Definizione del Modello Elastico Lineare

Per poter rappresentare la cupola è stata, prima di tutto, generata una cupola semisferica, già dotata di mesh, attraverso l’ausilio di Autocad 3D e successivamente importata all’interno del programma Midas GEN il quale riconosce automaticamente i diversi elementi che compongono la mesh come elementi plate.

La suddivisione in elementi è stata fatta in modo tale da ottenere una mesh fitta abbastanza da poter considerare le dimensioni dei conci che costituiscono la cupola, la dimensione della maglia sarà quindi di circa 0,3 x 0,3m.

Generando una superficie della cupola suddivisa in tanti piccoli rettangoli, i quali fanno parte del reticolo, si sta ipotizzando la presenza di cerniere cilindriche a livello dei perimetri dei singoli elementini, si in direzione meridiana che parallela. L’inserimento di queste cerniere mi permette di annullare l’azione flettente all’interno della cupola, considerandola come una serie di “bielle” in grado di scambiare i soli sforzi normali.

Una volta importato il modello geometrico della cupola all’interno del Software sono state definite le proprietà del materiale, le condizioni al contorno ed i carichi a cui è soggetta.

Proprietà del materiale

Come già definito la cupola oggetto di analisi sarà caratterizzata dal sistema muratura le cui proprietà dipendono dalla tipologia di blocchi e malta considerati; nel presente caso si farà uso di valori medi che maggiormente si trovano in letteratura. Questa “imprecisione” viene trascurata in quanto il nostro obiettivo è la conoscenza del comportamento di una generica struttura; nel caso in cui si avesse a che fare con elementi reali le proprietà del materiale deriverebbero direttamente da prove sperimentali effettuate su campioni.

Si ipotizza che l’elemento cupola sia costituito di conci di tipo regolare in pietra tenera, tufo, ed una volta definito il materiale è possibile conoscere quelli che sono i parametri meccanici da considerare nelle analisi. Tali parametri vengono dedotti dalla tabella C8.5.I, sottostante, dell’Eurocodice 6 [21], la quale ci fornisce i valori i volari di riferimento per diverse tipologie di muratura, le più comuni all’interno dell’architettura italiana.

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Figura 49 - Tabella C8.5.I Eurocodice 6

La tabella dell’EC6 fornisce degli intervalli e non dei valori specifici, vista la variabilità delle pietre in gioco, pertanto sono stati presi in considerazione i valori medi:

• γ = Peso specifico medio= 14,5 KN/m3 • _{E = Modulo elastico di Young= 1410 N/mm}2

Un ulteriore parametro da prendere in considerazione nel modello Elastico è il Coefficiente di Poisson. Tale coefficiente, per la muratura, assume un intervallo di valori nella letteratura che vanno da 0,2 a 0,3.

• ν = coefficiente di Poisson = 0,2

In merito alle resistenze a compressione ed a trazione del sistema si fa, ancora una volta, riferimento alla tabella sopra riportata secondo la quale:

• _f

mc=2,6 N/mm2 • _f

Capitolo 4 – La Cupola

63 Per quanto riguarda la resistenza a trazione questa viene solitamente considerata, a favore di sicurezza, nulla; ma a titolo di studio può essere considerata pari a 1/30 della resistenza a compressione.

Per questa iniziale analisi nel campo Elastico, i parametri sopra riportati sono sufficienti a definire le caratteristiche elastiche del materiale.

Condizioni al contorno

Una volta importato il modello geometrico nel programma e definite le caratteristiche del materiale è necessario porre quelle che sono le limitazioni al contorno, ovvero, i vincoli. Le situazioni che possono essere considerate sono due:

• La prima consiste in un modello relativo ad una cupola reale, che viene supportata da dei muri di sostegno a livello del piano di imposta. Quindi alla base della cupola si rappresenta l’unione cupola-muri di sostegno tramite il vincolo di incastro: vengono bloccate le rotazioni e le traslazioni.

• Seconda situazione consiste nel rappresentare una cupola ideale che segue il comportamento di tipo membranale, il vincolo è differente: per poter rispettare il regime membranale è necessario avere al contorno un vincolo di tipo carrello, quindi con traslazione bloccata sull’asse verticale e rotazione libera, in modo da non generare componenti di momento flettente alla base che porterebbero il regime da membranale a flessionale.

Figura 50 - Cupola semisferica con vincoli di incastro alla base

Carichi considerati

L’analisi del comportamento elastico dell’elemento cupola è stata effettuata prendendo in considerazione due casi: il primo il caso di una cupola sottoposta al solo peso proprio, ed il secondo caso riguarda una cupola soggetta a carico verticale uniforme sul piano orizzontale dovuto alla presenza di neve.

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I due carichi vengono considerati separatamente questo perché mentre il peso proprio segue l’andamento della superficie il carico da neve è un carico verticale, rispetto al sistema di coordinate globale, in ogni punto.

Per quanto riguarda il peso proprio questo deriva dall’interazione tra spessore dell’elemento e peso specifico del materiale scelto. Riprendendo la tabella C8.5.I dell’Eurocodice 6 [21] si deduce il valore medio del peso specifico dell’elemento cupola, ed è pari a:

• _{γ = Peso specifico medio= 14,5 kN/m}3

ed a questo corrisponde un carico q:

q = γg= 14,5 KN/m3 _{0,3 m = 4,35 kN/m}2

Di seguito si riporta l’iter della normativa NTC 2018 per il corretto calcolo del carico da neve. Si ipotizza che l’edificio in esame sia situato a Milano, la cui altitudine sopra il livello del mare è pari a 122 m.

Il carico provocato dalla neve vale:

𝑞 𝑠 = µ𝑖 𝑞𝑠𝑘𝐶𝑒𝐶𝑡

dove:

• qs è il carico neve sulla copertura

• μi è il coefficiente di forma della copertura

• qsk è il valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo espresso in kN/m2 per un periodo di ritorno pari di 50 anni

• Ce è il coefficiente di esposizione • Ct è il coefficiente termico

Valore caratteristico del carico di neve al suolo

La città di Milano è da normativa posta all’interno della Zona I Mediterranea pertanto il valore caratteristico del carico di neve al suolo vale:

Capitolo 4 – La Cupola

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Coefficiente di esposizione

Il coefficiente di esposizione Ce può essere utilizzato per modificare il valore del carico neve in copertura in funzione delle caratteristiche specifiche dell’area in cui sorge l’opera. Per la città in questione vale Ce= 1, considerando una topografia di tipo “normale”.

Coefficiente termico

Il coefficiente termico può essere utilizzato per tener conto della riduzione del carico neve dovuto allo scioglimento della stessa per il calore della costruzione. Tale coefficiente tiene conto delle proprietà di isolamento termico del materiale utilizzato in copertura. In assenza di uno specifico e documentato studio, si assume Ct = 1.

Coefficiente di forma

Essendo la cupola un elemento a più inclinazioni si considerano i tre casi dati da normativa e quindi:

caso 1 : 0°<α<30° μi= 0,8 caso 2 : 30°<α<60° μi=0.8 - 0 caso 3 : α>60° μi=0

Alla luce dei seguenti valori, si considera il carico da neve fino ad un angolo α=60° e con un valore pari a:

𝑞𝑠 = µ𝑖 𝑞𝑠𝑘 𝐶e 𝐶𝑡 = 1,20 k𝑁/𝑚2

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