Come ben evidenziato in [3] e riportato al capitolo 2 i maggiori fattori che influenzano l’usura del pneumatico risultano essere la velocit`a relativa tra il battistrada e l’asfalto e l’andamento della pressione nell’impronta di contatto. Il primo fattore, come in seguito spiegato, verr`a correlato allo scorrimento della gomma mentre il secondo, dal momento che non si dispongono dei dati necessari alla creazione di un complesso modello FEM che riesca a descrivere in modo accurato l’andamento e il valore della pressione tra strada e pneuma- tico per ogni punto dell’impronta di contatto, verr`a assunto proporzionale al carico verticale che agisce sulla ruota. `E quindi necessario legare tali grandez- ze agli output della simulazione Aerolap e per fare ci`o non si pu`o fare a meno di introdurre alcune ipotesi semplificative.
Per determinare la funzione che pi`u correttamente lega la fisica del fenomeno di usura al valore degli scorrimenti del pneumatico `e stato usato il modello a spazzola, una cui rappresentazione schematica `e riportata in Figura 6.1, in cui sono evidenziate anche le grandezze che lo caratterizzano: Vc `e la velo-
cit`a lineare del centro dell’impronta a terra, indicato con C; Vr `e la velocit`a
lineare della cintura a cui sono attaccate le setole, coincidente con il prodotto tra la velocit`a di rotazione del cerchione ed il raggio ruota; ex rappresenta
la distorsione della singola setola che una volta moltiplicata per la rigidezza della stessa restituisce la forza a terra sviluppata dalla setola; infine xsindica
il punto dell’impronta a terra in cui la deformazione richiesta alla setola per rimanere aderente al terreno diventa eccessiva, di conseguenza da questo pun- to in poi le setole strisceranno rispetto a terra. Prendendo spunto da questa modellazione schematica del pneumatico si vorrebbe rappresentare l’usura co- me lo spessore di battistrada che si asporta in seguito ad un uso intensivo di esso. Aderenza Strisciamento Setole xs Cintura x Vr Strada -ex Vc ^ y^ z^ c
Figura 6.1: Modello a spazzola durante una frenata
Partendo dal modello a spazzola, una cui trattazione analitica completa si pu`o trovare in [1], appare ovvio correlare l’usura con la velocit`a relativa tra la punta della setola e la strada:
usura ∝ Vµ(ˆx, ˆy, t)
dove Vµ indica appunto la velocit`a di strisciamento tra strada e punta della
setola che, come indicato, `e funzione del tempo, ma anche della posizione della setola che si prende in esame rispetto al sistema di riferimento riportato in Figura 6.1. Per ogni coppia di valori (ˆx, ˆy) si identifica un punto dell’impronta di contatto che indica la radice di una setola diversa ad ogni istante di tempo. Per ricavare l’andamento della funzione Vµ si pu`o seguire il procedimento
proposto in [1], al quale si applicano per`o alcune semplificazioni ritenute ac- cettabili nel presente lavoro in quanto si vuole privilegiare la semplicit`a del modello anche a scapito della sua generalit`a. In particolare si accettano le ipotesi semplificative di seguito riportate:
1. Angolo di camber nullo.
3. Si trascura la velocit`a d’imbardata del pneumatico. Tale velocit`a pu`o essere frutto dell’angolo di camber, che per`o `e gi`a stato assunto nullo, o dell’angolo di sterzo. Anche questo secondo contributo verr`a trascurato. Una volta ammesse le ipotesi riportate in precedenza si pu`o ricavare la velocit`a del centro dell’impronta a terra del pneumatico direttamente dai valori delle velocit`a del baricentro della vettura attraverso le formule della cinematica del corpo rigido; per esempio, per la ruota anteriore sinistra:
Vc(t) = Vcx(t)i + Vcy(t)j
Vcx = u + r
t1
2 Vcy = v + ra
dove, rispetto ai simboli utilizzati in precedenza, in queste formule compaiono t1, che rappresenta la carreggiata anteriore, e a che simboleggia il semipasso
anteriore.
Avendo trascurato la velocit`a d’imbardata del pneumatico tutti i punti dell’im- pronta di contatto si muovono con la stessa velocit`a, coincidente con quella del centro di essa. Concentrandosi quindi sulla singola setola la velocit`a relativa tra la radice di essa e la strada si pu`o trovare banalmente come:
Vs(t) = Vc− ωcrri
dove ωc rappresenta la velocit`a angolare del cerchione e rr il raggio ruota.
Per riportarsi alla velocit`a relativa tra strada e punta della setola occorre aggiungere quella tra radice e punta di essa, ottenibile come derivata della deformazione che quest’ultima deve sopportare:
Vµ(ˆx, ˆy, t) = Vs(t) + ˙e(ˆx, ˆy, t)
Per ricavare la funzione e(ˆx, ˆy, t) si possono utilizzare le ben note leggi del- l’attrito:
Nella zona di aderenza, per definizione, la velocit`a di strisciamento tra punta della setola e strada `e pari a 0, quindi vale:
Vµ(ˆx, ˆy, t) = Vs(t) + ˙e(ˆx, ˆy, t) = 0
Nella zona di strisciamento invece non si conosce la velocit`a della pun- ta della setola, che sar`a diversa da quella della strada per definizione di strisciamento, ma si conosce l’entit`a della forza che si sviluppa e la sua direzione, coincidente con quella della velocit`a di strisciamento. Di conseguenza la grandezza cercata si pu`o trovare attraverso:
kse = µdp(ˆx, ˆy)
Vµ
|Vµ|
dove ks indica la rigidezza della setola e µd il coefficiente di attrito
dinamico tra strada e pneumatico, mentre p(ˆx, ˆy) `e la distribuzione di pressione che vige nell’impronta di contatto.
Una volta che l’andamento della funzione e(ˆx, ˆy, t) nella zona di aderenza `e noto, le coordinate (ˆx, ˆy) del punto di transizione tra la zona di aderenza e quella di strisciamento sono ricavabili dall’equazione:
ks|e| = µsp(ˆx, ˆy)
dove µs indica il coefficiente di attrito dinamico tra strada e pneumatico.
Si ritiene importante far notare che le prime due equazioni riportate sono vettoriali, di conseguenza, una volta scritte per i due assi del sistema di rife- rimento di Figura 6.1, sono sufficienti per ricavare le due componenti (ex ed
ey) del vettore deformazione lungo di essi. Il procedimento appena proposto,
quindi, restituisce una funzione Vµ(ˆx, ˆy, t) che esprime il valore della velocit`a
relativa tra punta della setola e strada per ognuna delle setole che si trovano, in un determinato istante di tempo, nell’impronta di contatto. Di conseguen- za varr`a 0 per le setole che sono in aderenza con la strada mentre avr`a un valore diverso da questo per quelle che si trovano nella parte dell’impronta in strisciamento. Con l’andare del tempo cambieranno le condizioni in cui si trova il pneumatico e quindi la parte d’impronta in strisciamento rispetto a quella in aderenza pu`o cambiare, conseguentemente le stesse coordinate (ˆx, ˆy) possono identificare una zona in aderenza o meno al variare del tempo. In un determinato punto di coordinate (ˆx, ˆy) quindi, con il passare del tempo, indipendentemente dalle condizioni di aderenza o meno in cui si trova quel- la zona di impronta di contatto, si verranno a trovare diverse setole. Ogni setola quindi, durante il giro della ruota, dovr`a attraversare una prima zo- na dell’impronta di contatto che generalmente sar`a in condizioni di aderenza, perci`o non contribuir`a all’usura della stessa e una seconda zona in cui invece vige il regime di strisciamento e di conseguenza avr`a effetto sul consumo della gomma.
Purtroppo non `e possibile esprimere l’usura attraverso una formula ma- tematica che includa direttamente Vµ, anche se sarebbe ritenuta rigorosa e
in accordo con la fisica del problema, poich´e tale grandezza dipende da molte quantit`a incognite e non ricavabili dai dati disponibili quali i due coefficienti di attrito, la rigidezza della setola e la distribuzione delle pressioni nell’impronta di contatto. Per questa ragione `e stato necessario utilizzare, nella formula finale di usura, delle grandezze alternative alla velocit`a di strisciamento tra punta della setola e strada. Si `e comunque prestata attenzione ad impiegare quantit`a che ad essa siano legate. Ovviamente si `e ben consapevoli che questa approssimazione va a scapito del rigore del modello.
Avendo a disposizione solamente l’acquisizione delle telemetrie `e stato ne- cessario correlare direttamente l’usura agli scorrimenti del pneumatico ricava- bili secondo le equazioni:
σx = Vcx ωcrr σy = Vcy ωcrr
Tuttavia, come ben rimarcato anche in [1], tali quantit`a non caratterizzano tanto il pneumatico quanto il cerchione dal momento che non sono propor- zionali alla velocit`a di strisciamento tra la punta della setola e la strada, ma tra quella della strada e quella di rotazione del cerchio che al massimo pu`o essere correlata con la velocit`a della radice della setola, ad esso attaccata. Si ritiene comunque importante precisare che sebbene si sia costretti ad accettare questa ipotesi semplificativa, la scelta di correlare l’usura con gli scorrimenti, seppur non totalmente rigorosa, `e stata fatta prestando attenzione a rispettare la fisica del problema: uno scorrimento alto infatti significa un uso intensivo del pneumatico, data la nota proporzionalit`a tra di esso e la forza sviluppata a terra da quest’ultimo, espressa nella Magic Formula, ed appare lecito atten- dersi un’usura maggiore nelle condizioni in cui la gomma viene maggiormente stressata. Ovviamente, come ulteriore conseguenza di questa approssimazio- ne, non sar`a pi`u possibile distinguere tra le setole che si trovano all’interno della parte dell’impronta in aderenza e quelle in condizioni di strisciamento: tutta l’impronta di contatto sar`a caratterizzata dallo stesso valore di scorri- mento in un dato istante di tempo e in tale istante sar`a soggetta alla stessa usura. Come ulteriore evidenza del fatto che la scelta operata mantiene delle solide basi fisiche si ritiene importante anche far notare che in seguito ad un aumento dello scorrimento della gomma, e quindi della velocit`a relativa tra strada e cerchio, si ha anche un aumento della velocit`a Vs e di conseguenza
anche della Vµ.
In definitiva la dipendenza dell’usura dalla velocit`a di strisciamento del pneumatico e dal carico verticale su di esso `e stata espressa secondo la formula:
usura(T ) = Z T
0
|κy|VcyFzdt
dove κy indica il valore dello scorrimento laterale pratico e Fzquello del carico
verticale sulla ruota. κy differisce da σy, che rappresenta invece lo scorrimento
teorico, per il denominatore della frazione che lo definisce. Esso infatti `e definito come:
κy =
Vcy
Vcx
= tan α
e, facendo riferimento alla Figura 6.2 si pu`o notare come esso coincida con la tangente dello slip angle. L’operazione di valore assoluto `e stata inserita per eliminare la dipendenza del segno di α dal verso della curva percorsa. Sebbene si sia consapevoli che in realt`a gli scorrimenti teorici siano un modo migliore per descrivere il comportamento del pneumatico rispetto a quelli pratici, non `e stato possibile utilizzare σy nella definizione matematica dell’usura perch´e
tra le grandezze in uscita dalla simulazione Aerolap non `e presente ωc, ma
solamente α, attraverso il quale, tramite la formula sopra riportata, si pu`o risalire a κy.
Osservando la definizione matematica di usura si possono notare alcune peculiarit`a che `e opportuno analizzare pi`u in dettaglio. In primo luogo `e evidente che oltre allo scorrimento e al carico verticale `e stata inserita la di- pendenza anche da Vcy che `e la velocit`a lineare di traslazione della ruota lungo
δ
α β
Vc
xruota
yruota
Figura 6.2: Definizione e convenzione sul segno dello slip angle
l’asse yruota di Figura 6.2, dove si pu`o notare anche la convenzione accettata
per il segno di α. Tale fattore `e necessario per convertire lo scorrimento in una sorta di velocit`a di strisciamento in quanto esso `e un rapporto tra velocit`a e non una velocit`a assoluta. Inoltre il prodotto Vcydt coincide con l’infinitesimo
dello spazio relativo percorso, sempre in direzione di yruota, tra i due corpi
in contatto: pneumatico e strada. Dall’analisi della letteratura riportata al capitolo 2 anche questa risulta una grandezza chiave nel processo di usura di un materiale.
In secondo luogo `e evidente come non sia stato conteggiato il contributo dello scorrimento longitudinale,e quindi delle manovre di frenata e accelerazione, all’usura. Ovviamente si `e consapevoli che anche in queste fasi il pneuma- tico si usura, ma non `e stato possibile considerare questo effetto in quanto lo scorrimento longitudinale non `e ricavabile dalle grandezze in uscita dalla simulazione Aerolap perch´e, come affermato nel capitolo 4, Aerolap non mo- della il comportamento in longitudinale del pneumatico e si affida solamente allo shape factor senza calcolare il valore di σx.
Per ricavare questa variabile allora si sono tentati pi`u approcci diversi: Inizialmente si `e provato a mischiare le grandezze uscenti dalla simula-
zione con quelle note tramite le telemetrie. Infatti nel primo set di dati si trovano gli angoli di deriva delle ruote, assenti invece tra i dati di pista, mentre nel secondo set sono presenti le velocit`a angolari di esse ricavate tramite le foniche. Utilizzando i dati sulle derive `e stato quindi possibile ricavare la velocit`a trasversale risolvendo l’equazione di congruenza di una delle 4 ruote (di seguito riportata per la ruota posteriore sinistra a titolo di esempio):
α21=
v − rb u − rt2
Combinando l’andamento ricavato di v con le velocit`a angolari delle ruo- te e la velocit`a d’imbardata del veicolo presenti nell’acquisizione dei dati di pista secondo le formule riportate in precedenza, `e possibile risalire agli scorrimenti. Purtroppo tale approccio restituisce valori elevati de- gli scorrimenti longitudinali non solo in condizioni di frenata, quando effettivamente la ruota viene stressata, ma anche nelle zone in cui il pro- filo di velocit`a uscente dalla simulazione non coincide perfettamente con quello derivante dai dati di pista, cosa peraltro inevitabile per quanto la taratura del modello sia buona. Infatti al numeratore dello scorrimento longitudinale compare la differenza u − ωcrr nella quale u deriva dalla
simulazione mentre ωcrr deriva dai dati di pista ed `e legata al segnale
di velocit`a utilizzato per tarare l’andamento della u uscente dalla simu- lazione. Di conseguenza, come anticipato, le differenze presenti nei due segnali velocit`a veicolo dopo la taratura si ritrovano anche nello scorri- mento, come evidente dalla Figura 6.3 dove si riportano gli andamenti delle due velocit`a, quella acquisita e quella simulata, dell’accelerazione longitudinale simulata e di σx. Si vuole porre l’attenzione sul fatto che i
picchi pi`u alti di scorrimento non si hanno in corrispondenza delle frena- te con accelerazione longitudinale maggiore, ma nelle zone in cui i due segnali di velocit`a si discostano maggiormente l’uno dall’altro. Questo andamento dello scorrimento `e quindi molto influenzato dalla taratura del modello Aerolap oltre che dalla dinamica veicolo. Per questa ragione non `e stato ritenuto utilizzabile.
-32 -12 8 28 48 68 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 V e lo ci tà ( m/ s) A cc e le ra zi o n e L o n g it u d in a le ( m/ s^ 2 ) S co rr ime n to ( -) Tempo (s)
Scorrimento Long. Velocità Acq. Velocità Mod. Accelerazione Long.
Figura 6.3: Analisi dell’andamento dello scorrimento longitudinale ricavato
Poich´e si ha a disposizione il file .tir del pneumatico, si pu`o ricostruire la caratteristica di Pacejka anche in longitudinale e invertire la funzione numericamente in quanto da Aerolap si ha a disposizione l’andamen- to della forza longitudinale. Nel file .tir disponibile `e implementata la versione 5.2 della Magic Formula che quindi tiene in considerazione la dipendenza della forza sviluppata dal pneumatico dal camber e dal cari- co verticale, ma non dalla pressione di gonfiaggio della gomma, inserita
nella versione 6.2. L’andamento di queste due grandezze lungo il giro viene fornito in output dalla simulazione Aerolap, di conseguenza `e sta- to possibile elaborare un codice di calcolo in Dymola che invertisse la funzione di Pacejka per ricavare lo scorrimento a cui lavora la gomma, nota che sia la forza che essa sviluppa. Data la complessit`a matematica del problema ci si `e dovuti scontrare con diversi inconvenienti numerici. In definitiva questa soluzione `e stata scartata perch´e nonostante si riu- scisse ad invertire la formula, l’andamento ottenuto per lo scorrimento presenta in alcuni punti del giro caratteristiche fisicamente inaccettabili come testimoniato dalla Figura 6.4 dove si vede che durante alcune fre- nate lo scorrimento tende a diminuire nonostante la forza longitudinale aumenti.
Figura 6.4: Andamento della Fx del pneumatico e corrispondente σx derivante
dall’inversione della formula di Pacejka
`
E stato quindi necessario accettare che con il programma utilizzato non `e pos- sibile arrivare a conoscenza dell’andamento dello scorrimento longitudinale e introdurre l’ulteriore ipotesi di usura dipendente solamente dal comporta- mento laterale della gomma stessa. Ovviamente si `e ben coscienti che con tale approssimazione si andr`a a sottostimare l’effettiva usura che la gomma accumula lungo i giri.
Capitolo 7
Andamento del Coefficiente k
con l’Usura
Una volta accettata la formula matematica che definisce l’usura `e possibile calcolarne l’andamento in funzione del numero dei giri lungo il long run, di- versificando tra assale anteriore e posteriore. Per ottenere l’usura accumulata fino ad un determinato istante di tempo T `e sufficiente rielaborare con un’o- perazione matematica alcuni dei canali che escono dalla simulazione Aerolap in modo da ottenere: usuraA(T ) = Z T 0 tan2|αAS+ αAD| 2 Vcx (Fz,AS+ Fz,AD) dt usuraP(T ) = Z T 0 tan2|αPS+ αPD| 2 Vcx (Fz,PS+ Fz,PD) dt
dove le lettere D ed S indicano rispettivamente le ruote destra e sinistra men- tre A e P indicano l’assale anteriore e quello posteriore.
Il valore dell’integrale potrebbe essere calcolato in modo continuo nel tempo e utilizzato per aggiornare in tempo reale quello di k per tenere conto istante dopo istante del decadimento di prestazione della gomma. Questo procedi- mento, per`o, non `e consentito su Aerolap e quindi l’andamento dell’usura con il numero di giri percorsi ´e stato ricavato in modo discreto, cio`e calcolando il valore dell’integrale ad ogni giro ed aggiornando quello di k solo alla fine di esso. Tale valore quindi rimarr`a costante sul singolo giro. Ovviamente an- che questa `e un’approssimazione che `e necessario accettare dal momento che il software utilizzato non permette di variare le caratteristiche della gomma durante la simulazione del giro. Per stimare l’effetto che questa approssima- zione ha sull’accuratezza del risultato si pu`o ragionare confrontando due casi: l’aggiornamento del coefficiente k ogni giro e l’aggiornamento dello stesso ogni due giri. In particolare se il valore di k cambia ogni giro per un ipotetico long run di due giri si avrebbe un valore di usura al primo giro e un valore legger- mente maggiore di questo al secondo perch´e l’aver cambiato k dopo il primo passaggio ha abbassato la curva di Pacejka per tutto il secondo giro e quindi,
a parit`a di forza a terra richiesta ha aumentato le derive e di conseguenza anche l’usura. Nel caso in cui k venga aggiornato ogni due giri, invece, anche per il secondo passaggio si registrerebbe un’usura pari a quella del primo. Di conseguenza se si aggiornasse il valore di k ogni due giri anzich´e ogni giro si sottostimerebbe l’effettiva usura che il pneumatico deve sopportare. Ragio- nando per analogia, aggiornando il valore di k ogni giro si ottiene un valore di usura alla fine del giro minore rispetto a quello che si otterrebbe aggiornan- dolo in modo continuo nel corso di esso; l’effetto di questa approssimazione `e quindi quello di sottostimare l’effettiva usura che si ha sul pneumatico.
Accettando il procedimento proposto in precedenza, quello che si ottiene `e un andamento dell’usura monotonamente crescente con l’andare del numero di giri con pendenza leggermente pi`u che lineare. Infatti pi`u il pneumatico si usura pi`u la sua caratteristica di Pacejka si abbassa, e quindi a parit`a di forza lavora con un angolo di deriva maggiore, che a sua volta causa un aumento dell’usura. Quindi un pneumatico gi`a usurato, secondo la modellazione pro- posta, si usurer`a pi`u dello stesso nuovo, se entrambi sono sottoposti agli stessi sforzi. Quanto detto trova riscontro nelle Figure 7.1 e 7.2.
Una volta noti sia l’andamento dei k che quello dell’usura con il numero dei giri si pu`o ottenere anche quello dei primi in funzione della seconda semplice- mente attribuendo ad ogni giro il corrispondente valore di usura. Ovviamente, date le tendenze quasi lineari dell’usura in funzione del numero di giri, visi- vamente l’andamento di k in funzione di essa sar`a molto simile a quello gi`a mostrato al capitolo 5. Cambieranno per`o i coefficienti della funzione analitica che rappresenta questo andamento. In Figure 7.3 e 7.4 sono riportati i due andamenti oggetto del presente lavoro.
0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000 1600000 1800000 2000000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Usur a A (J ) # giri
0 100000 200000 300000 400000 500000 600000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Usur a P ( J) # giri
Figura 7.2: Andamento dell’usura sull’assale posteriore con il numero dei giri
0.81 0.815 0.82 0.825 0.83 0.835 0.84 0.845 0.85 0.855 0.86 0 200000 400000 600000 800000 1000000 1200000 1400000 1600000 1800000 2000000 k_a (- ) Usura A (J)
Figura 7.3: Andamento di kacon l’usura
0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0 50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 450000 500000 550000 600000 k_p (- ) Usura P (J)
Figura 7.4: Andamento di kpcon l’usura
Come anticipato, ed evidente anche dai valori presenti sugli assi dei due grafici riportati in Figure 7.3 e 7.4, e come conseguenza del processo di taratura del modello Aerolap, l’entit`a di questi coefficienti all’inizio del long run, quando