CAPITOLO 4 LA CUPOLA
4.3 ANALISI DI UNA CUPOLA SEMISFERICA
4.3.2 Risultati della Analisi Elastica Lineare
Come già affermato in precedenza, questa prima analisi, eseguita considerando il comportamento elastico del materiale, ha lo scopo di validare il modello assunto e capire quelle che saranno le zone più a rischio di collasso o lesioni.
A questo scopo vengono prodotti due modelli uno riguardante il caso reale di un elemento cupola ed il secondo raffigurante un elemento cupola ideale per il regime a membrana. Quello che differenzia questi due modelli sono i vincoli al contorno che sono un aspetto fondamentale per quanto riguarda il rispetto del regime a membrana, secondo il quale non devo avere azioni flettenti.
Il primo modello, cupola in un caso reale, ha come vincolo un incastro alla base perché, lì, nel piano d’imposta la cupola si innesta con i muri di sostegno ed in quel punto essendoci un incastro nasceranno delle azioni flettenti come sarà mostrato di seguito.
Cupola soggetta al solo peso proprio
Prendendo in considerazione solamente il peso proprio è possibile osservare come nel caso reale la cupola risulta essere tutta compressa, a livello degli sforzi membranali lungo i meridiani, mentre presenta una variazione di segno negli sforzi lungo i paralleli, esattamente come previsto.
Essendo la cupola un corpo assialsimmetrico sono stati presi degli elementi 0,30 x 0,30m della mesh per farne l’analisi elastica e confrontare quanto risultato dal modello con la teoria membranale riportata al paragrafo precedente. Tutti gli elementi sono facenti parte di uno stesso spicchio posti ad altezze differenti e scelti in modo tale da poter rappresentare l’andamento generale di un arco della cupola.
Di seguito si riportano i risultati ottenuti dalle equazioni di equilibrio membranali e quelli dati dal modello Midas.
PESO PROPRIO CUPOLA REALE
ELEMENTO θ r R Nσ Nϕ MIDAS Nσ= Fyy MIDAS Nϕ= Fxx
26 88 5 5.003 -21.03 20.26982 -21.183 -3.245 326 77 4.88 5.008 -17.79 12.88464 -17.898 5.3 626 67 4.59 4.986 -15.60 7.121422 -15.404 7.004 926 56 4.13 4.982 -13.90 1.780531 -13.788 2.859 1026 52 3.95 5.013 -13.50 0.071521 -13.383 1.133 1126 49 3.75 4.969 -13.05 -1.12861 -13.024 -0.55 1426 38 3.06 4.970 -12.09 -4.94529 -12.153 -4.859 1726 27 2.27 5.000 -11.50 -7.87775 -11.526 -7.875 2026 16 1.39 5.043 -11.18 -9.90179 -11.128 -9.789 2326 5 0.47 5.393 -11.75 -11.6174 -10.958 -10.777
Tabella 2 - Confronto Teoria membranale e modello Elastico per una cupola con vincoli reali soggetta al peso proprio
Capitolo 4 – La Cupola
67 Dai risultati riportati si evince come in prossimità del vincolo incastro, non si ha l’andamento previsto dalla teoria membranale secondo la quale il parallelo dovrebbe essere teso e non compresso.
In verde viene evidenziato l’intervallo entro il quale avviene la variazione di segno, che dalla teoria dovrebbe essere ad un θ = 51,8°, mentre dall’analisi numerica risulta essere più spostato verso un angolo di 50°.
Inoltre, come previsto, gli sforzi Nθx sono nulli su tutto l’elemento, mentre i valori dei momenti flessionali aumentano in prossimità del contorno arrivando a valori di circa 0,18 kNm.
Figura 52 - Andamento delle Forze membranali parallele in una cupola semisferica con vincoli ideali
Figura 53 - Andamento delle Forze membranali meridionali in una cupola semisferica con vincoli ideali
Andando a variare i vincoli al contorno con degli elementi carrello, si vede come l’elemento cupola rispetta pienamente la teoria membranale dei gusci sottili.
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Sempre in verde viene evidenziato l’intervallo entro il quale avviene la variazione di segno che in questo caso è prossima a θ=52°, come previsto.
In prossimità del contorno non si ha un secondo cambio di segno ma, le azioni lungo i paralleli, rimangono di tensione. Pertanto, è evidente come il vincolo scelto o preesistente alla base dell’elemento è determinante per la riuscita del regime membranale e quindi il raggiungimento della situazione descritta nella Figura 54 sottostante.
Figura 54 - Andamento delle tensioni in una cupola soggetta a peso proprio
Inoltre, il regime flessionale che si sovrappone a quello membranale può essere trascurato, in quanto, la soluzione definita in regime membranale può essere considerata come quella di una struttura principale della cupola effettiva. Infatti, avendo scomposto la superficie della struttura in tanti piccoli elementi, ed avendo considerato la presenza di cerniere cilindriche in entrambe le direzioni, meridiana e parallela, l’azione flettente all’interno della cupola si annulla. Ad ogni modo la soluzione individuata col regime mebranale andrebbe completata introducedo le azione annullate, taglio e momento flessionale, così da garantire la congruenza ai perimetri degli elementini. Ma avendo individuato una struttura principale, definita dal
PESO PROPRIO CUPOLA IDEALE
ELEMENTO θ r R Nσ Nϕ MIDAS Nσ= Fyy MIDAS Nϕ= Fxx
26 88 5 5.003 -21.03 20.27 -21.08 17.154 326 77 4.88 5.008 -17.79 12.88 -17.794 13.778 626 67 4.59 4.986 -15.60 7.12 -15.52 7.655 926 56 4.13 4.982 -13.90 1.78 -13.91 1.921 1026 52 3.95 5.013 -13.50 0.072 -13.478 0.272 1126 49 3.75 4.969 -13.05 -1.13 -13.089 -1.242 1426 38 3.06 4.970 -12.09 -4.94 -12.146 -5.038 1726 27 2.27 5.000 -11.50 -7.88 -11.497 -7.848 2026 16 1.39 5.043 -11.18 -9.90 -11.104 -9.748 2326 5 0.47 5.393 -11.75 -11.62 -10.943 -10.758
Tabella 3 - Confronto Teoria membranale e modello Elastico per una cupola con vincoli ideali soggetta al peso proprio
Capitolo 4 – La Cupola
69 regime membranale, la quale è funicolare del carico applicato, si può affermare che queste componenti producono effetti trascurabili sullo stato di sollecitazione della cupola.
Ovviemente a patto che si rispettino le ipotesi definite per i gusci sottili.
Figura 55 - Andamento delle Forze membranali parallele in una cupola semisferica con vincoli reali
Figura 56 - Andamento delle Forze membranali meridionali in una cupola semisferica con vincoli reali
Cupola soggetta al carico uniforme da neve
Nel caso in cui venisse considerato solamente il carico da neve, definito precedentemente nel paragrafo 4.3.1, la situazione non varierebbe di molto rispetto a quanto avviene per il peso proprio. L’unica differenza sta nell’intervallo in cui avviene la variazione di segno per gli sforzi lungo i paralleli.
CARICO DA NEVE CUPOLA REALE
ELEMENTO θ r R Nσ Nϕ MIDAS Nσ= Fyy MIDAS Nϕ= Fxx
26 88 5 5.003 -3.00 2.994516 -3.131 -0.401 326 77 4.88 5.008 -3.01 2.700893 -3.293 1.79 626 67 4.59 4.986 -2.99 2.078304 -3.665 2.648 926 56 4.13 4.982 -2.99 1.119702 -3.767 1.288 1026 52 3.95 5.013 -3.01 0.727598 -3.672 0.672 1126 49 3.75 4.969 -2.98 0.414914 -3.586 0.079
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1426 38 3.06 4.970 -2.98 -0.72145 -3.366 -1.334
1726 27 2.27 5.000 -3.00 -1.76339 -3.192 -2.205
2026 16 1.39 5.043 -3.03 -2.56595 -3.075 -2.716
2326 5 0.47 5.393 -3.24 -3.18643 -3.023 -2.974
Tabella 4 -Confronto Teoria membranale e modello Elastico per una cupola con vincoli reali soggetta al carico da neve
CARICO DA NEVE CUPOLA IDEALE
ELEMENTO θ r R Nσ Nϕ MIDAS Nσ= Fyy MIDAS Nϕ= Fxx
26 88 5 5.003 -3.00 2.994516 -3.112 3.362 326 77 4.88 5.008 -3.01 2.700893 -3.274 3.354 626 67 4.59 4.986 -2.99 2.078304 -3.686 2.768 926 56 4.13 4.982 -2.99 1.119702 -3.79 1.115 1026 52 3.95 5.013 -3.01 0.727598 -3.689 0.513 1126 49 3.75 4.969 -2.98 0.414914 -3.598 -0.048 1426 38 3.06 4.970 -2.98 -0.72145 -3.365 -1.367 1726 27 2.27 5.000 -3.00 -1.76339 -3.186 -2.2 2026 16 1.39 5.043 -3.03 -2.56595 -3.07 -2.709 2326 5 0.47 5.393 -3.24 -3.18643 -3.02 -2.971
Tabella 5 - Confronto Teoria membranale e modello Elastico per una cupola con vincoli ideali soggetta al carico da neve
Il cambio di segno nella cupola ideale dovrebbe essere a 45° mentre nel caso di studio avviene a 50° questo è dovuto al fatto che il nostro carico verticale da neve non è applicato su tutto il guscio ma solo fino ad α=60° come spiegato nel paragrafo 4.3.1.
Anche in questo caso come per il peso proprio i valori di momento ottenuti sono trascurabili visto il loro ordine di grandezza: nella situazione di cupola con vincoli ideali ho un valore di momento che arriva ad un massimo di 0,001kN.
Nel presente caso di carico uniforme, nel momento in cui si analizza l’equilibrio alla rotazione, è possibile notare come la risultante del carico uniforme passi dal baricentro di un semicerchio, e quindi è ad una distanza di 4R/3π dal centro della cupola; mentre la risultante delle reazioni verticali meridiane, passi per il baricentro della semicirconferenza di base. Dall’equilibrio alla traslazione verticale le risultanti hanno ugual valore:
𝑉 = 𝑞𝜋𝑅 2 2
Le quali producono una coppia M:
𝑀 = 𝑞𝜋𝑅 2 2 [ 2𝑅 𝜋 − 3𝑅 4𝜋] = 𝑞𝑅3 3
Capitolo 4 – La Cupola
71 Equilibrata dalla coppia prodotta dall’azione dello sforzo normale sui paralleli rispetto al piano medio X-X’.
Figura 57 - A sinistra reazioni verticali ed a destra coppia M dagli sforzi sui paralleli
4.3.3 Considerazione del comportamento non lineare al superamento del
limite elastico
Una volta considerato il regime membranale, valido per i casi di Analisi Elastico lineari, si procede col considerare ciò che avviene una volta superato il relativo limite elastico, ovvero, il momento in cui si viene a generare la prima fessura. Per la presente analisi, dato il materiale da considerare, si fa riferimento ad un comportamento di tipo elastico fragile che caratterizza le murature.
Per poter considerare tale comportamento è necessario effettuare una analisi di tipo non lineare che permette di ottenere una valutazione più realistica, anche se non esatta, della redistribuzione delle tensioni causata dai comportamenti non lineari del materiale muratura. Per tale analisi viene, così come per il caso precedente, utilizzato il software MidasGen il quale permette di considerare la non linearità, sia essa di tipo geometrico o del materiale.
Di seguito si considera una non linearità dovuta alla tipologia del materiale muratura e per descriverne le caratteristiche si possono adottare diverse leggi costitutive: Mohr-Coulomb, Drucker-Prager [20], Strumas.
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Nel presente caso si decide di far riferimento al criterio di resistenza Mohr-Coulomb, definito nel paragrafo 3.2, il quale si basa sul concetto dell’attrito, che allo stesso tempo è il principio secondo cui lavora la muratura stessa.
I modelli Mohr-Coulomb e Drucker-Prager sono simili, infatti, entrambi mi permettono di considerare il materiale muratura come un materiale di tipo omogeneo ed isotropo ma il secondo consente di risolvere uno dei problemi relativi al criterio di Mohr- Coulomb: nel piano deviatorico, degli sforzi principali, il dominio
elastico del materiale ha forma esagonale irregolare, e questo porta ad avere problemi nel momento in cui si devono calcolare gli incrementi di deformazione plastica agli angoli. Per ovviare a questo problema Drucker e Prager sviluppano un criterio rappresentabile nello spazio delle tensioni principali mediante un cono a partire dal criterio di rottura di Von Mises, relativo ai materiali duttili. La muratura non è un materiale duttile per tanto non viene considerato tale criterio.
Terza possibilità è quella di utilizzare il criterio di Strumas il quale mi permette di definire dettagliatamente le caratteristiche dei conci e della malta, e la loro geometria. In tal modo è possibile considerare la muratura come un materiale composito e anisotropo, con diverse caratteristiche nelle direzioni x ed y.
In generale la muratura è un materiale difficile da modellare in quanto non è regolare lungo il volume dell’elemento considerato, per questo si può dire che un modello così dettagliato come quello Strumas non è necessario ai nostri fini.
Scelto e definito il criterio del materiale muratura, è necessario quantificarne i parametri. La scelta è ricaduta sul criterio di resistenza Mohr-Coulomb, il quale, come definito nei paragrafi precedenti, viene descritto dai parametri coesione e angolo di attrito.
L’analisi effettuata è di carattere generico pertanto si individuano quelli che sono i valori medi, normalmente utilizzati in letteratura o derivanti da prove sperimentali. Per la muratura si considera:
coefficiente di attrito: tanφ= 0,3-0,8 A cui corrisponde:
• φ= angolo di attrito= 22° ottenendo un coefficiente di attrito pari a 0,4.
• c= coesione, resistenza a taglio in assenza dello sforzo normale= 60 KN/m2, valore medio dell’intervallo di valori dato dall’Eurocodice 6.
Figura 58 - Dominio Drucker e Prager
Capitolo 4 – La Cupola
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Figura 59 - Riquadro delle proprietà plastiche
Figura 60 - Riga di interesse della tabella C8.5.I Eurocodice 6
Una volta inseriti tali valori si procede con l’esecuzione della analisi statica non lineare che risulta essere simile ad una analisi di tipo pushover con carichi verticali incrementali secondo la iterazione Newton-Raphson.
Ovvero, un metodo iterativo che converge in modo rapido e si basa sull’idea geometrica di approssimare, a ogni passo, il grafico della funzione per mezzo della retta tangente. In questo caso essendo possibile eseguire un controllo del modello per incremento di carico si utilizza tale metodo di iterazione. Nel caso in cui non fosse possibile incrementare il carico si dovrebbe procede con un controllo degli spostamenti, allo stesso tempo, è possibile avere situazioni in cui non sia possibile eseguire un controllo né dei carichi né degli spostamenti, in tal caso sarà necessario ricorrere al metodo Arc-Lenght.
Per poter eseguire l’Analisi non Lineare è necessario a priori definire quali sono i carichi da incrementare e con quali fattori. L’obiettivo è vedere come varia il comportamento della struttura una volta superata la soglia del limite Elastico, pertanto, è sufficiente considerare il solo carico derivante dal peso proprio; al quale sono stati associati fattori di carico da 40 a 42.5 così da individuare il fattore per cui avviene il collasso.
Di conseguenza, prendendo il modello cupola con vincoli reali, si può osservare come all’incrementare dei carichi questa, vari la propria deformazione e la distribuzione delle forze membranali al suo interno.
Come si può osservare dalle Figure 61 e 62 seguenti, nel modello di cupola denominata come reale, in quanto caratterizzata da incastri alla base e non carrelli, all’incrementare del carico
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si vede come, per le forze membranali parallele, la zona tesa aumenta sempre di più fino ad arrivare all’incremento limite di 42.5 per cui la cupola risulta interamente tesa quindi può essere considerato come il collasso della struttura. I fattori per cui avviene il collasso sono molto elevati, questa situazione è resa possibile dal fatto che si sta considerando una struttura assialsimmetrica sottoposta ad un carico, anch’esso, assialsimmetrico, la quale, sviluppa una forte resistenza di forma, pertanto per poter collassare sotto il peso proprio ha bisogno di carichi elevati.
• Step 1 – Fxx – Cupola Reale
Figura 61 - Step 1, Forze membrali parallele in una cupola semisferica con vincoli reali
• Step 3 – Fxx – Cupola Reale
Figura 62 - Step 3, Forze membrali parallele in una cupola semisferica con vincoli reali
In generale dalla teoria è possibile affermare che la cupola si fessura nel momento in cui le sollecitazioni di trazione lungo i paralleli superano il valore limite di resistenza della
Capitolo 4 – La Cupola
75 muratura. In assenza della azione di cerchiamento svolta dai paralleli tesi si perde l’equilibrio membranale e si generano delle lesioni lungo i meridiani, le quali si sviluppano ben oltre la fascia interessata dalle sollecitazioni di trazioni relative all’equilibrio membranale.
Il numero delle lesioni che ottengo non è rilevante in quanto già la presenza di una sola lesione è sufficiente a interrompere l’azione cerchiante dei paralleli. Fessurandosi, la cupola, tende a dilatarsi alla base e si divide in diversi spicchi che si comportano a due a due come degli archi indipendenti. Quindi all’interno della cupola si annullano gli sforzi Nφ ed i soli sforzi meridiani Nθ non sono in grado di garantire l’equilibrio se lavorano sulla linea media. La curva delle pressioni lungo cui lavorano gli sforzi meridiani si inclina sull’orizzontale e questo porta quindi ad un importante cambiamento nel regime statico della cupola. Gli spicchi che tendono a divaricarsi esercitano una spinta al tamburo.
Figura 63 - Spinta derivata dalla fessurazione lungo i meridiani [13]
La figura 63 sopra riportata descrive lo stato di sollecitazione che si attiva in una cupola sferica nel momento in cui si suddivide in spicchi.
La linea tratteggiata rappresenta la curva delle pressioni che risulta inclinata, rispetto alla verticale, alle imposte: alle imposte avrò quindi una componente orizzontale di spinta per unità di lunghezza ed una verticale. Il generarsi della spinta orizzontale porta ad una diversa progettazione, ovvero, i piastri sottostanti, i tamburi ed in generale le struttura di sostegno della cupola non dovranno più sostenere solo carichi verticali ma anche delle spinte radiali. Riassumendo, col fessurarsi della cupola lungo i meridiani, ogni spicchio di cupola riceverà in una minima area cerchiata di colmo l’azione spingente esercitata dagli altri spicchi e questa verrà trasmessa fino alla sua base. In tali condizioni lo spicchio non è più frenato nella sua deformazione dai cerchi paralleli e si inflette sotto l’azione della pressoflessione meridiana.
Analogamente alla trattazione effettuata per determinare le forze membranali del guscio di rivoluzione, sottoposto al solo peso proprio, è possibile determinare la superficie delle pressioni e di conseguenza la spinta minima. Infatti, come dimostrato precedentemente, la curva delle pressioni, corrispondente allo stato di cedimento, che descrive l’allargamento alla
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base della cupola, è quella che determina la minima spinta tra tutte quelle contenute nello spicchio.
Questa situazione viene descritta da Iannuberto (1993) [31] il quale definisce a partire da una analisi di tipo statico la minima spinta di uno spicchio di apertura di un radiante relativo ad una cupola semicircolare a spessore costante come:
𝐻𝑚𝑖𝑛/𝑅2= 𝑔(0,257 − 0,337 𝑠 𝑅)
A cui corrisponde una spinta per unità di lunghezza della circonferenza di base hmin:
ℎ𝑚𝑖𝑛= 𝑔𝑅(0,257 − 0,337 𝑠 𝑅)
Dove
• R è il raggio medio della cupola = 5m • S è lo spessore = 0,3m
• g è il peso proprio = 4,35 kN/m2
Pertanto, nel nostro caso ci aspettiamo una spinta minima hmin= 5,15kN/m
Per ottenere questa spinta all’interno del modello è stata ricreata la situazione in cui si genera la prima fessura meridiana. Per farlo sono stati introdotti altri due materiali: il primo caratterizzato da modulo di elasticità pressoché nullo, il secondo con un modulo elastico pari alla metà del modulo elastico iniziale.
Il primo materiale sarà assegnato alla zona relativa alla fessura mentre il secondo al suo intorno, in modo da simulare le zone limitrofe all’apertura delle fessure, le quali hanno minore resistenza Sono state reiterate le analisi in modo da verificare come le tensioni si ridistribuiscono nella volta in seguito alla fessurazione.
Nella Figura 64, sotto riportata si può osservare l’andamento delle forze membranali lungo i paralleli, come previsto, a livello della fessurazione si ha una interruzione della fascia di trazione che cinge la cupola, azzurro chiaro.
Capitolo 4 – La Cupola
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Figura 64 - Andamento delle forze membranali parallele alla comparsa della fessurazione
Allo stesso tempo si osserva come l’area di trazione si sviluppa verso l’alto.
Guardando alle spinte prodotte dalla cupola, così considerata, si ottengono valori prossimi alla spinta minima calcolata. La spinta esercitata sui muri di imposta è di 4.7kN/m. La differenza tra i due risultati è dovuta alle assunzioni poste all’interno del modello, come il considerare tre diversi materiali e la loro posizione all’interno della cupola.
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