo ! considerando una delle coordinate del centro di taglio incognita. In sostanza, prese una sezione di ! correnti, ! pannelli ed ! celle, il numero dei flussi incogniti sarà: ! . Considerando una sola azione assiale ! (il suo valore non è importante, poiché si eliderà), è possibile considerare come ulteriore incognita la posizione ! del centro di taglio. A questo punto le incognite saranno ! e il sistema risolutivo conterà:

• ! equazioni dei flussi sorgenti;

• ! equazione alle rotazioni;

• ! equazioni di congruenza tra le sezioni;

• ! equazione di congruenza per esprimere il fatto che ! è applicato al centro di taglio, pertanto ! .

Risolto il sistema è possibile applicare lo stesso procedimento per ! , ricavando così ! .

ϑ ! γ τ

ϑ !

ϑ !

ϑ = 0 !

n m

N m = N + n −1

T

_y

x

_CT

m +1

n −1 1

N −1

1 T

_y

ϑ = 0 !

T

_x

y

_CT

DOMANDA 39 - RIGIDEZZA TORSIONALE DI UNA TRAVE A SEMI-GUSCIO

Al fine di determinare la rigidezza torsionale di una trave a semi-guscio è possibile scrivere l’energia di deformazione associata agli sforzi di taglio:

!

essendo ! e ! . L’energia di deformazione, pertanto, è:

!

Essa si può esprimere anche come:

!

Se sulla sezione agisce solo un momento torcente unitario è possibile ricavare un’espressione per la rigidezza torsionale:

!

Come esempio, è possibile calcolare la rigidezza torsionale di una sezione a semi-guscio rettangolare a quattro correnti. Applicando solo il momento torcente si ricavano il flusso circolante ! con l’equilibrio alla rotazione:

!

Applicando la formula suddetta con ! si ricava:

!

DOMANDA 41 - SIMMETRIE DELLE STRUTTURE: VINCOLI CORRISPONDENTI

In campo strutturale esistono simmetrie, sia geometriche che di carico. Le simmetrie si possono genericamente dividere come:

• Per traslazione (ad esempio la chiodatura di un pannello);

• Per riflessione (ad esempio l’immagine “specchio” di una struttura);

• Per rotazione.

Se una struttura è geometricamente simmetrica, il carico a cui essa è sottoposta può essere pensato come la somma di un sistema di carichi simmetrici e un sistema di carichi anti-simmetrici. Poiché si applica il principio di sovrapposizione degli effetti, è chiaro che quanto detto vale solo nel campo lineare. Se una struttura è caricata in maniera simmetrica, gli sforzi e le deformazioni che essa sviluppa sono simmetrici. Viceversa, se il sistema di carichi è anti-simmetrico, gli sforzi e le deformazioni saranno anti-simmetrici.

I n a m b i t o s t r u t t u r a l e è p o s s i b i l e sfruttare le simmetrie per semplificare il problema o, meglio, studiarne solo metà.

Al fine di studiare solo metà struttura è necessario porre un opportuno vincolo nel punto di taglio, in maniera da rendere congruente la soluzione. Ad esempio, nel caso di carico simmetrico in figura, è necessario aggiungere un pattino verticale che consente solo le traslazioni verticali: traslazioni orizzontali e rotazioni, infatti, sono in questo caso proibite, perché porterebbero alla rottura della struttura o alla formazione di una cuspide. Per studiare metà della stessa struttura se il carico è anti-simmetrico, invece, è necessario introdurre un carrello ad asse verticale, in maniera che le traslazioni verticali siano impedite. Si può notare che gli spostamenti

impediti nel caso simmetrico diventano consentiti nel caso anti-simmetrico e viceversa. Questa è una regola generale.

Nel caso tridimensionale si segue lo stesso principio, ma ovviamente i vincoli da inserire sono più complicati. Ad esempio, nel caso di carico simmetrico per la struttura in figura, lo spostamento ! e le rotazioni ! devono essere impedite, dunque per studiare solo metà della struttura è necessario inserire un pattino bidimensionale sul punto dove viene effettuato il taglio.

Nel caso di carico anti-simmetrico, dunque, vanno impediti gli spostamenti ! e la rotazione ! .

s

_x

ϑ

_z

,ϑ

_y

s

_z

, s

_y

ϑ

x

DOMANDA 42,43 - DEFINIZIONE E DIMOSTRAZIONE DELL’INGOBBAMENTO E APPLICAZIONI DELLA FORMULA A CASI SEMPLICI

Quando una sezione è sottoposta a tagli e momenti torcenti, le corrispondenti deformazioni possono provocare l’ingobbamento della stessa. Infatti, a differenza dei carichi flessionali e delle conseguenti deformazioni, i carichi di taglio e torsionali non mantengono sempre la planarità della sezione. Se la sezione si deforma fuori dal suo piano, i correnti (nell’ambito del modello a semi-guscio) risentono di spostamenti assiali relativi. Per valutare tali spostamenti è possibile utilizzare il principio dei lavori virtuali complementari, dove un sistema di flussi fittizi attorno ad un pannello lavora per un sistema di spostamenti reali imputabili ai flussi reali:

!

Pertanto, si ricava la formula dell’ingobbamento:

!

essendo ! l’area rispetto ad un polo arbitrario. Per il pannello j-esimo:

!

Si nota che la formula dell’ingobbamento fornisce solo una differenza di spostamento: infatti essa è affetta da traslazione rigida (l’ingobbamento è dunque definito a meno di una traslazione rigida). Inoltre, il polo 0, da cui si misura l’area ! , è arbitrario, dunque la formula dell’ingobbamento risente anche di una rotazione rigida (prendendo due differenti poli, la differenza è una rotazione rigida attorno all’asse che congiunge i due poli). In ogni caso, tramite la formula dell’ingobbamento, si verifica che una sezione soggetta a momento torcente e/o a taglio (non applicato nel centro di taglio) subisce deformazioni al di fuori del suo piano: ciò può rappresentare un problema di congruenza se la sezione deve essere vincolata ad una parete.

Prendendo due esempi semplici ma significativi, inoltre, si può verificare quanto detto sulla formula dell’ingobbamento: essa risente di traslazioni e rotazioni rigide.

Nel caso sia applicato un solo momento torcente, il flusso circolante vale:

!

La torsione, invece vale:

!

δ L

e

= 1⋅dz ⋅ s

₂

−1⋅dz ⋅ s

₁

+1⋅2Ω ⋅ ( ϑ + dϑ ) −1⋅2Ω ⋅ϑ δ L

d

= 1⋅ql

Gt dz

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

s

₂

− s

₁

= ql

Gt − 2Ω ! ϑ Ω

s

_{2 j}

− s

_{1 j}

= q

_j

l

_j

Gt

_j

− 2Ω

_{0 j}

ϑ !

Ω

0

q

^*

= q = M

_z

2a

²

ϑ = ! 1

2GΩ α

j

q

_j

l

_j

t

_j

j=1

∑

4

⁼ _2Ga ¹

²

_2a ^M

^z2

^4a _t ⁼ _Gta ^M

^z3

A questo punto, applicando la formula dell’ingobbamento per ogni corrente risulta:

! !!!

Nel caso particolare di sezione quadrata caricata con momento torcente, l’ingobbamento non è presente. Se invece si considera una sezione rettangolare, si ha:

! !

Dunque, applicando la formula dell’ingobbamento si ricava:

! !!!

In questo caso la sezione si ingobba, ma la formula dell’ingobbamento fornisce solamente gli spostamenti relativi tra i correnti.

Nel caso in cui alla medesima sezione si applichi un taglio in direzione ! nel centro di taglio, si ha:

!

Poiché il taglio è applicato nel centro di taglio la torsione è nulla (per la definizione di centro di taglio nel modello di sezione a semi-guscio), pertanto la formula dell’ingobbamento si riduce a:

!

Nel caso in esame:

!

La sezione subisce una deformazione flessionale, pertanto non presenta ingobbamento, poiché rimane planare. Ciò è dovuto al fatto che il carico di taglio è applicato nel centro di taglio.

s

₂

− s

₁

= M

_z

2a

²

a Gt − 2 a

²

4 M

_z

a

³

Gt = 0 s

₂

− s

₃

= 0

s

₄

− s

₃

= 0 s

₁

− s

₄

= 0

q

^*

= q = M

_z

4a

²

ϑ = ! 3

8 M

_z

Gta

³

s

₂

− s

₁

= ql

Gt − 2Ω

₀

ϑ = ! M

_z

4a

²

2a Gt − 2 a

²

2 3 8

M

_z

Gta

³

= M

_z

8Gta = Δs s

₃

− s

₂

= −Δs

s

₄

− s

₃

= Δs s

₁

− s

₄

= −Δs

y

q

₂

= − T

_y

2a ;q

₄

= T

_y

2a

s

_{2 j}

− s

_{1 j}

= q

_j

l

_j

Gt

_j

s

₂

− s

1

= 0 s

3

− s

2

= − T

_y

2Gt = −Δs

T

s

₄

− s

₃

= 0 s

₁

− s

₄

= Δs

_T

DOMANDA 44,45 - SOLUZIONE CORRETTIVA: SOLUZIONI FONDAMENTALI E CORRETTIVE, AUTOEQUILIBRIO

La soluzione correttiva è una soluzione auto-equilibrata che garantisce la congruenza nelle zone di “estremità”, ossia nelle zone dove non valgono le ipotesi del modello di De Saint Venant. La soluzione fondamentale calcolata a partire dalle azioni interne (calcolate tramite equilibro con i carichi esterni) infatti, garantisce sempre l’equilibrio, ma non garantisce la congruenza dove si hanno discontinuità (vincoli, carichi concentrati, variazioni di sezione, correnti liberi, ecc.). A una distanza maggiore della dimensione caratteristica della sezione, la soluzione fondamentale torna ad essere corretta (ossia garantisce equilibrio e congruenza). Come detto, per ripristinare la congruenza dove gli effetti locali sono elevati, si inserisce la soluzione correttiva, per cui la soluzione totale sarà la somma di quest’ultima e della soluzione fondamentale. Applicando la sovrapposizione degli effetti:

!

Poiché l’equilibrio è già garantito dalla soluzione fondamentale, la soluzione correttiva deve essere auto-equilibrata, inoltre deve essere congruente lungo l’asse (dove anche la soluzione fondamentale è congruente) e assieme alla soluzione fondamentale deve garantire la congruenza agli estremi. È importante notare che aggiungendo la soluzione correttiva si aggiungono ! azioni assiali incognite e ! flussi incogniti.

L’auto-equilibrio della soluzione correttiva si può imporre formalmente come:

!

Esprimere l’auto-equilibrio equivale ridurre le azioni assiali correttive incognite a ! . Infatti, definendo il vettore ! che contiene le incognite indipendenti, la condizione di auto-equilibrio si può scrivere come:

!

dove la matrice ! esprime l’auto-equilibrio.

Affinché i flussi correttivi rappresentino la stessa soluzione delle azioni assiali correttive è necessario utilizzare la prima forma dell’equazione dei

Affinché i flussi correttivi rappresentino la stessa soluzione delle azioni assiali correttive è necessario utilizzare la prima forma dell’equazione dei

Nel documento DOMANDA 1 - EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO LAGRANGIANE E EULERIANE (pagine 25-50)