Semipiano complesso superiore

Nel seguito identificheremo C con R2_.

Definizione 2.2.1. Il semipiano complesso superiore H è l’insieme dei nu- meri complessi con parte immaginaria positiva:

H = {z ∈ C | Im(z) > 0}. Definizione 2.2.2. Il bordo di H è definito come

∂H = {z ∈ C | Im(z) = 0} ∪ {∞}. ∂H è anche detto circolo all’infinito.

Introduciamo ora la nozione di integrale di linea che ci servirà in seguito per definire una distanza in H.

Definizione 2.2.3. Un cammmino σ nel piano complesso C è l’immagine di una funzione continua σ : [a, b] → C, dove [a, b] ∈ R è un intervallo.

Assumiamo che σ sia un cammino differenziabile e che σ0 _{sia continua,}

ossia che σ sia di classe C1.

Definizione 2.2.4. Fissato un cammino σ e data una funzione continua f : C → R, l’integrale di f lungo σ è definito come

Z σ f := Z b a f (σ(t)) | σ0(t) | dt, dove | σ0(t) |=p[Re(σ0_(t))]2_{+ [Im(σ}0_(t))]2_.

Siamo ora pronti per definire la lunghezza iperbolica di un cammino Definizione 2.2.5. Sia σ : [a, b] → H un cammino di classe C1_{. La lun-}

ghezza iperbolica di σ è definita come l’integrale della funzione f : H → R, f (z) = _Im(z)1 , lungo σ: L_H := Z b a | σ0_{(t) |} Im(σ(t))dt.

Siamo pronti ora per definire la distanza iperbolica tra due punti in H Definizione 2.2.6. Siano z, z0 _{∈ H. La distanza iperbolica tra z e z}0, d_H(z, z0) è definita come

Osservazione 2.2.1. d_H è effettivamente una distanza. Infatti • dH(z, z 0_{) ≥ 0} • dH(z, z 0_{) = 0 ⇔ z = z}0 • dH(z, z 0_{) = d} H(z 0_{, z)} • dH(x, z) ≤ dH(x, y) + dH(y, z), ∀x, y, z ∈ H

Dimostrazione. Vediamo solo la dimostrazione della disuguaglianza triango- lare.

Siano σ1 : [a, b] → H e σ2 : [b, c] → H due cammini C1 a tratti tali che

σ1(a) = x, σ1(b) = σ2(b) = y e σ2(c) = z per certi x, y, z ∈ H. Definiamo un

altro cammino, σ : [a, c] → H, tale che

σ(t) = ( σ1(t) se t ∈ [a, b] σ2(t) se t ∈ [b, c] σ è C1 _{a tratti e vale} L_H(σ) = L_H(σ1) + LH(σ2)

Poiché dH è l’estremo inferiore dell’inisieme delle lunghezze di cammini di

questo tipo, abbiamo

condH(x, z) ≤ LH(σ) = LH(σ1) + LH(σ2) ≤ dH(x, y) + dH(y, z).

Il nostro scopo ora è, dati due punti in H, trovare il cammino che li col- lega con minima lunghezzza, ossia vogliamo studiare le geodetiche di questo modello. Iniziamo studiando le equazioni di rette e circonferenze.

Osservazione 2.2.2. Consideriamo una retta in R2 _{di equazione}

ax + by + c = 0, con a, b, c ∈ R. Scrivendo z = x + iy otteniamo che

x = 1

2(z + z), y = 1

2i(z − z). Sostituendo nell’equazione della retta, otteniamo

1

2(a − ib)z + 1

2(a + ib)z + c = 0. Chiamiamo 1₂(a − ib) = β ed otteniamo

Osservazione 2.2.3. Consideriamo una circonferenza in R2, di centro (x0, y0)

e raggio r; la sua equazione sarà quindi

(x − x0)2+ (y − y0)2 = r2

Siano z = x + iy e z0 = x0 + iy0. Sostituendo come nell’osservazione

precedente, otteniamo

zz − z0z − z0z + z0z0 − r2 = 0.

Chiamiamo β = −z0 e γ = z0z0− r2, allora l’equazione della circonferenza

diventerà

zz + βz + βz + γ = 0. (2.4)

A questo punto, se mettiamo insieme le due equazioni ottenute nelle precedenti osservazioni, otteniamo la seguente proposizione.

Proposizione 2.2.1. Sia A una retta o una circonferenza in C. Allora A avrà equazione

αzz + βz + βz + γ = 0, dove α, γ ∈ R e β ∈ C.

Inoltre vale il seguente risultato.

Proposizione 2.2.2. Sia A una circonferenza o una retta in C che soddisfa all’equazione

αzz + βz + βz + γ = 0.

Supponiamo che β ∈ R. Allora A è una retta verticale oppure un cerchio con centro sull’asse reale.

Nel seguito indicheremo con H l’insieme delle rette verticali e dei semi- cerchi ortogonali a R nel semipiano complesso superiore H, ossia

H = {z ∈ H | αzz + βz + βz + γ = 0, con α, β, γ ∈ R}. (2.5) Per facilitare lo studio delle geodetiche di H, definiamo particolari mappe, dette trasformazioni di Möbius.

Definizione 2.2.7. Siano a, b, c, d ∈ R taliche ad − bc > 0. L’applicazione γ : H → H, tale che γ(z) = az + b

cz + d, è detta trasformazione di Möbius di H. Osservazione 2.2.4. Le trasformazioni di Möbius di H sono mappe biettive. Se γ è l’applicazione tale che γ(z) = az + b

cz + d, allora la sua inversa è γ

−1_{(w) =}

b − dw cw − a.

Osservazione 2.2.5. L’insieme delle trasformazioni di Möbius è un gruppo con la composizione, lo indichiamo con M ¨_ob(H).

Osservazione 2.2.6. Data γ ∈ M ¨_{ob(H), γ(z) =} az+b_cz+d, possiamo estenderla a ∂H nel seguente modo: per quanto riguarda il punto in cui il denomna- tore non è definito, z = −d_c, definiamo γ(−d/c) = ∞; mentre per z = ∞, definiamo γ(∞) = a_c (lo otteniamo come limz→∞γ(z)).

Proposizione 2.2.3. Sia A ∈ H e sia γ ∈ M ¨_{ob(H), allora γ(A) ∈ H.} Dimostrazione. A ∈ H, allora A soddisfa

αzz + βz + βz + δ = 0,

con α, β, δ ∈ R. Calcoliamo l’equazione di γ(A). Sia w ∈ H tale che w = γ(z) = az+b_cz+d (esiste perché γ è bietiva), allora z = b−dw_cw−a. Sostituendo e raggruppando, otteniamo

α0zz + β0z + β0z + δ0 = 0,

dove α0 _{= αd}2_{− βd − βcd, β}0 _{= βad + βbc − αbde δ}0 _{= αb}2_{− 2βab + δ. Quindi}

γ(A) ∈ H.

Dimostriamo ora un’importante proprietà delle trasformazioni di Möbius, ossia il fatto che esse sono isometrie di H.

Proposizione 2.2.4. Sia γ ∈ M ¨_{ob(H). Allora γ è un’isometria di H, ossia,} per ogni z, z0 ∈ H vale

d_H(γ(z), γ(z0)) = d_H(z, z0).

Dimostrazione. Sia σ un cammino C1 _{a trati che congiunge i punti z e z}0_,

allora γ ◦ σ è un cammino C1 a tratti che congiunge γ(z) e γ(z0_{). Quindi per}

dimostrare che γ è un’isometria, basta dimostrare che LH(γ ◦ σ) = LH(σ).

Sia γ(z) = az−b

cz−d ∈ M ¨ob(H). Abbiamo che

| γ(z) |= ad − bc

| cz − d |, ∀z ∈ H e

Im(γ(z)) = ad − bc

Sia σ : [a, b] → R un cammino di estremi z e z0_{. Allora} L_H(γ ◦ σ) = Z b a | (γ ◦ σ)0_{(t) |} Im(γ ◦ σ)(t)dt = Z b a | γ0_{(σ(t)) || σ}0_{(t) |} Im(γ ◦ σ)(t) dt = Z b a ad − bc | cσ(t) + d |2 | σ 0 (t) | | cσ(t) + d | 2 (ad − bc)Im(σ(t))dt = Z b a | σ0_{(t) |} Im(σ(t))dt = LH(σ).

Il nostro obiettivo, a questo punto, è dimostrare che gli elementi di H sono le geodetiche di H. Premettiamo alcuni lemmi che ci serviranno in seguito. Proposizione 2.2.5. Siano a, b ∈ R tali che 0 < a ≤ b. Allora la distanza iperbolica tra ia e ib è

d_H(ia, ib) = log b a.

Inoltre la retta verticale che collega ia e ib è l’unico cammino con questa lun- ghezza, ogni altro cammino che congiunge i due punti ha lunghezza iperbolica strettamente maggiore, dunque tale retta è una geodetica.

Dimostrazione. Consideriamo σ(t) = it, a ≤ t ≤ b. Quindi σ è un cammino con estremi ia e ib; calcoliamone la lunghezza. Abbiamo che

| σ0_{(t) |=| i |= 1} e Im(σ(t)) = t, dunque L_H = Z b a 1 tdt = log b a. Sicuramente abbiamo che dH(ia, ib) ≤ log

b

a; proviamo che ogni altro cammino

ha lunghezza maggiore.

y(0) = a e y(1) = b, allora L_H(σ) = Z 1 0 px0_(t)2_{+ y}0_(t)2 y(t) dt ≥ Z 1 0 | y0(t) | y(t) dt ≥ Z 1 0 y0(t) y(t)dt = log y(t)|1₀ = log b a.

Quindi ogni cammino tra ia e ib ha lunghezza maggiore di log b

a. Osserviamo

infine che questo minimo si realizza quando x0_{(t) ≡ 0, ossia quando x(t) è}

costante e questo equivale a dire che σ è una retta verticale.

Abbiamo dimostrato, quindi, che l’asse immaginario è una geodetica. Al fine di dimostrare che tutti gli elementi di H sono geodetiche, proviamo ora che tali elementi possono essere mappati sull’asse immaginario tramite una trasformazione di Möbius.

Lemma 2.2.1. Sia H ∈ H. Allora esiste una trasformazione di Möbius, γ, che mappa in maniera biettiva H con l’asse immaginario.

Dimostrazione. Diviamo la dmostrazione in due casi.

Caso 1: H è una retta verticale Re(z) = a. In questo caso basta considerare la traslazione γ : z 7−→ z − a: γ è una trasformazione di Möbius e mappa H sull’asse immaginario Re(z) = 0.

Caso 2: H è una semicirconferenza con estremi ζ−_{, ζ}+ _{∈ R, ζ}− _{< ζ}+. Conside-

riamo allora la mappa

γ(z) = z − ζ

+

z − ζ−.

γ è una trasformazione di Möbius, quindi γ(H) ∈ H. Inoltre γ(ζ+) = 0 e γ(ζ−

) = ∞, quindi γ(H) = iR.

Vale, inoltre, il seguente risultato.

Teorema 2.2.1. Le geodetiche di H sono gli elementi di H. Inoltre dati due punti di H, esiste sempre un unica geodetica che li connette.

Dimostrazione. Siano z, z0 ∈ H. Possiamo sempre trovare un elemento A ∈ H che li contiene entrambi. Applichiamo la trasformazione di Möbius γ trovata nel lemma precedente, in modo che γ(z) e γ(z0_{)siano sull’asse imma-}

ginario. Dalla proposizione 2.2.5 sappiamo che l’asse immaginario è l’unica geodetica che connette γ(z) e γ(z0_{). Applicando γ}−1_{, abbiamo che A è l’unica}

geodetica passante per z e z0_.

Concludiamo questa sezione trovando un’espressione analitica per la di- stanza tra due punti in H.

Proposizione 2.2.6. Siano z, w ∈ H. Allora la distanza dH(z, w) è tale che

cosh d_H(z, w) = 1 + | z − w |

2

2Im(z)Im(w).