Sezioni di Poincarè dei manifolds

Una delle applicazioni più importanti delle sezioni di Poincarè è la possibilità di utilizzarle per determinare condizioni iniziali tali da rispettare itinerari precisi e prestabiliti. Per determinare tali condizioni iniziali, è innanzi tutto necessario guardare le intersezioni dei manifolds con i piani di Poincarè; queste intersezioni, che si configurano come aree sui diversi piani, mantengono le stesse proprietà dei manifolds da cui sono generate.

Si osservi come il fissare un piano di intersezione abbassa di un ordine le dimensioni del sistema; infatti, i manifolds dall’essere superfici si proiettano in aree.

Le curve d’intersezione dei manifolds si identificheranno mediante la lettera Γ con la stessa convenzione di apici e pedici precedentemente utilizzata. Quello che prima era il volume racchiuso da una superficie cilindrica (W), contenente le orbite di transito da un reame all’altro, si proietta ora in un’area racchiusa dalle curve Γ.

Ogni manifold può potenzialmente intersecare diverse volte il piano di sezione e quindi tracciare su esso differenti curve ad ogni passaggio; si aggiungerà, pertanto, un pedice identificativo dell’intersezione.

Partendo del teorema di Mc Gehee, Libbre, Martinez e Simò hanno trovato un’espressione analitica per la proiezione del ramo instabile nel reame S del manifold competente ad L1.

1 3 1 6 1 3 2 ( 3 cos (1)) 3 ( 2 sin (1)) d N M t O Nt M t O µ α π µ = ⋅ − + ⋅ + = − + ⋅ + ⋅ ⋅ + (4.14)

d indica la distanza dalle curve a velocità nulla, α la coordinata angolare (vedi fig. 4.15) e M ed N sono due costanti.

Studio Preliminare di Missioni Spaziali con Modelli a Tre Corpi 3 3 1 (1 (1)) k O N k µ = ⋅ + (4.15)

la prima intersezione con l’asse x è ortogonale all’asse dando un’orbita omoclinica simmetrica per L1.

E’ stato, inoltre, dimostrato che, per valori di µ e ∆ = − e e E₁ sufficientemente piccoli, lo stesso ramo del manifold di L1 (WLu S₁, ) si

proietta, alla sua prima intersezione, su U1 , in una curva diffeomorfica ad

un cerchio (vedi fig. 4.21) ed, inifine, se nel piano (µ, e) esiste un punto con una µk, definita dal precedente teorema, per la quale:

4 3 _{( )}2

k k

E L µ µ µ

∆ > ⋅ ⋅ − (4.16) alla prima intersezione con il piano esiste un’orbita omoclinica simmetrica (L è una costante).

Esiste anche una complicata espressione analitica per la curva

1 , ,1 u S L Γ in

funzione di µ e ∆e nelle variabili x ed u.

Le principali conseguenze di tali teoremi sono che:

¾ Non esistono orbite omocliniche simmetriche associate a L1 per

tutti i valori del parametro di massa, ma solo per un insieme discreto di questo; per tutti gli altri valori di µ,

1 , ,1 u S L Γ interseca il piano (x, u) in un punto diverso da u=0.

¾ Per valori troppo piccoli di ∆e,

1 , ,1 u S L

Γ non interseca per nulla l’asse u=0 e quindi, per simmetria neanche

1 , ,1 s S L Γ lo intersecherà. Ciò significa che non esiste alcuna connessione omoclinica simmetrica. Per le simmetrie del problema, infatti, le proiezioni dei manifolds stabili ed instabili competenti allo stesso punto, per lo stesso valore di energia, sono, sui piani di Poincarè, curve simmetriche rispetto l’asse orizzontale. Per questo motivo una volta graficato un manifold l’altro è ottenibile direttamente ed i punti di intersezione con l’asse orizzontale (u=0 per le sezioni U1

ed U4) rappresentano orbite omocliniche simmetriche che si

avvalgono del manifold stabile ed instabile della stessa orbita periodica.

Capitolo IV - Manifolds e Sezioni di Poincarè

¾ Per un valore fissato di µ, al crescere di ∆e, la curva

1 , ,1 u S L Γ si

allargherà fino a diventare prima tangente ed in seguito secante in più che un punto, essendo una curva chiusa, all’asse x. Nuovamente in virtù della simmetria del problema anche ₁,

,1 s S L

Γ lo

intersecherà nello stesso punto dando quindi luogo ad un’orbita omoclinica e simmetrica. Tale fenomeno si verifica solo per valori di ∆e maggiori di quelli definiti dalla (4.16)

Non esistono dimostrazioni analitiche per gli altri rami dei manifolds, ma solamente delle tecniche numeriche per produrli. E’, inoltre, solo numerica la dimostrazione dell’esistenza di connessioni eterocliniche ed omocliniche nel reame esterno.

Le sezioni di Poincarè dei manifolds dipendono, ovviamente, dalla forma di questi ultimi; per il sistema Sole-Giove ed un ∆e=0.005, ad esempio, si ottengono le seguenti curve:

Capitolo IV - Manifolds e Sezioni di Poincarè

Si osservi in dettaglio l’applicazione dei precedenti teoremi nella sezione U4; graficando in questa anche il simmetrico manifold stabile, si possono

ottenere i punti corrispondenti a connessioni omocliniche simmetriche e non1.

Figura 4.22 - Orbite omocliniche simmetriche ed asimmetriche

In modo analogo la sezione U2 fornisce i punti di intersezione fra i

manifolds stabili ed instabili competenti a due differenti orbite di Lyapunov dai quali è possibile, dunque, ricavare le condizioni iniziali per un’orbita

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eteroclinica con un valore di energia che è quello determinato dalle due soluzioni periodiche.

Si noti come le proiezioni dei manifolds relativi alle due orbite non si intersecano al primo passaggio attraverso il piano, bensì al secondo; sono, infatti, le curve 1 2 , , ,2, ,2 u J s J L L Γ Γ ad intersecarsi e non 1 2 , , ,1, ,1 u J s J L L Γ Γ ; il risultato dei punti identificati in fig. 4.21 è quello di fig. 4.6.

Mediante l’approssimazione di ordine inferiore, utilizzata per ricavare i manifolds, si ottengono, invece, proiezioni solo qualitativamente simili. Fissato il valore di µ e quello di ∆e si ottengono manifolds approssimati del tipo:

Figura 4.23 - Approssimazione manifolds per il sistema Giove-Sole con ∆e=5e-5

Fermando l’integrazione a coordinate pari a quelle delle differenti sezioni di Poincarè e graficando su questi piani il valore finale della coordinata non fissata e la relativa velocità, si ottengono una serie di punti che assumono un andamento tale da confermare la regolarità di queste strutture.

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Figura 4.24 - Approssimazione delle sezioni di Poincarè

Per cercare di imporre lo stesso livello di energia al sistema, quindi collocarsi sulla stessa superficie, si è proceduto calcolando il valor medio dell’energia, dall’approssimazione

analitica di Richardson, dell’orbita periodica e si è sottratta l’energia associata al punto di librazione relativo.

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approssimazione è tanto migliore quanto minore è il ∆e del sistema: le sezioni precedenti sono state ottenute per un’ampiezza lungo x di 1.25e6 _km

a cui corrisponde, per il sistema Giove-Sole un ∆e=-1.5198-EJL1=5.4536e-5

(EJL1=-1.5199).

L’immagine mostra l’andamento dell’energia per l’orbita analiticamente ottenuta ed utilizzata per il computo delle precedenti sezioni di Poincarè. Si osservi come, a causa del livello moto basso di energia le curve Γ  non intersecano l’asse delle x, non creando, in questo modo, la possibilità per connessioni omocliniche simmetriche.

Si sono anche provati valori maggiori delle ampiezze, quindi delle energie, ma la distorsione osservata nelle orbite periodiche e nei manifolds si è dimostrata eccessiva. Per valori maggiori si rende quindi necessario un utilizzo della procedura numerica descritta (par. 4.4).