CAPITOLO 3 Assicurazioni Long Term Care
3.3 Il modello probabilistico
Con l’obiettivo di costruire un modello di rischio che, secondo un approccio RM, agevoli le compagnie assicurative e i fondi pensione/sanitari in una gestione consapevole del rischio di longevità e di disabilità (rischi biometrici), occorre innanzitutto selezionare un modello adatto alla descrizione del comportamento aleatorio della mortalità e dell’invalidità senile degli assicurati. L’approccio più diffuso nella rappresentazione dell’evoluzione delle polizze LTC, è quello che ricorre ai cosiddetti “modelli multistato”, che saranno di seguito illustrati.
In generale l’evoluzione di un rischio assicurativo può essere vista come una sequenza di eventi che determina i flussi di premi e di benefit. Nel caso delle assicurazioni LTC tali eventi includono l’invalidità, l’insorgere di una particolare malattia, la guarigione, la morte, e così via. È possibile descrivere l’evoluzione di un rischio in termini di presenza del rischio stesso, in ogni istante temporale, in un certo stato appartenente ad un insieme di predeterminati stati possibili (o spazio degli stati), e far corrispondere i sopracitati eventi alle transizioni da uno stato all’altro.
Formalmente si indichi con lo spazio finito degli stati di rischio possibili, per cui:
e con l’insieme delle “transizioni dirette” tale che esso risulti un sottoinsieme del set di coppie così definito:
Dato lo stato 1 come lo stato iniziale del rischio al tempo 0, si assume che tutti gli stati possono essere raggiunti dallo stato 1 tramite transizioni dirette o indirette131
. La coppia è detta “modello multistato”. Occorre notare che un modello multistato
131 Si definiscono “transizioni dirette” i passaggi da un certo stato di rischio ad un altro che configura una
situazione “peggiorativa” rispetto a quella dello stato precedente. Per esempio sono transizioni dirette i passaggi dallo stato “attivo” ”invalido LTC di primo livello”, “attivo” ”deceduto” o “invalido LTC di secondo livello” ”deceduto”. Si definiscono invece “transizioni indirette” i passaggi che consentono la cosiddetta “riattivazione” dallo stato di invalidità LTC, per esempio le seguenti transizioni: “invalido LTC di primo livello” “attivo”, “invalido LTC di secondo livello” “invalido LTC di primo livello”.
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del tipo descrive semplicemente “l’incertezza”132
intesa come l’aleatorietà relativa all’evoluzione di un rischio assicurato, mentre le valutazioni attuariali (necessarie per calcolare i premi unici, i premi periodici, le riserve matematiche, e così via) includono il calcolo di valori attuali e di valori attesi, per i quali si rendono necessarie rispettivamente una “struttura finanziaria”133 ed “una struttura
probabilistica”, atta quest’ultima ad esprimere una valutazione numerica dell’incertezza (Haberman e Pitacco, 1999).
Nell’ambito di una polizza LTC, in cui ,come si è detto, la storia assicurativa di un individuo viene solitamente modellizzata attraverso un modello multistato, si indica con lo stato aleatorio occupato dall’assicurato nell’istante , per ogni , dove t rappresenta la durata del contratto assicurativo e 0 l’istante di ingresso.
Nel prosieguo della trattazione si assumerà per semplicità un unico livello di disabilità, per cui le possibili realizzazioni di sono tre: 1 = “attivo” (o “sano”), 2 = “invalido LTC”, 3 = “deceduto”. Si ipotizzerà inoltre che l’assicurato faccia il proprio ingresso in polizza in stato di salute ( ) e che non sia prevista la riattivazione dallo stato di disabile LTC ad attivo, dato il carattere usualmente cronico dell’invalidità (per cui viene ignorata la transizione 2 → 1). La figura seguente mostra gli stati occupabili dagli assicurati in ogni istante temporale e le possibili transizioni tra stati.
Figura 3.5 – Modello multistato per una copertura LTC con un solo livello di disabilità.
Fonte: Levantesi e Menzietti, 2007.
132 Per la distinzione tra il concetto di “incertezza” e di “rischio” si rinvia alla prima parte del
sottoparagrafo 2.2.2 - Quantificazione.
133 Nella presente trattazione, in cui ci si focalizza sulla valutazione dei rischi biometrici, si assumerà la
più semplice delle strutture finanziarie possibili, ossia una struttura dei tassi di interesse deterministica e costante.
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Si indica con il processo stocastico a tempo continuo134
che assume valori nello spazio finito . Ogni possibile realizzazione del processo è detta “sentiero casuale”. Si è sopra accennato alla necessità di introdurre una struttura probabilistica per poter valutare numericamente l’incertezza dell’evoluzione della storia assicurativa di un individuo. Tale struttura deve essere pertinente rispetto agli eventi rilevanti per il sentiero casuale del rischio assicurativo considerato, e quindi rispetto ai flussi in uscita dei benefit e a quelli in entrata dei premi.
Nelle applicazioni attuariali relative alle LTC la struttura probabilistica più utilizzata è quella della catena di Markov non omogenea a tre o più stati. In particolare, un processo stocastico continuo è markoviano se, per ogni e per ogni insieme finito di istanti temporali e per ogni insieme finito di corrispondenti stati in con la seguente proprietà (la cosiddetta “proprietà di Markov”) è soddisfatta:
In altre parole si assume che la probabilità condizionale sul lato sinistro dell’uguaglianza (3.3) dipenda soltanto dall’informazione più recente e sia indipendente dalle realizzazioni di precedenti a .
Le probabilità condizionali , per e , sono chiamate “probabilità di transizione” in quanto indicano per l’assicurato le probabilità di passaggio da uno stato ad un altro, e sono indicate nel seguente modo:
Si è parlato di “catena di Markov non omogenea” con riferimento al fatto che, per tutti i tali che e tutti i in , la probabilità di transizione non
dipende solo da , bensì da e individualmente. Per cui si assume che le probabilità di transizione per ogni dato periodo varino nel tempo.
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Si definiscono invece “intensità di transizione” le seguenti grandezze:
Con riferimento ad un modello multistato, si possono derivare le seguenti equazioni differenziali simultanee rispettivamente per le probabilità di transizione e le probabilità di permanenza nel medesimo stato:
dove .
Nella procedura cosiddetta “Transition Intensities Approach” (TIA) si assume siano prima assegnate le intensità di transizione (tratte da osservazioni e che definiscono la struttura probabilistica del modello markoviano continuo), e poi da esse, tramite le soluzioni alle equazioni differenziali sopra riportate, siano derivate (almeno in principio135) le probabilità di transizione. Le soluzioni delle equazioni (3.6) e (3.7) sono date dalle seguenti probabilità:
135 “Almeno in principio” in quanto derivare le probabilità di transizione da un sistema di equazioni
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Nel contesto italiano, come si è già detto, le polizze LTC sono prodotti relativamente recenti, per cui i dati derivanti dall’esperienza assicurativa sulla richiesta di prestazioni LTC sono ancora inadeguati per il pricing e per la valutazione delle riserve. Al momento, i dati di tipo medico relativi all’intera popolazione italiana registrati dall’ISTAT costituiscono la miglior informazione disponibile. Tali dati nazionali però sono resi disponibili soltanto nella forma di prevalence rates136, consentono per cui di
valutare per varie fasce d’età le probabilità di essere non autosufficienti. La quantificazione di premi e riserve richiede invece la valutazione delle probabilità annue di transizione dallo stato attivo allo stato non autosufficiente, per cui risulta necessario stimare i cosiddetti “inception rates”, ossia i tassi di ingresso nello stato di non autosufficienza. Nella pratica attuariale tali tassi sono stimabili a partire dai prevalence
rates, ma solo con la preventiva assunzione di opportune ipotesi.
Nel paper intitolato “Longevity and disability risk analysis in enhanced life annuities” scritto da Levantesi e Menzietti (2007), i due autori ipotizzano la stabilità dei tassi di prevalenza delle persone disabili nei vari gruppi d’età e, a partire dai prevalence rates offerti dall’ISTAT, ottengono, attraverso una tecnica econometrica, una funzione esponenziale del tipo della (3.8).
Per cui anziché adottare la procedura TIA, a partire dai dati così elaborati, gli autori prima calcolano le probabilità , e 137, e poi stimano le
136 Prevalence rates =
.
137
Per quanto riguarda la mortalità tra gli invalidi, gli autori assumo che essa sia direttamente collegata con la mortalità tra gli attivi (poiché dati specifici non sono presenti, tale assunzione sembra piuttosto ragionevole): . Dove i valori del coefficiente (supposto
approssimato dalla seguente funzione: ) provengono dall’esperienza di un’importante compagnia di riassicurazione.
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intensità dalle equazioni (3.8), (3.9) e (3.10) tramite le seguenti formule di approssimazione:
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