Utilizzo della sovrapposizione di due modelli a tre corp

Si descrive, per completezza, anche una applicazione del modello a quattro corpi che prevede la sovrapposizione di due sistemi a tre corpi (vedi

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di una massa nel campo gravitazionale creato da altri tre corpi è quella di considerare due modelli a tre corpi in sovrapposizione.

L’applicazione di questo modello al trasferimento Terra-Luna è stato analizzato per la progettazione della missione Hiten.

L’approccio tradizionale per costruire orbite di trasferimento Terra-Luna è quello delle coniche raccordate. Questo tipo di studio utilizza un trasferimento alla Homann ed una dinamica propria dei 2-corpi. Il trasferimento è realizzato utilizzando un’ellisse fra due orbite attorno alla Terra ed alla Luna; i due corpi coinvolti sono alternativamente Terra- spacecraft e Luna-spacecraft. Le fasi di partenza e di cattura sono modellate come rami iperbolici che, al limite delle sfere di influenza, vengono raccordate con l’ellisse di trasferimento. Nel 1991, il fallimento della missione Muses A/B ha richiesto l’applicazione di un trasferimento richiedente un ∆v minore di quello necessario per una manovra alla Homann poiché il carburante a bordo della sonda superstite non era sufficiente per effettuarla. Fu utilizzato (vedi cap. 2 ed appendice A) un trasferimento a bassa energia con cattura balistica da parte della Luna, proposto da Belbruno e Miller, che, utilizzando la perturbazione solare, richiedeva un minor quantitativo di propellente.

Il trasferimento Terra-Luna può esser ottenuto in maniera sistematica utilizzando la dinamica dei due sistemi a tre corpi ristretti: Terra-Luna- spacecraft e Terra-Sole-spacecraft. Partendo da un’orbita attorno alla Terra, ci si porta nella zona in cui i manifolds dei due sistemi si intersecano (riprendendo il concetto delle ISP)[37][38].

La costruzione è fatta principalmente nel sistema Terra-Sole utilizzando la sezione di Poincarè U3 per determinare l’intersezione dei due rami; si

ricerca una condizione iniziale su tale piano che, integrata in avanti, nel sistema Terra-Luna, dia un’orbita catturata dalla Luna, integrata all’indietro, invece, nel sistema Terra-Sole, una tendente a portarsi nelle vicinanze della Terra.

¾ Ramo Lunare di cattura balistica. Affinché un’orbita tenda naturalmente verso uno dei punti di Lagrange del sistema è sufficiente che essa appartenga al manifold stabile di un’orbita periodica attorno ad esso. In termini di condizioni iniziali è sufficiente che il punto su una delle sezioni di Poincarè giaccia all’interno della curva Γ. Nel caso in esame è necessario che l’orbita sia naturalmente diretta verso il punto LL2 e dunque il punto sulla U3

sia all’interno della ,₂ , . . s X LL p o

Capitolo V - Implementazione Propagatori

chiusa del tipo di figura 5.9. Durante tale tratto di traiettoria si assume che il Sole sia soltanto una perturbazione trascurabile e che un punto, contenuto all’interno della curva ,₂

, . . s X LL p o

Γ ed integrato nelle equazioni del moto del sistema Terra-Luna, sia balisticamente catturato dalla Luna. Ovvero si ipotizza che l’orbita si porti all’interno della sfera di influenza lunare e compia almeno una rivoluzione attorno al satellite; a questo punto un piccolo ∆v è sufficiente per ottenere una cattura stabile.

Figura 5.9 - Manifold stabile di LL2 e relativa sezione di Poincarè

¾ Ramo nel sistema Terra-Sole. Da quanto detto nel paragrafo 2.17, un’orbita subisce una distorsione (un “twist”) che dipende dalla sua distanza dal manifold; più vicina essa vi si trova nell’approcciarsi alla regione di equilibrio e più essa viene distorta quando esce da tale regione. Da ciò consegue che una piccola variazione nelle condizioni iniziali, seguendo il “twisting” dell’orbita, causi una congrua modifica del punto di arrivo di questa. Tale proprietà è utilizzata per determinare condizioni iniziali di partenza dall’orbita voluta attorno alla Terra. Si consideri la deformazione che subisce il segmento q1-q2 (figura 5.10) il quale, nell’attraversare la regione di

equilibrio (in effetti integrato all’indietro), si trasforma in una linea che segue per un lungo tratto

2 , , . . s J EL p o Γ . Mediante tentativi, si è in grado di portare la pre-immagine del segmento ad essere compatibile con i vincoli imposti dall’orbita di partenza. Analogamente a prima, in tale tratto dell’orbita la Luna è soltanto una perturbazione

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essendo al di fuori del manifold è sicuramente un’orbita di non- tansito e pertanto intersecherà il piano di U3.

Figura 5.10 - Twisting del segmento p1-q1

Sovrapponendo le due sezioni di Poincarè, si sceglie un punto che appartenga all’interno di 2 , , . . s X LL p o

Γ (affinché integrato in avanti sia balisticamente catturato dalla Luna), che stia all’esterno di

2 , , . . u J EL p o Γ (affinché sia un’orbita che resti in J), ma sufficientemente vicino alla linea di intersezione da subire una sostanziale deformazione necessaria, integrando all’indietro, a rispettare i vincoli imposti dall’orbita di partenza[39].

Capitolo V - Implementazione Propagatori

Figura 5.11 - Sovrapposizione delle sezioni di Poincarè per la determinazione delle condizioni iniziali di un trasferimento Terra-Luna

Non è detto che per ogni fase iniziale della Luna i manifolds dei due sistemi si intersechino; la scelta di questo parametro è quindi determinante affinché sia possibile identificare un punto su U3 che soddisfi i requisiti di

entrambi i rami. Si osservi come, essendo nel sistema Terra-Sole, la proiezione del manifold su EL2 resti

immutata.

Figura 5.12 - Dipendenza della posizione della sezione di Poincarè del manifold stabile di LL2

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Un’orbita costruita con tale metodologia richiede un ∆v=34m/s nel punto di raccordo che risulta del 20% inferiore a quello necessario per ottenere lo stesso trasferimento con una manovra alla Homann. Questa analisi di prima approssimazione può costituire il punto di partenza per l’integrazione di sistemi che tengono in considerazione anche altre forze (o le stesse in maniera differente come nel caso di un modello bicircolare) e perturbazioni. Trasferimenti di questo tipo nel sistema di riferimento Terra-Sole e Terra- Luna hanno il seguente aspetto.

Figura 5.13 - Trasferimento Terra-Luna

Anche paragonando questo tipo di trasferimento a traiettorie che utilizzino i punti LL1 e LL2 si rileva, ancora, un risparmio in termini di propellente[40].