Costruzione del set di scenari

Si è detto che i trend di mortalità e di disabilità di recente osservati testimoniano significativi cambiamenti che portano a considerare come estremamente “dinamico” lo scenario nel quale si evolveranno in futuro i prodotti LTC. Si è anche sottolineato che per stimare il rischio intrinseco all’emissione di coperture che offrono living benefits in caso di invalidità, occorre considerare esplicitamente l’incertezza sulle previsioni della futura evoluzione della mortalità e dell’invalidità senile.

A questo scopo risulta utile considerare dei possibili scenari futuri, ciascuno rappresentativo di una diversa ragionevole proiezione dei futuri trend di mortalità e di disabilità, e sviluppare per ciascuno di essi la valutazione attuariale dei benefit previsti dalle polizze in esame. Mentre l’approccio attuariale classico alle proiezioni demografiche consiste in mere estrapolazioni dei trend (più recenti) così come risultanti dai dati osservati in passato138, approcci più moderni si basano su modelli capaci di sintetizzare le caratteristiche di fondo dello scenario evolutivo attraverso l’uso di leggi descrittive dell’andamento dei tassi di mortalità e disabilità, i cui parametri sono funzione dell’anno di calendario. Nelle applicazioni numeriche considerate a titolo esemplificativo nei successivi sottoparagrafi, si è scelto in particolare di rappresentare l’evoluzione del fenomeno della mortalità tra le persone sane attraverso la legge di Weibull, in quanto si ritiene che essa possa riflettere in modo più semplice di altre alcuni trend specifici della mortalità futura. Più precisamente si assume:

Mentre, poiché i risultati numerici suggeriscono degli andamenti esponenziali per le intensità di transizione , si sceglie di rappresentare queste ultime attraverso la legge

di Gompertz, che è così definita:

La mortalità tra le persone invalide, invece, viene usualmente modellizzata a partire dalla mortalità delle persone sane attraverso un cosiddetto “coefficiente di

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aggravamento” (ipotesi che sembra piuttosto ragionevole data l’assenza di dati specifici al riguardo), con relazioni del tipo:

oppure:

Nel secondo caso si calcola l’intensità di mortalità tra gli invalidi semplicemente andando ad aumentare in modo costante la mortalità delle persone sane: si assume infatti (sempre a causa della mancanza di dati specifici) la stabilità nel tempo del rapporto tra le quantità proiettate e (cioè si assume che il coefficiente di aggravamento sia indipendente dal tempo).

La ragionevolezza del modello di proiezione adottato può essere testata confrontando il comportamento di certe quantità da esso espresse, con le caratteristiche essenziali dello scenario evolutivo di mortalità e invalidità così come suggerite dalle tre teorie riportate nel precedente paragrafo. Le quantità cui ci si riferisce sono per esempio l’aspettativa di vita in stato di salute e l’aspettativa di vita in stato di invalidità.

Si consideri per esempio una persona nello stato al tempo e si definisca l’aspettativa di vita nello stato nel periodo come segue:

Con riferimento ad un modello a tre stati del tipo riportato in figura 3.5, posto , si possono definire le seguenti quantità:

 , l’aspettativa di vita in stato di salute per una persona sana;

 l’aspettativa di vita in stato di invalidità per una persona sana;

 l’aspettativa di vita in stato di invalidità per una persona invalida.

L’aspettativa totale di vita per una persona sana risulta quindi essere la seguente:

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Con riferimento ad un soggetto che entra all’epoca 0 in una polizza LTC in stato di salute, è possibile esprimere le tre teorie di evoluzione della mortalità e dell’invalidità di cui al precedente paragrafo, in termini di evoluzione delle due componenti dell’aspettativa totale di vita (Ferri e Olivieri, 2000). In accordo all’esperienza di mortalità registrata sia tra le persone sane che invalide, aumenta in ciascuno dei tre scenari, ma in modo diverso:

 con un maggior contributo (in termini relativi) da parte di per la

Compression theory;

 con un maggior contributo (in termini relativi) da parte di in base alla

Pandemic theory;

 e aumentano invece a tassi simili per la Equilibrium theory.

A questo punto, definita una “tavola di base”139

sulla quale applicare i vari modelli di proiezione, risulta opportuno costruire gli scenari evolutivi ipotetici nel seguente modo (Ferri e Olivieri, 2000):

 uno scenario evolutivo “medio” in cui si assume una diminuzione “media” dei tassi di mortalità e la stabilità dei parametri della legge di invalidità rispetto allo scenario di base; si tratta di uno scenario che può essere considerato come espressivo dell’evoluzione demografica suggerita dalla Equilibrium theory;

 uno scenario evolutivo particolarmente “ottimistico” per l’assicuratore (in quanto ipotizza un basso livello dei costi previsti) nel quale si assume un leggero incremento dell’aspettativa totale di vita rispetto alla tavola di base, dato da un aumento percentuale dell’aspettativa di vita in stato di salute maggiore dell’incremento percentuale dell’aspettativa di vita in stato di invalidità; questo scenario riflette bene le conseguenze dipinte dalla Compression theory;

 uno scenario evolutivo “pessimistico” (in quanto comporta elevati costi per l’assicuratore) in cui si assume una forte diminuzione dei tassi di mortalità accompagnata da un sostanziale incremento dei tassi di disabilità rispetto allo scenario base, con un conseguente aumento sia dell’aspettativa totale di vita che dell’invalidità; si tratta di uno scenario che ben si concilia con le ipotesi espresse

139 _{Tavola derivata dalle osservazioni cross-sezionali più recenti della mortalità e dell’invalidità delle}

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dalla Pandemic theory. In realtà, quest’ultima non prevede un esplicito incremento dei tassi di disabilità; tuttavia occorre sottolineare il fatto che tale scenario pessimistico possa ragionevolmente includere un rischio di sottostima delle intensità di transizione dovuto al fatto che esse sono ottenute a partire da dati medici nazionali e non da dati forniti dall’esperienza assicurativa;

 una serie (più o meno articolata a seconda del livello di profondità che si vuole dare all’analisi) di scenari evolutivi con caratteristiche intermedie tra lo “scenario medio”, ipotizzato al primo punto, e gli “scenari estremi” previsti nei due punti successivi.

È utile specificare che, nell’ambito dell’impostazione qui data all’analisi, la definizione degli alternativi scenari evolutivi consiste nell’attribuzione di diversi valori ai parametri delle leggi selezionate per modellizzare i fenomeni di mortalità e di invalidità (per cui rispettivamente per le coppie ( ) e ( ) in modo tale da ottenere gli effetti sopracitati sulle quantità , e in relazione alle medesime quantità

contemplate dallo scenario di base.

Una via alternativa140 potrebbe essere quella di risalire a diversi valori per la coppia di parametri della legge di Weibull ( ) a partire dalle proiezioni fornite dall’ISTAT in cui si ipotizza in ogni caso un aumento dell’aspettativa totale di vita (ipotesi di diminuzione bassa, media, elevata della mortalità141). Mentre con riferimento alla coppia di parametri caratteristici della legge di Gompertz ( , si potrebbe ipotizzare di prendere in considerazione la sola informazione disponibile all’istante iniziale 0, per cui supporre costante (rispetto alla tavola di base) il parametro , e di determinare il parametro di posizione in modo da rappresentare, con riguardo allo scenario di base, una diminuzione per esempio del 40%, una diminuzione del 10% ed un aumento del 20% nel trend di invalidità. In base a questa seconda alternativa, dalla combinazione delle proiezioni di mortalità e di invalidità, si otterrebbe un totale di nove scenari evolutivi ipotetici142.

140 _{Si fa riferimento in particolare alla procedura seguita da Levantesi e Menzietti in: “Longevity and}

disability risk analysis in enhanced life annuities”, Proceedings of the 1st LIFE Colloquium, Stockholm, (2007).

141 _{Si rinvia a: “ISTAT: Previsioni della popolazione residente per sesso e regione dal 1.1.2001 al}

1.1.2051. Settore Popolazione”, ISTAT, Roma (2002).

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