DOMANDA 1 - EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO LAGRANGIANE E EULERIANE

DOMANDA 1 - EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO LAGRANGIANE E EULERIANE L’equilibrio di un solido può essere analizzato attraverso due punti di vista fondamentali: l’approccio Lagrangiano (detto anche materiale) o l’approccio Euleriano (detto anche spaziale). Il primo considera come configurazione di riferimento quella iniziale indeformata, mentre il secondo considera come configurazione di riferimento quella deformata. La differenza tra i due approcci può diventare molto consistente se gli spostamenti non sono infinitesimi. A seconda che venga intrapreso un approccio o l’altro, le equazioni indefinite di equilibrio sono diverse. In particolare, si ha:

-

Approccio Lagrangiano: ! ;

-

Approccio Euleriano: ! .

Per ricavare entrambe le formulazione si utilizza l’equazione di conservazione della quantità di moto:

!

Inoltre è necessario sfruttare la relazione di Cauchy e la formula di Nanson. La prima rappresenta lo sforzo agente in un punto su un piano di normale ! e si esprime notoriamente come:

!

La formula di Nanson, invece, si ricava sfruttando il legame tra lo stesso volume infinitesimo considerato in configurazione indeformata e deformata:

!

dove si è sfruttata la definizione di gradiente di deformazione ! .

Applicando la relazione di Cauchy all’equazione della quantità di moto e manipolando il primo termine si ottiene l’equazione indefinita di equilibrio Euleriana:

!

avendo considerato l’arbitrarietà dei volumi e la relazione di conservazione della massa ! . Si nota come il tensore di Cauchy ! faccia riferimento alla configurazione deformata. Per ottenere l’equazione di Equilibrio Lagrangiana si applica la formula di Nanson:

!

Si nota come nell’approccio Lagrangiano compaia la densità relativa alla configurazione indeformata e il tensore nominale degli sforzi ! , che fa riferimento a tale configurazione.

ρ

₀

D

Dt v = ρ

₀

b + ∇ ⋅ Σ ( )

_n

ρ D

Dt v = ρb + ∇⋅σ

D

Dt ρvdv

∫

v

⁼ ∫

^v

^{ρbdv + t} ∫

^{a n}

^da

n

t

n

= σ

^T

n

dV = dX

^T

NdA dv = dx

^T

nda

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪ → dv = JdV → dx

^T

nda = Jdx

^T

F

^−T

NdA → nda = J F

^−T

NdA F = ∂ x

∂X

D

Dt ρvJ dV

∫

V

⁼ ∫

V

^ρ

⁰

_Dt ^{D ( ) v dV =} ∫

v

^{ρ Dv} _Dt ^{dv =} _∫

_v

( ^{ρb + ∇⋅σ} ) ^{dv → ρ Dv} _Dt ^{= ρb + ∇⋅σ}

ρJ = ρ

₀

σ

ρ Dv Dt J dV

∫

V

⁼ ∫

V

^{ρbJ dV +} ∫

A

^{σ JF}

^−T

^{N dA =} ∫

V

_⎡⎣ ρbJdV + ∇⋅ JF (

⁻¹

σ ) _⎤⎦dV ^{→ ρ}

⁰

^Dv _Dt ^{= ρ}

⁰

^{b + ∇ ⋅ Σ}

ⁿ

Σ

_n

DOMANDA 2 - EQUAZIONI DI BILANCIO LAGRANGIANE ED EULERIANE

Le equazioni di bilancio sono l’equazione di conservazione della massa, l’equazione di conservazione della quantità di moto e l’equazione di conservazione dell’energia. Esse possono essere fornite in due formulazioni differenti, a seconda che si adotti un approccio Lagrangiano o un approccio Euleriano. Il primo (detto anche approccio materiale) fa riferimento alla configurazione indeformata, mentre il secondo (detto anche approccio spaziale) fa riferimento alla configurazione deformata.

Per quanto riguarda la conservazione della massa, per i due approcci si può scrivere:

-

Approccio Lagrangiano: ! ;

-

Approccio Euleriano: ! .

Per quanto riguarda la conservazione della quantità di moto, applicando la relazione di Cauchy ! e la formula di Nanson ! , si ricava:

-

Approccio Lagrangiano:

!

-

Approccio Euleriano:

!

dove ! è il tensore nominale degli sforzi.

Per quanto riguarda la conservazione dell’energia, essa si esprime premoltiplicando le equazioni di conservazione della quantità di moto (che sono le equazioni indefinite di equilibrio nel caso statico) per la velocità:

-

Approccio Lagrangiano:

!

!

-

Approccio Euleriano:

!

dove !

Si nota dunque che il tensore gradiente di deformazione e il tensore nominale degli sforzi sono accoppiati, così come accade per il tensore di Cauchy e il tensore ! . Quest’ultimo tensore non è il tensore di piccole deformazione, poiché è derivato da un approccio Euleriano, tuttavia quando si è in presenza di spostamenti infinitesimi, i tensori ! ed ! si considerano accoppiati pur derivando da approcci diversi. Dall’approccio Lagrangiano si può ricavare anche l’accoppiamento tra il tensore di Green-Lagrange e il secondo tensore di Piola- Kirchoff, infatti:

!

D Dt ρ

∫

v

^{dv = 0 →} ∫

v

^{ρ dv = cost =} ∫

V

^{ρJ dV =} ∫

V

^ρ

⁰

^{dV → ρJ = ρ}

⁰

∂ρ

∂t dv

∫

v

⁺ ∫

^a

^ρv

^T

^{n da = 0 → ∂ρ} _∂t ^{+ ∇ ⋅ ( ) ρv = 0}

t

_n

= σ

^T

n nda = J F

^−T

NdA

D

Dt ρvdv

∫

v

^{= ρ}

⁰

∫

^V

^Dv _Dt ^{dV =} ∫

^V

^ρ

⁰

^{b dV +} ∫

^A

^σ

^T

^{J F}

^−T

^{N dA → ρ}

⁰

^Dv _Dt ^{= ρ}

⁰

^{b + ∇ ⋅ Σ}

ⁿ

D

Dt ρvdv

∫

v

⁼ ∫

v

^ρ _Dt ^{D vdv =} _∫

_v

( ^{ρb + ∇⋅σ} ) ^{dv → ρ Dv} _Dt ^{= ρb + ∇⋅σ}

Σ

_n

= J F

⁻¹

σ

v

^T

ρ

0

a dV

∫

V

⁼ ⎡⎣ ^v

^T

^ρ

⁰

^{b + v}

^T

^{∇ ⋅ Σ}

ⁿ

⎤⎦dV = v

^T

ρ

0

b dV

∫

V

^{+ ∇ ⋅ v} ∫

V

(

^T

^Σ

^nT

) ^{dV − ∇v : Σ} ∫

V ⁿ

^dV

∫

V

v^Tρ₀a dV

∫

V ^{= v}

∫

^{V Tρ0b dV+ v}

∫

^{A TTndA− Tr}

∫

^{V ⎛}_⎝⎜Dt^D

^{( )}

^{∇u ⋅ Σn⎞}_⎠⎟^{dV= v}

∫

^{V Tρ0b dV+ v}

∫

^{A TTndA}− Tr !F ⋅ Σ

∫

V

(

_n

)

^dV

v

^T

ρ D Dt vdv

∫

v

^{= v} ∫

^{v T}

^{ρbdv + v} ∫

^{v T}

^{∇ ⋅σ dv = v} ∫

^{v T}

^{ρbdv + v} ∫

^{a T}

^t

ⁿ

^{da − ∇v :σ dv} ∫

^v

∇v :σ = 1 2

D

Dt ( u

_j/i

+ u

_{i/ j}

) ^σ

^ij

u

_j/i

+ u

_{i/ j}

σ ε

Tr ! ( F ⋅ Σ

_n

) = Tr !F ⋅ Σ (

^T_I

) = Tr !F ⋅ F ( (

⁻¹

Σ

_I

)

^T

^F

^T

) ^{= Tr !F (}

^T

^FΣ

^II

^{) = Tr !EΣ ( )}

^II

DOMANDE 3,4 - DEFINIZIONE DEL TENSORE DEGLI SFORZI DI CAUCHY E TETRAEDO DI CAUCHY

Preso un solido omogeneo, continuo e uniforme, su cui agiscono forze di volume, si possono distinguere una superficie vincolata (su cui sono noti gli spostamenti e incognite le azioni vincolari) e una superficie libera (su cui sono noti gli sforzi, ma incogniti gli spostamenti). Considerando la struttura deformata e sezionandola idealmente in due parti, sulla superficie sezionata agisce uno sforzo tangenziale che dipende dal piano che si è idealmente utilizzato per tagliare il solido (cambiando il piano il vettore cambia sia in modulo che in direzione che in verso, pertanto non è una rotazione). Pertanto, per descrivere compiutamente lo stato di sforzo è necessario utilizzare sei valori indipendenti associati a un tensore di sforzo

! . Tale tensore si ricava considerando lo sforzo agente in un punto utilizzando tre piani di taglio diversi, ad esempio i piani ! . In questo particolare modo è possibile costruire il tensore di sforzo di Cauchy, che è un tensore doppio simmetrico.

Noto il tensore di Cauchy, lo sforzo in un punto su un piano generico di normale

! è ricavabile utilizzando la relazione di Cauchy:

!

Essa si ricava considerando il tetraedro di Cauchy (una porzione infinitesima di solido) e scrivendone l’equilibrio (tralasciando le eventuali forze di volume che sono infinitesimi di ordine superiore):

! !

σ

xy, yz, zx

n

t

_n

= σ

^T

n

t

_n

ΔS − t

1

ΔS

₁

− t

2

ΔS

₂

− t

3

ΔS

₃

= t

n

− t

1

n

₁

− t

2

n

₂

− t

3

n

₃

t

_n

= t {

1

t

₂

t

₃

} ^{n n}

¹²

n

₃

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪

⎪

⎫

⎬ ⎪⎪

⎭ ⎪

⎪

= σ

^T

n

DOMANDA 5,7 - DEFORMAZIONE: PUNTI DI VISTA LAGRANGIANO ED EULERIANO, TENSORE GRADIENTE DI DEFORMAZIONE, TENSORE DI GREEN-LAGRANGE E TENSORE DI

CAUCHY-GREEN E DIPENDENZA DALLE ROTAZIONI

La deformazione di un solido continuo e omogeneo può essere valutata con due approcci diversi: approccio Lagrangiano ed approccio Euleriano. Il primo considera come configurazione di riferimento quella indeformata, pertanto tutte le variabili dipendono dal vettore posizione prima della deformazione ! ; mentre il secondo considera come configurazione di riferimento quella deformata, pertanto tutte le variabili dipendono dal vettore posizione dopo la deformazione

! . La differenza tra i due vettori è rappresentata dal vettore spostamento, che tiene conto degli spostamenti e delle rotazioni rigide e delle deformazioni. La differenza tra approccio Lagrangiano ed Euleriano è notevole se gli spostamenti non sono infinitesimi, viceversa è possibile confondere i due approcci nel caso di spostamenti infinitesimi. Il legame tra punto di vista Lagrangiano (detto anche materiale) e punto di vista Euleriano (detto anche spaziale) è fornito dal tensore gradiente di deformazione. Infatti, presa una qualsiasi trasformazione

! , si può scrivere: ! , essendo ! il

tensore gradiente di deformazione. Esso non è un tensore simmetrico e si può scrivere come ! . Il tensore gradiente di deformazione risente delle traslazioni e delle rotazioni rigide. Tuttavia, sfruttandolo è possibile introdurre un nuovo tensore di deformazione (detto tensore di Green-Lagrange) che non risente di spostamenti rigidi ed è legato al quadrato della variazione percentuale dello spostamento infinitesimo valutato a deformazione avvenuta rispetto a quello valutato in coordinate Lagrangiane. I due spostamenti descritti si esprimono come:

!

Pertanto il tensore di Green-Lagrange diventa:

!

È sufficiente applicare una traslazione rigida qualunque (o una rotazione rigida qualunque) come ! per verificare che il tensore di Green- Lagrange non ne risente e presenta valore nullo. Il tensore gradiente di deformazione, invece, non è nullo e nel caso particolare presentato vale il tensore identità.

Per completezza si definisce anche il tensore di Cauchy-Green, che è definito come ! . Come il tensore gradiente di deformazione, esso risente di traslazioni rigide e rotazioni rigide. Per di più non è nemmeno possibile se lo spostamento rigido è una traslazione o una rotazione, poiché in entrambi i casi esso risulta uguale al tensore identità. Infatti, applicando una qualunque

r o t a z i o n e d e l t i p o ! , i l t e n s o r e d i C a u c h y - G r e e n r i s u l t a :

! .

X

x

x = χ X ( ) ^{d x = χ X + d X} ( ) ^{− χ X} ( ) ^{= ∂} _∂X ^{x d X = F d X F}

F = ∂ u

∂X + I

dS = d X

^T

d X ds = dx

^T

d x = d X

^T

F

^T

F d X

E = 1 2

ds

²

− dS

²

dS

²

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 1

2 ( F

^T

F − I )

x = X, y = Y + a,z = Z

C = F

^T

F

x = Z y = Y z = −X

⎧

⎨ ⎪

⎩⎪

C =

0 0 1 0 1 0

−1 0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

T

0 0 1 0 1 0

−1 0 0

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥

= I

DOMANDA 6 - FORMULA DI NANSON

Prendendo una porzione di solido in configurazione indeformata e la stessa in configurazione deformata, la formula di Nanson fornisce un legame tra le sezioni dei due volumi come segue:

!

Essa si ricava scrivendo i due volumi infinitesimi come:

!

essendo rispettivamente ! ed ! le normali alle superfici ! e ! . Il legame tra i due volumi infinitesimi è fornito dallo Jacobiano, che è il determinante del tensore gradiente di deformazione:

!

Sostituendo si ricava:

!

Dividendo per lo spostamento si perviene alla già citata formula di Nanson.

Essa, dunque, fornisce un legame importante tra la normale in configurazione deformata e la normale in configurazione indeformata. Tramite tale legame è possibile definire il tensore nominale degli sforzi, che è un tensore non simmetrico che rappresenta lo stato di sforzo in configurazione indeformata:

!

Esso è energeticamente coniugato al tensore gradiente di deformazione. Dalla sua definizione si possono ricavare anche il primo tensore di Piola-Kirchoff (! ) e il secondo tensore di Piola-Kirchoff (! ) che è energeticamente coniugato al tensore di Green-Lagrange.

n da = J F

^−T

N dA

dV = d X

^T

NdA dv = dx

^T

nda

⎧ ⎨

⎪

⎩⎪

N n dA da

dv

dV = J = det F ( )

d x

^T

nda = Jdx

^T

F

^−T

NdA

d p = t

_n

da = σ

^T

nda = σ

^T

J F

^−T

NdA = J F (

⁻¹

σ )

^T

^{NdA → Σ}

ⁿ

^{= J F}

⁻¹

^σ

Σ

_I

= Σ

^T_n

Σ

_II

= F

⁻¹

Σ

_I

= J F

⁻¹

σ F

^−T

DOMANDA 8,9 - TENSORI DI SFORZO E DEFORMAZIONE CONIUGATI

La descrizione dello stato di sforzo e deformazione di un solido continuo e omogeneo si può ottenere con due approcci diversi: l’approccio Lagrangiano (o materiale) e l’approccio Euleriano (o spaziale). A seconda che si adotti l’uno o l’altro approccio è possibile definire alcuni tensori di deformazione e alcuni tensori di sforzo. Tali tensori vanno coniugati, ossia va trovata la corrispondenza tra essi in maniera da poter scrivere correttamente l’energia di deformazione. Al fine di comprendere quale tensore di deformazione è coniugato ad un particolare tensore di sforzo si scrive l’equazione di conservazione dell’energia e si valutano i termini forzanti. I tensori di deformazione presi in considerazione sono: il tensore gradiente di deformazione ! e il

tensore di Green-Lagrange ! (dall’approccio Lagrangiano) e il

tensore velocità di deformazione ! (dall’approccio Euleriano). Per quanto riguarda i tensori di sforzo, si prende in considerazione il tensore di Cauchy che deriva dall’approccio Euleriano. Applicando la formula di Nanson è possibile ricavare anche i tensori per l’approccio Lagrangiano, ossia il tensore nominale degli sforzi ! e il secondo tensore di Piola-Kirchoff

! .

L’equazione di conservazione dell’energia si scrive come:

!

I termini da considerare per ricavare gli accoppiamenti energetici sono:

!

Notando che:

! (gradiente rispetto a ! )

! (gradiente rispetto a ! )

Si ricava il rapporto di coniugazione energetica tra il tensore gradiente di deformazione e il tensore nominale degli sforzi e tra il tensore velocità di deformazione e tensore di Cauchy. Si nota, infatti, che tali tensori si moltiplicano per generare una potenza di deformazione. Applicando alcune proprietà dell’algebra lineare, tra cui: ! , ! ,

! si ricava:

!

per cui il tensore di Green-Lagrange è energeticamente coniugato al secondo tensore di Piola-Kirchoff.

F = ∂ x

∂X E = 1

2 ( F

^T

F − I )

D

Dt ( u

_j/i

+ u

_{i/ j}

)

Σ

_n

= J F

⁻¹

σ Σ

_II

= F

⁻¹

Σ

_n^T

= J F

⁻¹

σ F

^−T

v

^T

ρadv

∫

v

^{= v} ∫

^{V T}

^ρ

⁰

^{a dV = v} ∫

v ^T

( ^{ρb + ∇⋅σ} ) ^{dv = v} ∫

V ^T

( ^ρ

⁰

^{b + ∇ ⋅ Σ}

ⁿ

) ^dV

v

^T

∇ ⋅σ dv

∫

v

^{= v} ∫

a ^T

^t

ⁿ

^{da − ∇v :σ dv} ∫

v da considerare

! " # # $ v

^T

∇ ⋅ Σ

_n

dV

∫

V

^{= v} ∫

^{A T}

^T

ⁿ

^{dA − ∇v : Σ} ∫

^{V n}

^dV

da considerare

! " # # ## $

∇v :σ dv

∫

v

⁼ ∫

^v

_Dt ^{D ( ) ∇u :σ dv =} ∫

v

¹ _{2 Dt} ^D ( ^u

^j/i

^{+ u}

^{i/ j}

) ^σ

^ij

^{dv x}

∇v : Σ

_n

dV

∫

V

⁼ ∫

^V

_Dt ^{D ( ) ∇U : Σ}

ⁿ

^{dV =} ∫

^V

^{!F :Σ}

ⁿ

^{dV X}

A : B = Tr A⋅ B ( ) ^{Tr A} ( ) ^{⋅ B = Tr B⋅ A} ( )

Tr A ( ) ^{= Tr A} ( )

^T

!F :Σ

_n

= Tr !FΣ ( )

_n

^{= Tr !FΣ} (

ⁿ

^F

^−T

^F

^T

) ^{= Tr !F F} ( (

⁻¹

^Σ

^nT

)

^T

^F

^T

) ^{= Tr !F (}

^T

^{F Σ}

^II

^{) = Tr !EΣ ( )}

^II

DOMANDA 10,11 - TENSORE DI DEFORMAZIONE PER SPOSTAMENTI INFINITESIMI E SUA RAPPRESENTAZIONE VOLUMETRICA E DEVIATORICA

In caso di spostamenti infinitesimi è possibile dare una scrittura linearizzata al tensore di Green-Lagrange. Infatti si ricava:

!

Con scrittura indiciale, linearizzando:

!

Si nota che il tensore di Green-Lagrange per spostamenti infinitesimi è scritto in configurazione indefromata: la vera definizione di spostamento infinitesimo, infatti, richiede che l’equilibrio sia verificato in configurazione indeformata, per la quale gli spostamenti sono nulli.

Tuttavia, nel caso di spostamenti infinitesimi, è possibile approssimare tale tensore come il tensore di velocità di deformazione che è scritto rispetto alla configurazione deformata:

!

Attraverso questa approssimazione è possibile calcolare l’energia di deformazione utilizzando il tensore di Cauchy e il tensore di piccole deformazioni.

Il tensore di Cauchy-Green per spostamenti infinitesimi è simmetrico che si può rappresentare suddividendo le deformazioni come:

-

Volumetriche: la deformazione cambia il volume e non la forma;

-

Deviatoriche: la deformazione cambia la forma del corpo mantenendo costante il volume.

La deformazione volumetrica si esprime come un terzo della variazione percentuale di volume:

!

essendo ! , avendo trascurato gli

infinitesimi di ordine superiore.

La deformazione deviatorica si ricava come differenza:

!

Questa suddivisione risulta molto utile nel caso di materiali isotropi che snervano per cause deviatoriche.

E = 1 2

∂U

∂X + I

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

T

∂U

∂X + I

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ − I

⎡

⎣ ⎢

⎢

⎤

⎦ ⎥

⎥ = 1 2

∂U

∂X

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

T

∂U

∂X + ∂ U

∂X

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

T

+ ∂ U

∂X

⎡

⎣ ⎢

⎢

⎤

⎦ ⎥

⎥

E

_ij

= 1 2

∂U

_m

∂X

_j

∂U

_m

∂X

_i

+ ∂ U

_i

∂X

_j

+ ∂U

_j

∂X

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ! 1 2

∂U

_i

∂X

_j

+ ∂U

_j

∂X

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = ε

ij

ε

_ij

= 1 2

∂U

_i

∂X

_j

+ ∂U

_j

∂X

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ! 1 2

∂U

_i

∂x

_j

+ ∂U

_j

∂x

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ϑ = 1 3

dv − dV dV = 1

3 dv dV −1

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = 1 3 Tr ( ) ε dv

dV = dxdydz

dXdYdZ = 1+ ( ε

_xx

) ( ^{1+ ε}

^yy

) ( ^{1+ ε}

^zz

) ^{! 1+ Tr ε} ( )

e = ε −ϑ I

DOMANDA 12 - PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI ED EQUAZIONI DI EQUILIBRIO Il principio dei lavori virtuali afferma che la condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di una struttura è che tutti i possibili lavori virtuali siano minori o uguali a zero, essendo un lavoro virtuale il lavoro compiuto dal sistema delle forze reali per un sistema di spostamenti virtuali.

Così espresso, il principio dei lavori virtuali esprime una condizione di equilibrio, pertanto ha valenza generale. Affinché un sistema di spostamenti sia virtuale esso deve essere arbitrario (l’equilibrio deve verificarsi indipendentemente dalla scelta del sistema virtuale), infinitesimo (la configurazione non deve essere alterata) e conforme ai vincoli, ossia congruente. Conviene sottolineare che il lavoro virtuale non è equivalente all’energia di deformazione, essendo lo spostamento virtuale non correlato alla storia pregressa degli spostamenti. Per fornire un’espressione matematica del principio dei lavori virtuali è necessario ricorrere alle equazioni indefinite di equilibrio. Esse si ricavano dall’equazione di conservazione della quantità di moto e possono essere espresse in forma Lagrangiana o Euleriana. Quest’ultima si può scrivere come:

!

Pre-moltiplicando per uno spostamento virtuale ! (per congruenza nullo sul contorno vincolato ! ), ossia facendo lavorare l’equazione di equilibrio, si ricava:

!

Essendo sulla superficie libera per la relazione di Cauchy ! ed eliminando l’integrale su ! dove lo spostamento virtuale è nullo si ricava:

!

avendo sfruttato la simmetria del tensore di Cauchy per scrivere

! . Esprimendo tutte le incognite in termini di spostamenti e deformazioni ed assegnando i carichi esterni, è possibile ricavare un’ulteriore equazione di equilibrio. Risulta chiaro che per avere un’espressione operativa utile del principio dei lavori virtuali è necessario ricorrere a modelli strutturali che riducano il numero delle incognite.

σ

_ij/i

+ B

_j

= 0

δu

j

S

_u

δu

j

σ

ij/i

+ δu

j

B

_j

= 0 → δ u

j

σ

ij

N

_i

dA

S_u

∫ ⁺ ∫

S_σ

^{δ u}

^j

^σ

^ij

^N

ⁱ

^{dA −} ∫

v

^{δ u}

^j/i

^σ

^ij

^{dV +} ∫

v

^{δ u}

^j

^B

^j

^{dV = 0}

σ

_ij

N

_i

= T

_j

S

_u

δ u

j

T

_j

dS

_σ

S_σ

∫ ⁺ ∫

v

^{δ u}

^j

^B

^j

^{dV =} ∫

V

^δε

^ij

^σ

^ij

^dV

1

2 δu

j/i

σ

ij

+ 1

2 δu

i/ j

σ

ji

= δε

ij

σ

ij

DOMANDA 13 - PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI E DEI LAVORI VIRTUALI COMPLEMENTARI

Il principio dei lavori virtuali e il principio dei lavori virtuali complementari esprimono rispettivamente una condizione di equilibrio e una condizione di congruenza. Entrambi sfruttano il concetto di sistemi virtuali: il primo in termini di spostamenti virtuali, mentre il secondo in termini di forze virtuali. Un sistema di spostamenti virtuali è un sistema di spostamenti arbitrario (l’equilibrio non deve dipendere dalla scelta del sistema), infinitesimo (gli spostamenti presi in considerazione non devono alterare la configurazione) e congruente (i vincoli esterni devono essere rispettati). Un sistema di forze virtuali, in analogia, deve essere arbitrario (la condizione di congruenza deve essere verificata indipendentemente dalla scelta del sistema), infinitesimo (le forze non devono danneggiare la struttura) e equilibrato.

Definiti il lavoro virtuale e il lavoro virtuale complementare rispettivamente come il lavoro compiuto dal sistema delle forze reali per un sistema di spostamenti virtuali e il lavoro compiuto dal campo di spostamenti reali per un sistema di forze virtuali, i due principi si esprimono come:

-

PLV: La condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di una struttura è che tutti i possibili lavori virtuali siano minori o uguali a zero;

-

PLVC: La condizione necessaria e sufficiente per la congruenza di un corpo è che tutti i lavori virtuali complementari siano nulli.

La definizione dei due principi è alquanto simile, ma differisce in termini di validità. Infatti, il principio dei lavori virtuali ha validità generale (la configurazione di equilibrio reale viene “testata” per ogni possibile sistema di spostamenti virtuali: se il lavoro prodotto è nullo o negativo l’equilibrio è verificato); mentre il principio dei lavori virtuali complementari vale solo per spostamenti reali infinitesimi. In sostanza, si considera l’approssimazione di “struttura ferma”, poiché dovendo considerare tutta la storia di spostamenti reali, è possibile che una forza virtuale compia lavoro non nullo anche se la configurazione instantanea è congruente.

Conviene sottolineare che il lavoro virtuale e il lavoro virtuale complementare non rappresentano l’energia di deformazione e l’energia di deformazione complementare.

L’espressione matematica del principio dei lavori virtuali si ricava dalle equazioni indefinite di equilibrio, considerando nulli gli spostamenti virtuali sul contorno vincolato e assegnati i carichi esterni:

!

L’espressione per il principio dei lavori virtuali complementari è analoga, ma le incognite sono espresse in termini di forze.

Si è detto che i due principi esprimono rispettivamente una condizione di equilibrio e una condizione di congruenza. Essi, dunque, rappresentano due strumenti molto potenti e l’utilizzo di uno o dell’altro dipende dal metodo di risoluzione adottato. Solitamente, il metodo degli spostamenti (per il quale tutte le variabili vengono espresse in funzione di spostamenti e deformazioni) viene implementato per programmi automatici, dove si utilizza il principio dei lavori virtuali, pertanto è necessario valutare la congruenza e successivamente l’equilibrio. Il metodo delle forze, invece, è più semplice poiché valuta prima l’equilibrio e poi, se necessario, la congruenza sfruttando il principio dei lavori virtuali complementari. Il metodo delle forze, dunque, si presta alla risoluzione manuale, ma sfortunatamente risulta di difficile implementazione, in quanto l’intrinseco bisogno di una valutazione sulla necessità dell’applicazione della congruenza è difficile da automatizzare.

δ u

j

T

_j

dS

_σ

S_σ

∫ ⁺ ∫

^v

^{δ u}

^j

^B

^j

^{dv =} ∫

^v

^δε

^ij

^σ

^ij

^dv

DOMANDA 14 - EQUAZIONI DI BILANCIO PER SPOSTAMENTI INFINITESIMI In presenza di spostamenti infinitesimi, approccio Lagrangiano ed approccio Euleriano possono essere confusi. In sostanza è possibile considerare uguali il tensore velocità di deformazione e il tensore di Green-Lagrange per spostamenti infinitesimi:

!

Sfruttando quest’approssimazione è possibile affermare che il tensore di Cauchy e il tensore di Green-Lagrange per spostamenti infinitesimi sono accoppiati energicamente. Pertanto, nel caso elastico lineare, è possibile scrivere una legge costitutiva che lega il tensore di sforzo al tensore di spostamenti infinitesimi:

!

A questo punto sono disponibili tre equazioni di equilibrio e sei equazioni dal legame costitutivo, inoltre sono assegnate le condizioni al contorno naturali (ossia sono assegnate le forze sulla superficie libera) e le condizioni al contorno essenziali (ossia sono assegnati gli spostamenti sul contorno vincolato). Le sei componenti di sforzo e le tre componenti di spostamento possono essere ricavate, ma al fine di garantire la congruenza interna (ossia evitare lacerazioni e/o compenetrazioni) è necessario aggiungere delle equazioni di compatibilità. Esse sono sei equazioni del tipo:

-

Tre della forma: ! ;

-

Tre della forma: ! .

In ogni caso, le quindici incognite del problema elastico-lineare sono eccessive e risulta necessario ricorrere a modelli strutturali che ne riducano il numero.

Tali modelli considerano solo alcune componenti di sforzo o di deformazione, al fine di limitare inutili sforzi di risoluzione. Una volta limitate le incognite si sfruttano le equazioni di equilibrio e, alternativamente, il principio dei lavori virtuali o dei lavori virtuali complementari, a seconda che si consideri un approccio agli spostamenti o alle forze. Il primo considera tutte le variabili espresse in termini di spostamenti ed è utilizzato per lo più per la risoluzione automatica, mentre il secondo esprime tutte le variabili in termini di forze ed è utilizzato per la risoluzione manuale.

Alcuni possibili modelli strutturali che considerano solo alcune componenti di sforzo sono:

-

Modello di trave (sforzi ! );

-

Modello di piastra (sforzi ! ).

Conviene sottolineare che nessuna considerazione viene fatta sulle deformazioni:

nessuna di esse è nulla, ma solo le componenti che lavorano per gli sforzi non nulli sono di rilevanza per quanto riguarda l’applicazione dei teoremi energetici.

ε

ij

= 1 2

∂u

_i

∂X

_j

+ ∂u

_j

∂X

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ! 1 2

∂u

_i

∂x

_j

+ ∂u

_j

∂x

_i

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

σ

_ij

= D

_ijhk

ε

_hk

2 ∂

²

ε

_ij

∂x

_i

∂x

_j

= ∂

²

ε

_ii

∂x

²_j

+ ∂

²

ε

_jj

∂x

_i²

∂

²

ε

ii

∂x

_j

∂x

_k

= ∂

∂x

_i

∂ε

ij

∂x

_k

− ∂ε

jk

∂x

_i

+ ∂ε

^ki

∂x

_j

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

σ

zz

,τ

xz

,τ

yz

σ

xx

,σ

yy

,τ

xy

DOMANDA 15 - DEFINIZIONE DI TRAVE: ASSE, AZIONI INTERNE ED EQUAZIONI DI EQUILIBRIO

La trave è definita geometricamente come il volume generato dalla traslazione di una figura piana (detta sezione) lungo un asse perpendicolare ad essa. Tale asse è una retta qualunque che può essere anche esterna alla sezione. Si assume che la lunghezza della trave sia molto maggiore della dimensione caratteristica della sezione che trasla. Per quanto riguarda i carichi esterni, si formula l’ipotesi forte che essi agiscano solamente negli estremi. Essi sono equilibrati da un sistema di forze e momenti sezione per sezione: tale sistema è il sistema delle azioni interne. Le espressioni e diagrammi delle azioni interne sono diversi a seconda delle convenzioni utilizzati, in ogni caso ogni sezione è caricata sempre allo stesso modo, indipendentemente dal sistema di riferimento.

Assumendo come convenzione che la faccia positiva di un concio di trave sia in corrispondenza dell’asse z (parallelo all’asse della trave) uscente, il calcolo delle azioni interne può essere fatto tramite le relazioni integrali di equilibrio. Esse si ricavano integrando i carichi esterni su un concio di trave infinitesimo, dove sono assunti costanti:

!!!!!!

Conviene sottolineare che il momento torcente dipende dall’origine scelta per il sistema di riferimento, ossia da dove è posizionato l’asse z sulla sezione. Solo nel caso in cui un carico a taglio sia posto nel centro di taglio il momento torcente è nullo. In ogni caso, indipendentemente dal sistema di riferimento, i risultati in termini di forze e momenti risultanti devono essere uguali.

R

_x

≠ 0 → dT

_x

= −r

_x

dz → T

_x

= − r

_x

dz

0

∫

z

R

_y

≠ 0 → dT

_y

= −r

_y

dz → T

_y

= − r

_y

dz

0

∫

z

R

_z

≠ 0 → dT

_z

= −r

_z

dz → T

_z

= − r

_z

dz

0

∫

z

M

_x

≠ 0 → dM

_x

− T

_y

dz + r

_y

dz

²

2 = 0 → M

_x

= T

_y

dz

0

∫

z

M

_y

≠ 0 → dM

_y

+ T

_x

dz − r

_x

dz

²

2 = 0 → M

_y

= − T

_x

dz

0

∫

z

M

_z

≠ 0 → dM

_z

= −m

_z

dz → M

_z

= − m

_z

dz

0

∫

z

DOMANDA 16,17 - MODELLO DI TRAVE: STATO DI SFORZO E DI DEFORMAZIONE, DIPENDENZA DELLO SFORZO DALLE AZIONI INTERNE

Il modello strutturale di trave prevede di considerare solo tre componenti non nulle del tensore di Cauchy. In particolare, per qualunque sistema di riferimento arbitrario che abbia l’asse z normale alla sezione si ha che le componenti ! sono non nulle, mentre le altre tre componenti del tensore ! sono nulle. Per la simmetria del tensore di Cauchy, anche le componenti ! e ! sono non nulle, ma avendo supposto che i carichi esterni siano applicati solo alle estremità sulle sezioni con normale z, sulle facce laterali non sono applicati sforzi di taglio, mentre essi sono presenti all’interno della trave.

Applicando le ipotesi fatte per il modello di trave, dal legame costitutivo si ricava:

!

Si può notare che il fatto di considerare una componente di sforzo nulla non implica automaticamente che la corrispondente componente di deformazione sia nulla. Tuttavia, visto che ai fini della scrittura dell’energia di deformazione solamente le componenti ! sono rilevanti, è possibile scrivere il legame costitutivo in una forma semplificata che mette in risalto il disaccoppiamento degli effetti di trazione/compressione e di taglio:

!

Un’altra importante assunzione del modello strutturale di trave è quella di ipotizzare che gli sforzi dipendano solamente dalle azioni interne: in particolare che essi siano equivalenti alle azioni interne. Formulando quest’ipotesi, però, si perde la possibilità di valutare effetti locali, infatti sistemi di forze localmente diversi che producono la stessa risultante in termini di azioni interne generano lo stesso stato di sforzo. Il vettore ! , dunque, risente solo della risultante di una distribuzione e non della distribuzione stessa. Le diversità locali che si registrano nella realtà in termini di concentrazione di sforzo dove la forza è effettivamente applicata, distribuzione di sforzo e distribuzione non simmetrica di sforzo vengono trascurate. Pur trattandosi di un’approssimazione in apparenza grossolana, essa è accettabile: ad esempio, nelle strutture aeronautiche, il rapporto tra l’effetto locale (sforzo di trazione locale generato sulla superficie dell’ala dalla pressione) e l’effetto lontano (carico flessionale) è estremamente basso.

Inoltre, quest’approssimazione è ammessa nel modello di trave di De Saint Venant, per il quale ponendosi a 2-3 volte la dimensione massima della sezione dalla zona in cui è applicato un carico, l’effetto locale è svanito.

L’espressione degli sforzo si ricava scrivendo le equazioni di equivalenza rispetto alle azioni interne:

!

σ

zz

= σ ,σ

zx

= τ

x

,σ

zy

= τ

y

σ

σ

xz

σ

yz

ε

_xx

= − υ

E σ ,ε

_yy

= − υ

E σ ,ε

_zz

= 1 E σ γ

xy

= 0,γ

xz

= 1

G τ

x

,γ

yz

= 1 G τ

y

ε

zz

,γ

xz

,γ

yz

ε

_z

γ

_x

γ

_y

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪

⎪

⎫

⎬ ⎪⎪

⎭ ⎪

⎪

= 1

E 0 0

0 1 G 0

0 0 1

G

⎡

⎣

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ σ

_z

τ

_x

τ

_y

⎧

⎨ ⎪⎪

⎩ ⎪

⎪

⎫

⎬ ⎪⎪

⎭ ⎪

⎪

{ } σ

A

σ dA

∫ ^{= T}

^z

∫

^A

^{σ ydA = M}

^x

∫

^A

^{σ xdA = −M}

^y

!

Per ricavare l’espressione degli sforzi associata al modello di trave è possibile fare ricorso al teorema di Menabrea (per la componente ! ) e alle equazioni indefinite di equilibrio (per le componenti di taglio). Concentrandosi sulla prima, il teorema di Menabrea afferma che tra tutte le configurazioni equilibrate quella congruente rende minima l’energia di deformazione del corpo (vale per vincoli fissi), pertanto è necessario scrivere l’energia di deformazione. Considerando il legame costitutivo semplificato si ricava:

!

Visto il disaccoppiamento di sforzo di compressione/trazione e taglio è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti considerando solamente l’energia di deformazione imputabile alla componente ! . Applicando inoltre la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange con le equazioni di equivalenza si ricava:

!

Per applicare il teorema di Menabrea è necessario minimizzare il funzionale

! (ossia minimizzare l’energia di deformazione), pertanto:

!

Per ricavare i valori dei moltiplicatori di Lagrange, l’espressione trovata per

! va inserita nelle equazioni di equivalenza, in maniera da legare la componente di sforzo alle azioni interne. Procedendo in tale operazione si ricava:

!

avendo definito le quantità caratteristiche della sezione: !

(momenti statici), ! (momenti d’inerzia) e !

(momento centrifugo). Considerando costante il modulo di Young, si è ricavato un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite sempre risolvibile che fornisce i valori ! . Se si utilizzano gli assi principali d’inerzia

(! ) si ricava:

!

τ

_x

dA

∫

A

^{= T}

^x

∫

^A

^τ

^y

^{dA = T}

^y

∫

A

( ^τ

^y

^{x − τ}

^x

^y ) ^{dA = M}

^z

σ

_z

V

_d

= 1

2 σε +τ

x

γ

x

+ τ

y

γ

y

dv

∫

v

^{= 1} ₂

0

∫

A

^⎛ _⎝⎜ ^σ _E

²

^{+ τ} _G

^x2

^{+ τ} _G

^y2

^⎞ _⎠⎟ ^{dA dz}

∫

l

σ

V

_d

= 1 2

σ

²

E + λ

₁

σ − T

_z

A

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + λ

₂

σ y − M

_x

A

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + λ

₃

σ

_x

+ M

_y

A

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣ ⎢

⎢

⎤

⎦ ⎥

⎥ dA

∫

A

^dz

0

∫

l

^{= 1} ₂ ∫

^0l

∫

^A

^{F ( ) σ dA dz}

F ( ) σ

∂F ( ) σ

∂σ = 0 → 2σ

E + λ

₁

+ λ

₂

y + λ

₃

x = 0 → σ = − E

2 λ

₁

− E

2 λ

₂

y − E 2 λ

₃

x σ

T

_z

= − E

2 λ

1

− E

2 λ

2

y − E 2 λ

3

x

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ dA

∫

A

^{= − E} ₂ ^λ

¹

^{A − E} ₂ ^λ

²

^S

^x

^{− E} ₂ ^λ

³

^S

^y

M

_x

= − E

2 λ

1

y − E

2 λ

2

y

²

− E 2 λ

3

xy

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ dA

∫

A

^{= − E} ₂ ^λ

¹

^S

^x

^{− E} ₂ ^λ

²

^J

^x

^{− E} ₂ ^λ

³

^J

^xy

M

_y

= − − E

2 λ

1

x − E

2 λ

2

xy − E 2 λ

3

x

²

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟ dA

∫

A

^{= E} ₂ ^λ

¹

^S

^y

^{+ E} ₂ ^λ

²

^J

^xy

^{+ E} ₂ ^λ

³

^J

^y

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

S

_x

= ydA

∫

A

^{, S}

^y

^{= x dA} ∫

^A

J

_x

= y

²

dA

∫

A

^{, J}

^y

^{= x} ∫

^{A 2}

^{dA J}

^xy

^{= xydA} ∫

^A

λ

₁

,λ

₂

, λ

₃

S

_x

= S

_y

= J

_xy

= 0

σ = T

_z

A + M

_x

J

_x

y − M

_y

J

_y

x

DOMANDA 18,23 - MODELLO DI TRAVE: LAVORO DI DEFORMAZIONE, ASSI PRINCIPALI D’INERZIA, CENTRO DI TAGLIO E SCELTA DELL’ASSE DELLA TRAVE

L’espressione della componente di sforzo ! si ricava applicando il teorema di Menabrea all’espressione dell’energia di deformazione che considera solo tale componente e sfruttando la tecnica dei moltiplicatori di Lagrange. Nel caso di assi principali d’inerzia, per i quali i momenti statici e il momento centrifugo sono nulli, l’espressione di ! è la seguente:

!

L’energia di deformazione, a questo punto, si può riscrivere come:

!

Si nota che solo i termini quadratici sono presenti nell’espressione dell’energia di deformazione, poiché essendo in assi principali d’inerzia gli altri termini si elidono. Lo stesso procedimento si può applicare per il calcolo del lavoro di deformazione virtuale o per il lavoro di deformazione virtuale complementare. In sostanza, scrivendo il PLV:

!

Il PLVC ha la stessa formulazione, ma si ricava da un sistema di azioni interne fittizie causato da forze virtuali. Il processo appena descritto non porta a risultati interessanti per quanto riguarda gli sforzi di taglio. Tuttavia nel lavoro di deformazione è possibile includere le azioni interne di taglio e momento torcente a patto di scegliere un adeguato sistema di riferimento. In generale, infatti, utilizzando gli assi principali d’inerzia non è possibile disaccoppiare le azioni interne di taglio e momento torcente; tuttavia esiste un punto (detto centro di taglio) attorno al quale una sezione rigida ruota se sono applicate coppie o tagli. Se il sistema di riferimento passa per quel punto, si ottiene il disaccoppiamento tra tagli e momenti torcenti. In questo caso si può scrivere:

!

dove ! si possono trovare tabulate per le varie sezioni.

Sfortunatamente, il centro di taglio coincide raramente con il baricentro, a meno che la sezione non sia simmetrica. Idealmente sarebbe necessario utilizzare due sistemi di riferimento, ma il procedimento risulta molto lungo, dunque si tende ad accettare l’errore commesso considerando solo uno dei due sistemi di riferimento. Nel caso si utilizzi un sistema di riferimento passante per il centro di taglio, si commette un errore sui momenti flettenti che dipende dall’intensità dell’azione di trazione/compressione ! . Essa è spesso piccola nelle struttura aeronautiche, per cui talvolta l’utilizzo di un sistema di riferimento che passi per il centro di taglio è indicato. Ciò non è vero in altri casi, ad esempio per quanto riguarda le pale del rotore dell’elicottero, dove l’azione assiale è molto grande. Se invece si utilizza un sistema di riferimento in assi principali d’inerzia (baricentrico), si commette un errore sulla valutazione del momento torcente che dipende dall’intensità delle azioni di taglio.

σ

σ

σ = T

_x

A + M

_x

J

_x

y − M

_y

J

_y

x

V

_d

= 1 2

σ

²

E dA

∫

A

^dz

0

∫

l

^{= 1} _{2 E A} ^T

^z2

⁺ _EJ ^M

^x2 x

+ M

_y²

EJ

_y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ dz

0

∫

l

δ

^*

L

_e

= δ

^*

L

_d

= δεσ dA

∫

A

^dz

0

∫

l

^{= T} _{E A}

^z'

^T

^z

^{+ M} _EJ

^x'

^M

^x x

+ M

_y^'

M

_y

EJ

_y

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ dz

0

∫

l

δ

^*

L

_d

= T

_x

T

_x^'

GA

_x^*

+ T

_y

T

_y^'

GA

_y^*

+ M

_z

M

_z^'

GJ

_T

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ dz

0

∫

l

A

_x^*

, A

_y^*

, J

_T

T

_z