Imposizione delle condizioni inizial

Per individuare il punto di partenza di un’orbita nello spazio, è necessario innanzi tutto identificare il piano orbitale rispetto al sistema di riferimento utilizzato e quindi la posizione del punto sull’orbita (ipotizzata in prima analisi circolare).

Per descrivere una circonferenza nello spazio sono necessari e sufficienti il suo raggio, l’inclinazione rispetto al piano orizzontale e la posizione della linea di intersezione fra il piano cui la circonferenza appartiene e quello di riferimento (linea dei nodi).

La posizione del punto sulla circonferenza è determinabile dalla conoscenza dell’angolo formato con l’asse x di un sistema di riferimento centrato nell’origine della circonferenza ed appartenente al suo piano. Si definisce questo sistema mediante l’identificazione del suo asse y con la linea dei nodi del piano orbitale; l’asse z è definito normale al piano e concorde con il vettore momento della quantità di moto del satellite (h= ∧r v), l’asse x tale da rendere la terna destrorsa. Trattandosi di orbite circolari, l’angolo formato fra l’asse y e la posizione del punto sull’orbita

Capitolo V - Implementazione Propagatori

nome di argomento della latitudine (tale angolo si utilizza in letteratura per orbite circolari inclinate in cui non è definibile un perigeo[32]).

Figura 5.1 - Sistemi di riferimento

Si identificano dunque la latitudine e la longitudine del piano orbitale rispetto agli assi del sistema sinodico (oppure rispetto agli assi di un sistema geocentrico equatoriale per il propagatore a quattro corpi).

La longitudine (θ) si definisce misurando in verso antiorario l’angolo formato dall’asse y del sistema sinodico e dalla linea dei nodi (quindi fra gli assi y dei due sistemi).

La latitudine (φ), invece, si definisce come l’angolo formato fra l’asse x del sistema sinodico e l’asse x del sistema di riferimento costruito sul piano orbitale; tale angolo è misurato fuori dal piano in verso antiorario

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L‘argomento della latitudine (u) iniziale

s’identifica chiaramente sul piano orbitale (il cui cui orientamento dipende da latitudine e

longitudine) come l’angolo fra l’asse x del sistema costruito su questo piano ed il raggio vettore del punto.

Per meglio chiarire come si presentano queste circonferenze nello spazio si riportano di seguito due esempi (il punto color ciano rappresenta il punto identificato):

¾ Latitudine=30, Longitudine=0, Argomento della latitudine=0

Figura 5.2 - Orbita iniziale con φ=30, θ=0, u=0

¾ Latitudine=90°, Longitudine=90°, Argomento della latitudine=45°

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Tali convenzioni verranno adottate per definire le orbite di partenza attorno alla Terra ed alla Luna e per posizionare il Sole o la Luna sulle relative orbite.

Una volta note condizioni iniziali del punto è necessario riportarle in termini di posizione e velocità del sistema sinodico (o geocentrico equatoriale) per imporle alle equazioni del moto. Mediante la seguente matrice di rotazione si effettua il passaggio in coordinate (x, y, z).

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0

cos( ) sin( 2 - ) -sin( ) -cos( ) cos( 2 - )

sin( ) sin( 2- ) cos( ) -sin( ) cos( 2 - )

cos( 2 - ) 0 sin( 2 - ) TM θ π φ θ θ π φ θ π φ θ θ π φ π φ π φ ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =_⎢ ⋅ ⋅ _⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ (5.1)

La matrice TM identifica la matrice di rotazione fra i due sistemi di riferimento; una volta nota, dunque, la posizione sul piano orbitale, dalla conoscenza di r ed u, è possibile desumere la posizione nel sistema di riferimento principale.

La posizione iniziale (pedice 0) nel sistema costruito sul piano orbitale è data da: 0 0 cos( ) sin( ) 0 orbitale orbitale orbitale x r u y r u z = ⋅ = ⋅ = (5.2)

Essendo il problema definito in uno spazio delle fasi a quattro o sei dimensioni, le condizioni iniziali vanno imposte, oltre che in termini di posizione, anche in termini di velocità Un punto in moto su un’orbita circolare di raggio r ha, in un sistema planetocentrico inerziale, una velocità circolare[5][32] pari a: ( pianeta) circ G M V r ⋅ = (5.3)

Nel sistema rotante, che è quello in cui sono formulate le equazioni per il propagatore a tre corpi e per quelli bicircolari, tale velocità va modificata sommandovi la velocità di trascinamento del sistema. Quest’ultima è la velocità con cui l’origine del sistema di riferimento rotante si muove rispetto a quello inerziale; in questo caso il moto è rotatorio e pertanto essa è ωK∧dK,

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velocità di un satellite attorno ad un attrattore è la somma della sua velocità circolare (data dalla 5.3) e della velocità del pianeta attorno al centro del sistema di riferimento:

.

. pianeta sist Inerziale Pianeta Circolare

G m V V V R r ω = + = ∧ +

(5.4)

in cui R è la distanza del pianeta dall’origine del sistema (in coordinate adimensionali R è µ o 1-µ).

Si è, a questo punto, in presenza di un punto che nel sistema inerziale ha una velocità data dalla 5.4; per riportare tale velocità nel sistema rotante è necessario sottrarre la velocità tangenziale del punto che, in questo sistema è data da ωK∧(RK+rK). Quindi:

. .

pianeta sist Rotante sist Inerziale trascinamento

G m

V V V r

r ω

⋅

= − = − ∧K K

(5.5)

Si fa notare che ω è la velocità angolare con cui il sistema rotante si muove rispetto a quello inerziale ed è normalizzata ad 1 ed r è il raggio dell’orbita circolare attorno al pianeta che va, a sua volta, adimensionalizzato.

Quindi, nel sistema di riferimento precedentemente descritto le componenti di velocità (u, v, w) sono:

0 0 sin( ) cos( ) 0 orbitale circ orbitale circ orbitale u V u v V u w = − ⋅ = ⋅ = (5.6)

Come si osserva dalla figura accanto, i segni riportati per la velocità circolare (- per u e + per v) sono relativi ad un’orbita di partenza percorsa in verso antiorario (quali quelle in genere utilizzate).

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La componente della velocità lungo l’asse z è nulla poiché la rotazione avviene attorno a questo.

Per partenze che prevedono un ∆v chimico iniziale si è sempre supposto di imporlo tangenzialemane all’orbita di partenza; in questo caso il modulo della velocità circolare sul piano orbitale va incrementato del ∆v assegnato. Per ottenere, infine, le condizioni iniziali anche in termini di velocità nel sistema di riferimento sinodico (o geocentrico equatoriale), è sufficiente processare anche le componenti della velocità calcolate sul piano orbitale mediate la matrice TM. Quindi le condizioni iniziali generali sono del tipo:

0 orbitale orbitale orbitale orbitale orbitale orbitale x u x u y y TM y v TM v x z z w w ⎧ ⎧ ⎧ ⎫ ⎫ ⎧ ⎫ ⎫ ⎧− ⎫ ⎪ ⎪_{= ⋅}⎪ ⎪ ⎪ ⎪_{= ⋅}⎪ ⎪ ⎪ ⎪₊ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪_⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪_⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪_⎭ ⎭ ⎭ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ 1 _(5.7)

Tali condizioni hanno carattere generale e sono state, con gli opportuni valori dei parametri in gioco, utilizzate per determinare orbite di partenza dalla Luna (necessarie per simulare fasi di fuga da questa).

Si riporta l’attenzione, infine, sulle seguenti accortezze:

¾ Le equazioni del moto di tutti i propagatori sviluppati sono in forma adimensionale e pertanto richiedono condizioni iniziali adimensionali.

¾ Le condizioni iniziali, in termini di posizione, fornite dalle (5.7), sono relative al centro dell’attrattore che determina l’orbita di partenza (in genere Terra o Luna); per i propagatori in cui il riferimento è centrato altrove, è necessario effettuare una traslazione dell’origine. In particolare la x va traslata di una quantità pari ad 1-µ o µ per i propagatori che utilizzano un sistema di riferimento centrato nel baricentro del sistema a tre corpi (vedi adimensionalizzazioni paragrafo 2.4).

¾ L’errore che si commette nel trascurare, nella velocità iniziale, la velocità di trascinamento, è dell’ordine di –r; per le applicazioni d’interesse che prevedono orbite di partenza LEO o LLO, l’errore che si commette è molto piccolo.

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Una metodologia applicata in tutti i propagatori, per ottenere trasferimenti fra Terra e Luna, imponendo vincoli sia sull’orbita di partenza sia su quella d’arrivo, è la suddivisione della traiettoria in due rami. Si considerano, infatti, due fasi di fuga, una dalla Terra ed una dalla Luna, partendo da due orbite con parametri assegnati; questi due rami sono in seguito raccordati in un punto. Ovviamente per ottenere che i due tratti di orbita terminino nella stessa posizione, si è lasciato libero un parametro (l’argomento della latitudine iniziale) utilizzato per portare il punto terminale di un ramo dell’orbita su quello dell’altro ramo.

Si osservi come tale procedimento, utilizzando due fasi di fuga, impieghi due intervalli d’integrazione positivi; successivamente il tratto di fuga dalla Luna (essendo questo il ramo di cattura per trasferimenti Terra-Luna) è stato integrato indietro nel tempo per ottenere l’orbita completa.

Spesso uno dei due rami, in genere quello di cattura lunare, si ottiene utilizzando un propulsore elettrico. Come sarà descritto nel prossimo paragrafo, tale spinta compare nelle equazioni del moto mediante un termine aggiuntivo che dipende dal rapporto fra la spinta fornita dal propulsore e la massa istantanea del veicolo. In una fase di fuga la massa dello spacecraft diminuisce a causa del consumo di propellente; la massa, inizialmente imposta, è, quindi quella che arriverà a destinazione e deve essere “aumentata”, durante la fase di cattura, della massa consumata.