Gli ultimi paragrafi dell’Appendix sono dedicati alle costruzioni con riga e compasso e a ricavare qualche propietà che lega l’area di un triangolo e la somma dei suoi angoli interni.
La prima costruzione presentata è quella di una parallela ad una semiretta data.
Costruzione 4.3.1 (§34). Sia −−→AN una semiretta e sia D un punto esterno ad essa; allora si può costruire una semiretta−−→DM con origine in D e parallela ad −−→AN .
Dimostrazione. Costruiamo DB, la retta perpendicolare ad AN e passante per il punto D. Per un qualsiasi punto A della retta AB, tracciamo la retta AE, perpendicolare ad AN nel piano ABD e sia DE ⊥ AE.
Se −−→
DM k−−→BN ,
allora, detto z = BDMb , come conseguenza del teorema 4.2.1 abbiamo ◦ED : ◦AB = 1 : sin z.
Ma sin z ≤ 1, quindi AB ≤ DE. Disegnamo un cerchio di centro A e raggio DE; esso intersecherà la semiretta −−→BD. Se il punto di intersezione è proprio B, allora avremo che l’angolo z è un angolo retto. Se invece il punto di intersezione è un punto O posizionato tra B e D, allora ED = AO e per 4.2.1 abbiamo
◦AO : ◦AB = 1 : sin A bOB. Quindi
z = A bOB.
Dunque, se l’angolo z è uguale all’angolo AOBb allora −−→
DM k−−→BN .
Questa costruzione è diversa da quella proposta da Euclide in I.31 negli Elementi, nonostante quest’ultima non coinvolga il quinto postulato. Tutta- via nella costruzione di Bolyai c’è un legame tra la semiretta costruita,−−→DM, e l’angolo z, ossia l’angolo di parallelismo. La costruzione successiva, inve- ce, possiamo vederla come l’inversa di §34, in quanto permette di ricavare il segmento corrispondente ad un dato angolo di parallelismo (nella figura è il segmento AB che corrisponde all’angolo MALb ), nell’ipotesi che non valga il postulato delle parallele.
Teorema 4.3.1(§35). Nell’ipotesi che sia valido il sistema S, dato un angolo acuto M bAL, si può costruire una linea retta, BN , che sia perpendicolare ad un lato di un dato angolo acuto e perpendicolare all’altro lato.
Di particolare importanza è il prossimo risultato. La prima parte garanti- sce la costruibilità di punti corrispondenti; mentre la seconda parte, facendo riferimento agli Elementi di Euclide, ci garantisce, date delle grandezze co- struibili, diciamo a, b e c, la costruibilità di√a + b e bca; inoltre, siccome sulle F-superfici, come abbiamo visto, vale la geometria euclidea, saranno possibili tutte le costruzioni che possono essere fatte in geometria euclidea.
Teorema 4.3.2 (§37). 1. Siano−−→AM e −−→BN semirette tali che −−→AM k−−→BN , allora è possibile scegliere il punto A in modo tale che si abbia AM l BN .
2. Per le L-linee date dai loro estremi, si possono ottenere gli estremi del quarto proporzionale e la media geometrica, e tutte le costruzioni che sono possibili nel piano, nel sistema Σ, possono essere fatte senza il postulato delle parallele sulla superficie F.
Una conseguenza di questo risultato è che un angolo è costruibile con riga e compasso se esso è costruibile nel sistema Σ.
Un’applicazione del teorema precedente è la seguente costruzione.
Costruzione 4.3.2 (§38). Costruiamo, con l’aiuto di §37 (4.3.2) un angolo N bBQ = 13R. Sia −−→AM perpendicolare a −BQ e parallela a−→ −−→BN nel sistema S (possiamo costruirla per §35, 4.3.1). Determiniamo J (con §37, 4.3.2) tale che J M l BN . Allora per la distanza JA = x vale (per §28, 4.2.1)
X = 1 : sin1
3R = 2. Quindi x è costruibile.
A questo punto della trattazione, sono presenti alcuni risultati che met- tono in relazione l’area di un triangolo con la somma dei suoi angoli interni. Viene dimostrato innanzitutto che due triangoli rettilinei aventi l’area e un lato uguali, hanno somma degli angoli interni uguale; successivamente viene visto che la somma degli angoli interni di due triangoli di area uguale è la stessa.
Infine, Bolyai giunge a questo risultato.
Teorema 4.3.3 (§42). Se 4ABC e 4DEF sono due triangoli tali che la loro somma degli angoli differisce da 2R di u e v, rispettivamente, allora
4ABC : 4DEF = u : v.
Quadratura del cerchio§43
Giunti all’ultimo paragrafo dell’Appendix, troviamo la quadratura del cerchio nell’ipotesi in cui sia valido il sistema S.
Osserviamo innanzitutto che si tratta di un procedimento di quadratura piut- tosto debole. Infatti la costruzione non fornisce una procedura generale che permette di costruire, a partire da un cerchio qualsiasi, un quadrato equiva- lente. Una tale procedura, come abbiamo già osservato, non esiste, in quanto, mentre i quadrati hanno l’area limitata da 2π, i cerchi invece possono avere area arbitrariamente grande.
Bolyai inizia questo paragrafo dimostrando quello che, forse, è il suo teo- rema più bello: trova una relazione tra l’area di un triangolo e la somma dei suoi angoli interni, ottenendo quello che per noi oggi è il teorema di Gauss- Bonnet applicato ad un triangolo. Il passo successivo sarà quello di calcolare l’area di un triangolo avente tutti e tre i vertici all’infinito facendone il limite.
Siano−→ACe−→ABdue semirette tali che−→AB⊥−→ACe consideriamo il triangolo ABC.
Da §42 (4.3.3) si sa che due triangoli stanno tra loro come i loro difetti, quindi facendo crescere AB indefinitamente, si avrà che il rapporto
4ABC : R − u − v resta costante. D’altra parte
4ABC → BACN,
dove per BACN si intende l’area del biangolo, così come è definita in §32 (4.2.3). Se AB cresce indefinitamente, l’angolo v → 0, quindi
R − u − v → R − u = z. Dunque si avrà che
BACN : z = 4ABC : R − u − v = BAC0N0 : z0. Da §30 (4.2.2) si ha che
r = k tan z, quindi
BDCN : BD0C0N0 = r : r0 = tan z : tan z0. Ma per y0 → 0, si ha che D0 → A, quindi
BD0C0N0 BAC0N0 → 1
e
tan z0 z0 → 1.
Dunque
BDCN : BACN = tanz : z
Per come è stata definita l’area di un biangolo in §32 (4.2.3), si ha che BDCN = rk,
inoltre, poiché r = k tan z (4.2.3), vale
BDCN = rk = k2tan z. Dunque
BACN = zk2.
Si può allora concludere che l’area di un triangolo avente difetto z è 4 = zk2.
Dunque, Bolyai ha ricavato usando un approccio sintetico, senza ricorrere cioè a tecniche di integrazione, il risultato sulla relazione tra area e difetto angolare per triangoli iperbolici. Da ciò segue che, se−→OR k−−→AM e−→RO k−→AB, come nella seguente figura,
allora l’area della figura racchiusa tra OR, ST , BC è proprio il limite lim
z→2R4 = πk 2
e, poiché sulla F-superficie vale la geometria euclidea, si ha che quest’ultima è proprio l’area di un cerchio euclideo di raggio k.
Facciamo riferimento di nuovo alla figura di inizio paragrafo e indichiamo il limite appena calcolato con . Come già ricordato, §30 (4.2.2) dà la relazione
r = k tan z, inoltre, poiché per §21 (4.1.1) si ha che sulla F-superficie vale la geometria euclidea, un cerchio di raggio r ha area π · r2; quindi
πr2 = tan2z · = r,
Inoltre, da §32 (4.2.3), questo valore è anche l’area di un cerchio iperbolico di raggio s (indichiamo con s), dove s è la corda che sottende l’arco di L-linea
_
DC= r, s = DC; infatti in §32 viene dimostrato che, dati r ed s come sopra, si ha 2r = 2s, provando che 2r = k(S − S−1), ossia r = k sinh s k.
A questo punto Bolyai costruisce z partendo da s. Quello che fa è bisecare perpendicolarmente s e costruire una semiretta −−→DB tale che
−−→
DB kl−−→CN ,
ricordiamo che tale operazione è possibile grazie alla costruzione §34 (4.3.1) della parallela ad una semiretta data. Tracciando poi la perpendicolare a DB, CA, e la perpendicolare a CA, CM, si ottiene z come z = NCMb . Quindi, prendendo come unità un qualsiasi segmento di L-linea, grazie alla seconda parte di §37 (4.3.2), si può costruire tan z con riga e compasso, con l’aiuto di due archi uniformi della stessa curvatura.
A questo punto, non resta che costruire un quadrato di area . L’idea è quella di costruire un triangolo rettangolo avente area pari a 1
8 di quella del
Siano
A bBC = R, B bAC = 1
2R, A bCB = 1 4R. Si vuole determinare BC = x. Da 4.2.2 si sa che
cosR 2 : sin R 4 = 1 2 X + X −1 ,
quindi X può essere espresso usando solo radici e, per 4.3.2, può essere co- struito. Usando 4.3.2, quindi, si può determinare x a partire da X. Infine, è ovvio che
= 8 · 4ABC.
Una volta completata la costruzione di un quadrato ed un cerchio di area π, Bolyai tentò una generalizzazione. Egli affermò che la quadratura del cerchio è possibile se e solo se tan2z è un intero oppure è un razionale tale
che tan2z = m
n con (m, n) = 1 e n un intero per cui sia costruibile un n-agono
regolare.
È presente qui un riferimento esplicito al teorema di Gauss(-Wantzel): Bolyai osservò che per dividere l’area è necessario dividere l’angolo 2R, che appunto equivale a costruire un n-agono regolare. Osserviamo come Bolyai si appellò a tale risultato, per dimostrare che la condizione da lui trovata è necessaria e sufficiente e concludere così la sua quadratura del cerchio. Tuttavia, occorre tenere presente, il criterio dimostrato da Gauss dava condizioni solo sufficienti. Fu Wantzel a completare la dimostrazione, provando che la condizione fosse anche necessaria solo nel 1836, soltanto quattro anni dopo la pubblicazione dell’Appendix.
Bolyai conclude la sua opera affermando, ancora una volta, che resta da dimostrare l’impossibilità di decidere quale dei due sistemi sia valido nella realtà e rimanda questa trattazione ad occasioni più appropriate. Sappiamo che in realtà Bolyai non pubblicò più niente a riguardo, anche se continuò a dedicarsi alle sue richerche.
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