RICHIAMO AI POLIGONI FUNICOLARI

Per poter utilizzare il concetto di stabilità per forma, all’interno del presente lavoro di tesi, è necessario definire la teoria su cui si basa.

La teoria a cui si fa riferimento è quella dei poligoni funicolari o curva delle pressioni definita come la curva, che per elementi in equilibrio ammissibile sotto l’azione di carichi verticali, risulta essere luogo dei punti attraverso cui passa, per ogni sezione dell’elemento, la risultante di tutte le forze che precedono o seguono la sezione stessa. Tale approccio venne impiegato la prima volta per gli archi in muratura, elemento base di volte e cupole, nei quali lo stato di sollecitazione interno è costituito da sole sollecitazioni di compressione.

L’andamento della curva dipende dalle forze che agenti sulla struttura, da come questa ed i suoi vincoli si deformano e dalle fasi costruttive dell'arco stesso. Pertanto, è complicato conoscere l'esatta posizione della curva delle pressioni se non sono note con precisione le proprietà meccaniche dei materiali, i cedimenti che l'arco ha subito e le fasi costruttive.

Prendendo in considerazione un filo inestensibile, senza peso, a cui viene assegnata una distribuzione di forze è possibile determinare la configurazione di equilibrio data dalla costruzione del poligono funicolare della distribuzione di forze assegnata. Il filo, rappresentato nella Figura 32, viene vincolato a cerniera in A ed in F ed è soggetto a forze verticali in B, in C, in D, ed in E. Considerando l’equilibrio al nodo B si avrà la forza esercitata dal tratto BA e quella esercitata dal tratto CB sul nodo B. L’equilibrio è garantito dal fatto che il poligono delle due forze e quella verticale F12 è un poligono chiuso come si può osservare, sempre, dalla Figura 32 dove il poligono chiuso è dato da P1, P2 e 12, i quali rappresentano le tre forze citate. Allo stesso modo avviene per il nodo C e gli altri nodi presenti. Quindi, la configurazione A-B-C-D-E-F del filo rappresenta il poligono funicolare delle forze F applicate ai nodi con alle cerniere A ed F le reazioni P1 e P5 le quali equilibrano le forze agenti sul filo. Tali reazioni a loro volta si scompongono in una componente verticale Rv e nel tiro S, i due tiri S si annullano a vicenda e le forze verticali ai punti B,C,D,E vengono equilibrate dalle reazioni vincolari verticali. In questo modo ottengo un filo i cui tratti risultano tesi.

Capitolo 3 – Il Comportamento meccanico del Sistema Muratura

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Figura 32 - Configurazione di equilibrio dei fili

Fino ad ora è stato considerato un filo inestensibile, o fune, il quale risulta equilibrato da sforzi opposti rispetto a quelli che si avrebbero nel caso di un arco: nel caso della fune il modello è equilibrato da sforzi di trazione mentre negli archi, e nelle strutture che hanno alla base del loro sviluppo degli archi, si hanno sforzi di compressione. Di conseguenza è possibile considerare il precedente filo irrigidito e rovesciato, Figura 33 ottenendo così uno stato di equilibrio uguale ma opposto al precedente, caratterizzato da tratti compressi e non più tesi. Le reazioni del sistema P1 e P5 si scompongono ancora in due componenti, una verticale ed una orizzontale, ovvero la spinta S.

A proposito De la Hire affermò come:

“l’arco è in grado di sostenere ogni carico la cui curva funicolare è contenuta nell’arco stesso” [17].

Pertanto, è il concetto di funicolare del carico che permette la costruzione della curva delle pressioni precedentemente definita, la quale dovrà essere contenuta all’interno dello spessore dell’elemento.

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Figura 33 - Equilibrio del filo rigido rovesciato secondo Hooke

Nel caso in cui non dovessero esistere curve di pressioni interamente contenute nello spessore dell'arco, significa che questo non è in grado di equilibrare i carichi assegnati in regime di sola compressione. Tale situazione si può verificare nel caso in cui l'arco sia estremamente sottile oppure il moltiplicatore dei carichi orizzontali è elevato.

In generale i carichi agenti su di una struttura muraria possono essere di tipo permanente come il peso proprio oppure di tipo variabile sulla struttura a seconda delle condizioni. È stato dimostrato come il peso proprio abbia un ruolo di rilievo nella statica della struttura, in quanto costituisce il carico resistente, il quale deve sempre esercitare un efficace contrasto nei riguardi dei meccanismi di collasso. La curva delle pressioni relativa al solo peso proprio è quindi interamente contenuta all’interno dello spessore dell’arco, a patto che lo spessore non sia troppo esiguo. Nel momento in cui la curva delle pressioni tocca o fuoriesce dallo spessore dell’elemento si generano delle lesioni in quei punti, come si vede nella Figura 34c che mostra un tipico meccanismo di collasso.

Figura 34 – a) Rappresentazione della curva delle pressioni contenuta nello spessore di un arco. b) Arco in cui la linea di pressione tocca l’intradosso e l’estradosso dello spessore dell’arco. c) Attivazione dei meccanismi nei

Capitolo 3 – Il Comportamento meccanico del Sistema Muratura

45 In riferimento alla Figura 34 sopra riportata si precisa come la curva delle pressioni rappresentata sia una delle infinite curve presenti all’interno dell’elemento. Infatti, la posizione della curva delle pressioni è definita da tre punti attraverso i quali dovrà passare: due alle imposte ed uno nella sezione di chiave.

Tuttavia, è possibile determinare due configurazioni limite di tale curva, le quali corrispondono rispettivamente alle configurazioni di minima e massima spinta, ottenute attraverso sole equazioni di equilibrio. Entrambe queste curve dovranno essere contenute all'interno dello spessore dell'arco per poter garantire che sia possibile trasmettere lo sforzo normale (spinta), ad esse associato, attraverso, unicamente, degli sforzi di compressione trasferiti all'interfaccia di conci adiacenti.

In tal modo è possibile analizzare la statica dell'arco determinando un intervallo di valori associati allo sforzo normale, la sua eccentricità e le spinte orizzontali trasmesse alle reni. L'ampiezza di questo intervallo è una misura della sovraresistenza dell'arco ed è quantificabile col rapporto tra la massima e la minima spinta. È un valore sempre maggiore o uguale all'unità e può essere utilizzato come una stima della distanza tra le due curve. Quando è pari ad 1 le due curve coincidono e rappresentano entrambe l'unica possibile soluzione equilibrata del problema statico.

Se entrambe le curve sono interne all’elemento, questo viene considerato come staticamente sicuro in virtù del teorema statico dell'analisi limite dettato da Heyman [26].

Questo teorema si basa sul soddisfacimento di tre ipotesi fondamentali:

• materiale non resistente a trazione • illimitata resistenza a compressione • scorrimento impedito

Se queste ipotesi sono verificate, allora il teorema statico di Heyman assicura che se esiste una curva delle pressioni in equilibrio coi carichi esterni e interamente contenuta nello spessore della muratura, allora la struttura è staticamente sicura.

La prima ipotesi è soddisfatta dal limitato valore della resistenza a trazione della muratura, trascurabile rispetto alla sua resistenza a compressione.

La seconda ipotesi richiede una resistenza a compressione infinita. I valori di tensione di compressione a cui è soggetta una struttura muraria sono, in genere, largamente inferiori, spesso di almeno un ordine di grandezza, rispetto al limite di resistenza del materiale. Quindi è possibile assumere che anche questa ipotesi sia soddisfatta.

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CAPITOLO 4