Costruzione di orbite con itinerari assegnat

Un’orbita può essere identificata mediante una sequenza di simboli che descrivono i reami in cui questa è passata o passerà. Un’orbita del tipo [X, J, S], ad esempio, è un’orbita che si trova nel reame J, per tempi negativi va nel reame X e per tempi positivi in S.

Sequenze di tali simboli possono, solo in linea teorica, essere infinite poiché oltre un certo limite il determinismo del problema viene meno: non bisogna dimenticare, infatti, che la natura fortemente non lineare della soluzione determina comportamenti anche molto diversi in seguito ad una piccola variazione di condizioni iniziali.

Si indicheranno le aree di un manifold con una lettera tra parentesi quadre che identifica il reame in cui attualmente si trova (quindi il reame in cui si trova la sezione di Poincarè), con una lettera precedente per indicare il reame da sui proviene e con una successiva per definire quello in cui andrà. Ricordando che le sezioni di Poincarè dei manifolds conservano le proprietà degli stessi, si è in grado di costruire condizioni iniziali che soddisfano un itinerario assegnato.

Si suppone di costruire un’orbita con un itinerario del tipo [X, J, S], quindi si ricercano i punti appartenenti ad un’area del tipo (X, [J], S). Si consideri l’intersezione fra la proiezione su U3 del manifold instabile di L2 e di quello

stabile di L1 nello stesso reame; quello che si ottiene è un’area che ha le

Capitolo IV - Manifolds e Sezioni di Poincarè

Figura 4.25 - Sezione U3 del manifolds stabile di JL1 ed instabile di JL2

In altre parole, un punto appartenente all’area A (vedi fig. 4.25) è un punto che costituisce le condizioni iniziali per un’orbita eteroclinica; l’appartenenza al manifold instabile di L2, infatti, lo porta ad allontanarsi

asintoticamente da questo punto e l’appartenenza al manifold (o meglio alla sua proiezione sulla sezione di Poincarè) stabile di L1 lo conduce verso lo

stesso per tempi crescenti. Un punto interno al ramo instabile del manifold competente ad L2 identifica, inoltre, anche tutte le orbite che sono in grado

di passare dal reame X a J, mentre un punto appartenente al ramo stabile di L1 le orbite di transito da J ad S. Un punto in A è quindi un punto che

fornisce uno stato del sistema identificando un’orbita che, partendo da X, attraversa J per entrare in S. Le condizioni iniziali determinabili da un punto di A forniscono orbite del tipo:

Studio Preliminare di Missioni Spaziali con Modelli a Tre Corpi

Dalla appartenenza di un punto ad un’area oppure ad un’altra del piano di Poincarè, si è in grado di desumere il cammino dell’orbita sia per tempi positivi che negativi.

Si osservi come tali orbite sono anche definite “robuste”, nel senso che una condizione iniziale determinata da un punto adiacente, entro un certo limite, a quello considerato, fornisce orbite che si comportano allo stesso modo.

Seguendo lo stesso procedimento si possono costruire anche orbite con itinerari più complessi di quello appena descritto.

Si descrive la costruzione di un itinerario identificato da cinque simboli: (X, J, S, J, X); per quanto detto, si tratta di un itinerario che passa dal reame esterno a quello di m2, a quello interno, quindi nuovamente a quello di m2

per tornare nel reame esterno. Tale esempio riprende la traiettoria della cometa p/Oterma (vedi par. 4.2); si utilizzerà ancora un valore di µ=9.537e-4 quello del sistema Giove-Sole ed un valore di energia e=-1519 (simile a quello della cometa). Il procedimento per la costruzione dell’itinerario è dunque:

¾ Considerare sulla sezione U3 le prime intersezioni dei manifolds

di L1 e L2 (il numero fra parentesi tonde indica il numero

dell’intersezione con il piano).

¾ Considerare l’aria di questo piano appartenente sia al ramo che si trova in J (reame in cui si trova U3) e proviene da X (quindi

racchiusa dall’intersezione con il manifold instabile di L2) sia al

ramo che si trova in J ed andrà verso S (ovvero l’aria racchiusa dalla curva intersezione del manifold stabile di L1).

¾ Si è così identificata (analogamente a prima) una condizione iniziale che soddisfa la prima parte dell’itinerario (X, J, S).

¾ Si evolva un punto di quest’area, secondo le equazioni del moto, fino alla sezione U1 (poiché è quella che si trova in S che è il

reame verso il quale la soluzione si sta dirigendo).

Si osservi come l’area (X, J, [S]) appartenga completamente all’area (J, [S]) trattandosi di un sott’insieme di questa.

¾ Si consideri su U1 sia l’area (X, J, [S]) che quella ([S], J) in

maniera da imporre alla soluzione di ritornare nel reame J. Tale area risulta costituita da due strisce; si sceglie una condizione

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iniziale appartenente alla striscia più larga che, per quanto detto in precedenza, è più robusta.

¾ Si propaga tale striscia fino a rientrare nel reame J ed intersecare la sezione U2.

¾ Su tale sezione si considera l’intersezione dell’immagine della striscia (X, J, S, [J]) e dell’area determinata dal manifold stabile di L2, ([J], X) (si osservi a tal proposito come la curva ([J], X) sia

simmetrica a [X, [J])).

¾ Una qualunque condizione iniziale all’interno dell’area (X, J, S, [J], X), se propagata in avanti ed indietro, fornisce un’orbita che rispetta l’itinerario imposto. Si noti come ciò equivale ad imporre le condizioni iniziali su U2, quindi in J, ed ottenere per

integrazioni positive il tratto che da J porta in X, mentre per integrazioni negative quello che va in S, J ed X.

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L’orbita che si ottiene da una qualunque delle condizioni iniziali determinabili all’interno della striscia è la seguente; l’integrazione per tempi positivi è indicata con linea continua, quella per tempi negativi con linea tratteggiata.

Figura 4.28 - Orbita (X, J, S, J, X)

Si fa infine notare come il modo di identificare un’orbita mediante una stringa di simboli che tengono in considerazione i reami in cui essa è passata o passerà, è, in effetti, la stessa cosa di identificarla mediante una stringa del tipo (4.10); ovvero non si è fatto altro che applicare la dinamica simbolica al problema per disegnare la traiettoria voluta.

4.11 Comportamento delle orbite in funzione delle condizioni iniziali