Analisi delle scale elicoidali in muratura

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Scuola di Architettura Urbanistica Ingegneria delle Costruzioni Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dei Sistemi Edilizi

Analisi delle Scale Elicoidali in Muratura

Relatore:

Prof.Ing.Sergio Tattoni

Tesi di Laurea Magistrale Elisa Bonacina Matricola n. 897109

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ABSTRACT

Da sempre, nel corso dei secoli, le scale elicoidali hanno suscitato curiosità e meraviglia col loro dinamismo e la capacità di elevare verso l’alto l’occhio dello spettatore dando l’illusione ottica di una scala ascendente verso un piano non visibile.

Tale interesse ha portato costruttori, trattatisti e matematici a fare veri e propri pellegrinaggi verso gli esempi esistenti all’epoca, così come avvenne per il caso della scala elicoidale della Abbazia di Saint Gilles du Gard, all’interno della quale lasciarono, come pegno della loro visita, dei graffiti ancor oggi visibili. Lo scopo di tali viaggi era quello di acquisire il metodo costruttivo per poi evolvere ulteriormente la struttura verso qualcosa di più complesso, instaurando, in questo modo, una catena di sfide che hanno portato, inevitabilmente, agli esempi odierni di scale elicoidali. Nei secoli, oltre alla trasformazione dei materiali impiegati, è stata fondamentale l’interazione tra costruttori, matematici e fisici, in quanto, tale collaborazione, ha reso possibile la definizione di una spiegazione scientifica alla statica delle scale elicoidali e, inoltre, le ha rese strutturalmente più efficienti. Allo stesso tempo, per anni sono rimaste sconosciute le ragioni per cui strutture antiche in muratura, progettate con l’impiego di sole regole geometriche di proporzione e simmetria, potessero soddisfare la stabilità statica. La risposta risiede nel concetto di stabilità per forma che caratterizza strutture come archi, volte, cupole e di conseguenza anche le scale elicoidali.

Il presente lavoro di tesi si pone come obiettivo lo studio del comportamento di una scala elicoidale in muratura previo lo studio di due strutture che ne stanno alla base, ovvero, la cupola semisferica ed una volta a botte. La analisi viene effettuata con un approccio basato sulla teoria dei poligoni funicolari e l’analisi limite sviluppata da Heyman, attraverso le quali è possibile definire una rete di spinta in grado di descrivere la struttura. In particolar modo, si considera il caso della Vis Saint Gilles caratterizzata da una volta a botte con sviluppo elicoidale, la quale sarà studiata attraverso l’applicazione del metodo delle Reti di Spinta. L’approccio scelto si dimostrerà efficiente in termini di risultati e relativamente semplice, in quanto permette di analizzare un elemento in muratura conoscendone le sole caratteristiche geometriche.

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ABSTRACT INGLESE

Over the centuries, helical staircases have always aroused curiosity and wonder with their dynamism and their ability to raise the viewer's eye upwards, giving the optical illusion of an ascending staircase towards an invisible plane.

This interest led builders, treatise, writers and mathematicians to make pilgrimages to the examples existing at the time, as was the case of the helical staircase of the Abbey of Saint Gilles du Gard, inside which they left, as a pledge of their visit, some graffiti. The aim was to acquire the method and then further evolve the structure towards something more complex, thus establishing a chain of challenges that inevitably led to today's examples of helical stairs. Over the centuries, in addition to the transformation of the materials used, the interaction between builders and mathematicians and physicists was fundamental: this collaboration made possible to define a scientific explanation for the static of helical stairs and also made them structurally more efficient. At the same time, the reasons for which ancient masonry structures, designed with the use of only geometric rules of proportion and symmetry, could satisfy static stability remained unknown for years. The answer lies into the concept of stability by form that characterizes structures such as arches, vaults, domes, and consequently also helical stairs.

The present thesis work aims to study the behavior of a helical masonry staircase after studying two structures at the base, namely, the hemispherical dome and a barrel vault. The analysis is carried out with an approach based on the theory of funicular polygons and the limit analysis developed by Heyman, through which it is possible to define a thrust network able to describe the structure. In particular, we consider the case of Vis Saint Gilles characterized by a barrel vault with a helical development, which will be studied through the application of the Thrust Network Analysis method.

The chosen approach will prove to be efficient in terms of results and relatively simple, as it allows you to analyze a masonry element knowing only its geometric characteristics.

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INDICE

ABSTRACT ... V ABSTRACT INGLESE ... VII INDICE ... IX INDICE DELLE IMMAGINI ... XII INDICE DELLE TABELLE... XVII

CAPITOLO 1 INTRODUZIONE ... 1

1.1 BACKGROUND MOTIVAZIONI ED OBIETTIVI ... 1

1.2 LAYOUT DELLA TESI ... 3

CAPITOLO 2 STATO DELL’ARTE ... 5

2.1 EVOLUZIONE DELL’ARTE E DELLA SCIENZA DEL COSTRUIRE ... 5

2.2 EVOLUZIONE DELLE SCALE ELICOIDALI ... 11

2.2.1 Evoluzione della progettazione di scale elicoidali ... 17

2.3 CLASSIFICAZIONE DELLE SCALE ELICOIDALI... 21

CAPITOLO 3 IL COMPORTAMENTO MECCANICO DEL SISTEMA MURATURA ... 27

3.1 INTRODUZIONE ... 27

3.2 RESISTENZA A COMPRESSIONE UNIASSIALE ... 29

3.3 RESISTENZA A TRAZIONE UNIASSIALE ... 36

3.4 COMPORTAMENTO UNIASSIALE DELLA MURATURA ... 37

3.5 RESISTENZA A SFORZI BIASSIALI ... 39

3.5 RICHIAMO AI POLIGONI FUNICOLARI... 42

CAPITOLO 4 LA CUPOLA ... 47

4.2 TEORIA DEI GUSCI SOTTILI ASSIALSIMMETRICI ... 50

4.2.1 Cupola semisferica ... 55

4.3 ANALISI DI UNA CUPOLA SEMISFERICA ... 60

4.3.1 Definizione del Modello Elastico Lineare ... 61

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CAPITOLO 5 LA VOLTA A BOTTE ... 79

5.2 TEORIA DEI GUSCI SOTTILI PER SUPERFICI CILINDRICHE ... 82

5.2.1 Volta a botte semicircolare sottoposta a carichi verticali ... 85

5.3 ANALISI DI UNA VOLTA A BOTTE CON PROFILO SEMICIRCOLARE ... 90

5.3.1 Definizione del Modello Elastico Lineare ... 91

5.3.2 Risultati della Analisi Elastica Lineare ... 93

5.3.3 Considerazione del comportamento non lineare al superamento del limite elastico ... 97

CAPITOLO 6 METODI DI ANALISI LIMITE ... 101

6.1 METODO BLOCCHI RIGIDI ... 103

6.2 METODO DELLE MEMBRANE NON REAGENTI A TRAZIONE ... 107

6.3 METODO DELLE RETI DI SPINTA ... 114

6.3.1 Introduzione ... 114

6.3.2 Equazioni di Equilibrio ... 115

6.3.3 Rete di spinta sottoposta a carichi verticali ... 120

CAPITOLO 7 ANALISI DI UNA SCALA ELICOIDALE ... 127

7.1 DEFINIZIONE DELLA RETE DI SPINTA ... 129

7.2 SVOLGIMENTO DELLA ANALISI ... 133

7.3 RISULTATI OTTENUTI DALLA ANALISI SECONDO LE RETI DI SPINTA ... 136

CAPITOLO 8 CONCLUSIONI ... 139

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XII

INDICE DELLE IMMAGINI

Figura 1- Linea temporale delle Arti liberali e delle Arti Meccaniche [16] ... 6

Figura 2 -Taccuino di Villard, rappresentazione del moto perpetuo di una ruota, sinistra, risoluzione di Giordano Nemorario destra. ... 8

Figura 3 – Santa Barbara, Van Eyck, sulla destra della torre poggia la loggia degli scarpellini, ... 9

Figura 4 - Resti di una scala monolitica del IVsec. a.C a Tarxien, Malta ... 11

Figura 5 - Pianta del Tempio A del complesso di Selinunte (490-460 a.C) e resto di un gradino di una delle due scale a chiocciola... 12

Figura 6 - Resti della torre cilindrica di Agios Petros III - IV Sec. a.C ... 13

Figura 7 - Vista interna ed esterna della colonna di Traiano (113 d.C) ... 13

Figura 8 - Vista interna della grande scala elicoidale del castello di Orford (1172)... 14

Figura 9 - Scala a doppia elica del Castello di Chambord XVI secolo ... 15

Figura 10 - Ministero degli affari esteri, Brasilia, Oscar Niemeyer (1960-70) ... 16

Figura 11 - L’Escalier Ridolfi, Architetto Giuseppe Fallacara ... 17

Figura 12 - Leonardo da Vinci, Figura Vitruviana ... 17

Figura 13 - Scala musei vaticani, Bramante ... 18

Figura 14 – Rappresentazione di una scala elicoidale aperta, Viollet de Duc [51] ... 19

Figura 15 – Scale reittilinee priva e con pianerottolo ... 21

Figura 16 – Diverse configurazioni di Scale rettilinee spezzate ... 22

Figura 17 - Scale a girante ed a chiocciola ... 22

Figura 18 - Scala ovata, I quattro libri dell'architettura, Palladio ... 23

Figura 19 - Dettaglio della geometria di un gradino per una scala elicoidale ad anima ... 24

Figura 20 - Dettaglio della geometria di un gradino per una scala a pozzo ... 25

Figura 21 - Scala a collo (sinistra) Scala a volo (destra) ... 26

Figura 22 - Sistema muratura in blocchi regolari ed in conci sbozzati ... 28

Figura 23 – Diagramma σ-Ꜫ in cui si confrontano malta blocchi e Sistema muratura ... 29

Figura 24 - Volume rappresentativo elementare (RVE) soggetto a compressione verticale ... 30

Figura 25 - sforzi a livello di blocchi e malta in accordo con le assunzioni di Hilsdorf ... 31

Figura 26 - Dominio di resistenza Mohr-Coulomb ... 33

Figura 27 - Dati sperimentali di una prova biassiale a rottura, confronto tra criterio Galileo-Rankine e Mohr-Coulomb... 34

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XIII

Figura 29 - Legge costitutiva comportamento uniassiale della muratura, in tensione e compressione ... 37

Figura 30 - Risultati di una prova di compressione biassiale con diversi orientamenti degli sforzi rispetto ai letti di malta ... 39

Figura 31 - Tabella delle modalità di collasso di una muratura, A.Page ... 40

Figura 32 - Configurazione di equilibrio dei fili ... 43

Figura 33 - Equilibrio del filo rigido rovesciato secondo Hooke ... 44

Figura 34 – a) Rappresentazione della curva delle pressioni contenuta nello spessore di un arco. b) Arco in cui la linea di pressione tocca l’intradosso e l’estradosso dello spessore dell’arco. c) Attivazione dei meccanismi nei punti in cui la curva tocca i perimetri dell’arco ... 44

Figura 35 - Diverse tipologie di cupole: a) Cupola velica; b) cupola con pennacchi su base quadrata; c) cupola su tamburo e pennacchi con base quadrata; d) cupola ... 47

Figura 36 - Regole per la composizione della cupola secondo Fontana (sinistra) e Vittone (destra) ... 48

Figura 37 - Schema della cupola del Brunelleschi durante le fasi di costruzione ... 49

Figura 38 - Coordinate di un guscio di rivoluzione ... 50

Figura 39 - Equilibrio di un elemento infinitesimo del guscio sottile ... 52

Figura 40 - Raggio di curvatura di un meridiano (sinistra) e di un parallelo (destra) ... 53

Figura 41 - Andamento delle Forze membranali dei paralleli in un guscio assialsimmetrico... 54

Figura 42 - Coordinate e raggi si una cupola semisferica ... 55

Figura 43 - Distribuzione delle Forze membranali nella cupola soggetta a peso proprio, Forze meridiane (sinistra) e Forze parallele (destra) ... 56

Figura 44 - Deformazione e presenza di fessure in una cupola sottoposta a carico gravitazionale ... 57

Figura 45 - Cupola semisferica sottoposta a carico verticale uniforme sul piano orizzontale ... 58

Figura 46 - Proiezione del carico p sul perimetro della cupola... 58

Figura 47 - Deformazione e andamento delle fessurazioni in una cupola semisferica soggetta a carico verticale uniforme ... 59

Figura 48 - Dimensioni della cupola semisferica oggetto di analisi ... 60

Figura 49 - Tabella C8.5.I Eurocodice 6... 62

Figura 50 - Cupola semisferica con vincoli di incastro alla base ... 63

Figura 51 - Cupola semisferica soggetta a carico verticale da neve ... 65

Figura 52 - Andamento delle Forze membranali parallele in una cupola semisferica con vincoli ideali ... 67

Figura 53 - Andamento delle Forze membranali meridionali in una cupola semisferica con vincoli ideali ... 67

Figura 54 - Andamento delle tensioni in una cupola soggetta a peso proprio ... 68

Figura 55 - Andamento delle Forze membranali parallele in una cupola semisferica con vincoli reali... 69

Figura 56 - Andamento delle Forze membranali meridionali in una cupola semisferica con vincoli reali .... 69

Figura 57 - A sinistra reazioni verticali ed a destra coppia M dagli sforzi sui paralleli ... 71

Figura 58 - Dominio Drucker e Prager ... 72

Figura 59 - Riquadro delle proprietà plastiche ... 73

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XIV

Figura 61 - Step 1, Forze membrali parallele in una cupola semisferica con vincoli reali ... 74

Figura 62 - Step 3, Forze membrali parallele in una cupola semisferica con vincoli reali ... 74

Figura 63 - Spinta derivata dalla fessurazione lungo i meridiani [13] ... 75

Figura 64 - Andamento delle forze membranali parallele alla comparsa della fessurazione ... 77

Figura 65 - Configurazione di una volta a botte generica, ed esempio di una volta a botte semisferica in muratura ... 79

Figura 66 - Diverse configurazioni esistenti della volta a botte ... 80

Figura 67 - Coordinate di un guscio a botte ed andamento delle azioni membranali in unelemento dA dell guscio ... 83

Figura 68 - Elemento della volta soggetto a peso proprio ... 86

Figura 69 - Elemento del guscio soggetto a carico verticale uniforme ... 87

Figura 70 - Andamento delle forze membranali alle imposte ed ai timpani ... 88

Figura 71 - Linee isostatiche che definiscono l'andamento degli sforzi (line continue di trazione) e le sollecitazioni in prossimità dei timpani laterali (destra) [13] ... 89

Figura 72 - Dimensioni della volta a botte semicircolare oggetto di analisi ... 90

Figura 73 - Carico verticale da neve ... 92

Figura 74 - Vincoli di incastro alla base della volta a botte ... 92

Figura 75 - Andamento delle forze circonferenziali Nθ per una volta a botte soggetta a peso proprio ... 96

Figura 76 - Andamento delle forze assiali Nx per una volta a botte soggetta a peso proprio ... 96

Figura 77 - Andamento delle forze assiali N θx per una volta a botte soggetta a peso proprio ... 97

Figura 78 - Comportamento ad arco, azioni circonferenziali ... 98

Figura 79 - Andamento delle forze circonferenziali Nθ per una volta a botte soggetta a peso proprio , considerato il comportamento non lineare ... 99

Figura 80 - Andamento delle forze assiali Nx per una volta a botte soggetta a peso proprio, considerato il comportamento non lineare ... 99

Figura 81 -, Andamento delle forze Nθx per una volta a botte soggetta a peso proprio considerato il comportamento non lineare ... 99

Figura 82 - Linee di spinta in una cupola, in una volta piatta ed in una scala elicoidale ... 101

Figura 83 - Equilibrio del gradino di testa soggetto a carico puntuale P ... 103

Figura 84 - Forza ½ P derivante dal gradino di testa ... 103

Figura 85 - Sistema equilibrato grazie alle forze nei quattro spigoli ... 104

Figura 86 - Equilibrio di una scala soggetta a peso proprio ... 105

Figura 87 - Equilibrio dei gradini in una scala con gradini a sezione variabile come nel caso si una scala a chiocciola ... 106

Figura 88 - Sistema di riferimento cartesiano e curvilineo ... 107

Figura 89 – Andamento delle tensioni di membrana sull’elemento curvilineo, T, e proiettate in pianta, S. ... 109 Figura 90 - Confronto tra rappresentazioni della superficie media di una scala elicoidale nei due metodi 115

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Figura 91 - Rappresentazione della regione di influenza ... 116

Figura 92 - Esempio di due Reti elementari di spinta ... 119

Figura 93 - Rappresentazione di Γ, griglia data dalla proiezione orizzontale della rete di spinte, e Γ*, rete duale, e la relazione tra le due... 121

Figura 94 - Torre Abbazia di Saint Gilles du Gard vista dall'esterno, vista interna della scala, incisioni sulla parete della scala ... 127

Figura 95 - Scala del tipo Vis Saint Gilles, Breymann [12]... 130

Figura 96 - Modello della Rete di spinta ... 131

Figura 97 - Modello della Rete di spinta con carichi verticali ai nodi ... 132

Figura 98 - Particolare di un nodo interno ... 132

Figura 99 – Soluzione di minima spinta Td (Deepest), sinistra, e Soluzione di massima spinta Ts (Shallow), destra ... 137

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XVII

INDICE DELLE TABELLE

Tabella 1 - Rapporti spessore della cupola (t) e diametro interno (D) di una cupola semisferica ... 48 Tabella 2 - Confronto Teoria membranale e modello Elastico per una cupola con vincoli reali soggetta al

peso proprio... 66 Tabella 3 - Confronto Teoria membranale e modello Elastico per una cupola con vincoli ideali soggetta al

peso proprio... 68 Tabella 4 -Confronto Teoria membranale e modello Elastico per una cupola con vincoli reali soggetta al

carico da neve ... 70 Tabella 5 - Confronto Teoria membranale e modello Elastico per una cupola con vincoli ideali soggetta al

carico da neve ... 70 Tabella 6 - Valori delle forze membranali dalla Teoria dei gusci sottili per una volta con vincoli ideali

soggetta al peso proprio ... 94 Tabella 7 - Valori delle forze membranali dalla Teoria dei gusci sottili per una volta con vincoli ideali

soggetta al carico da neve ... 95 Tabella 8 - Confronto tra Teoria membranale e modello Elastico per una volta soggetta al peso proprio .. 96

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CAPITOLO 1

INTRODUZIONE

1.1 BACKGROUND

MOTIVAZIONI

ED

OBIETTIVI

Da sempre, nel corso dei secoli, le scale hanno affascinato costruttori, trattatisti, fisici ma anche la popolazione stessa, la quale rimaneva meravigliata di fronte a tali maestose opere d’arte, in particolar modo quando si trattava di scale elicoidali. Pareva una vera e propria illusione ottica, una scala ascendente, dinamica, che elevava verso l’alto l’occhio dell’osservatore verso un infinito finito. La meraviglia di fronte a queste strutture è ancora oggi presente, in cui le scale elicoidali vengono ancora utilizzate nel momento in cui si vuole creare stupore. Ovviamente gli esempi odierni sono il risultato di un lungo processo di evoluzione delle tecniche costruttive e dei materiali ed è possibile affermare che il processo evolutivo sia stato spinto dalla curiosità e dal senso di sfida che le scale elicoidali hanno sempre generato. Inoltre sono elementi architettonici che permettono di creare delle strutture quasi impercettibili nel contesto, per la loro sottigliezza, portando l’osservatore a chiedersi come possano queste sostenersi e sostenere.

Mossi da tale questione la presente tesi ha l’obiettivo di definire il comportamento di una scala elicoidale in muratura previo lo studio di due strutture che stanno alla base di una scala elicoidale, ovvero, la cupola semisferica e la volta a botte. Grazie allo studio in campo Elastico di questi elementi ed all’applicazione della Teoria dei gusci sottili è stato possibile fornire una valutazione in merito all’andamento degli sforzi e di conseguenza delle forze membranali al loro interno. Da tale analisi è possibile notare come la stessa forma degli elementi considerati sia un fattore fondamentale della loro statica.

Ulteriore obiettivo del presente lavoro di tesi è l’identificare i diversi metodi esistenti per analizzare la statica di un elemento scala a patto che, questi, siano differenti dalle procedure semplificate spesso utilizzate. Infatti, per questioni di semplicità e velocità di progettazione molti progettisti hanno la tendenza a studiare le strutture scala come gradini a sé stanti che lavorano come una mensola incastrata. In questo modo è sufficiente analizzare il singolo gradino per definire una scala ma tale approccio ha dei risvolti negativi come il non considerare la scala nel suo complesso, il che potrebbe portare ad importanti errori di valutazione, inoltre, riduce l’efficienza, ovvero, la possibilità di ottenere il medesimo elemento

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con le medesime caratteristiche di resistenza necessarie ma con un minor impiego di risorse materiali.

Tra i diversi approcci ad oggi esistenti spicca per interesse il metodo delle Reti di Spinta (TNA). Il metodo TNA è stato ripreso da Marmo e Rosati (2017) [33] apportando alcune migliorie che permettono di aumentarne il grado di eﬃcienza computazionale e di estendere il campo di applicazione alle reti costituite da bordi liberi, anche in presenza di carichi orizzontali.

Una volta definiti i diversi metodi, per poter analizzare una scala elicoidale alla Saint-Gilles, la scelta ricade sul metodo TNA in quanto garantisce un elevato grado di flessibilità di utilizzo permettendo la analisi limite di complesse strutture tridimensionali le quali possono essere caratterizzate anche da più curvature, ed inoltre, non ha bisogno di considerare dettagliatamente le caratteristiche del sistema muratura; un considerevole vantaggio data l’elevata indeterminatezza del materiale. Questa flessibilità e semplicità di utilizzo fanno sì che tal metodo possa essere considerato come una valida alternativa a metodi più complessi, come l’approccio della membrana no-tension, ed allo stesso tempo permette di effettuare una verifica di sicurezza delle costruzioni storiche in muratura.

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Capitolo 1 - Introduzione

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1.2 LAYOUT

DELLA

TESI

Il presente lavoro di tesi è suddiviso in otto capitoli riassunti di seguito: • Capitolo 1

Nel primo capitolo vengono definiti gli obiettivi della tesi e le motivazioni per cui sono stati predisposti tali obiettivi. Inoltre, viene fatto un accenno in merito al background di partenza, ovvero, la situazione odierna entro cui si inserisce il presente elaborato.

• Capitolo 2

Il secondo capitolo definisce dettagliatamente l’evoluzione storica della scala elicoidale, oggetto di studio ed, inoltre, presenta un excursus storico in merito alle arti liberali e le arti meccaniche, in particolare come interagirono tra di loro, e di conseguenza, l’influenza che questo ebbe sulle costruzioni e sulla loro evoluzione. Viene, poi, illustrata in generale l’evoluzione del pensiero, della concezione del costruire, e la trasformazione delle regole costruttive e progettuali che hanno portato a quelle attuali. Il capitolo si conclude con la classificazione delle scale elicoidali formulata dal Trattato delle Costruzioni civili di Breymann (1885) [12], con una breve integrazione delle scale ovate di Palladio [41].

• Capitolo 3

All’interno del terzo capitolo viene definito il comportamento del sistema muratura nel momento in cui è sottoposto a sollecitazioni di compressione e di trazione e di conseguenza viene ricavato il legame costitutivo proprio della muratura. Viene riportato un riferimento alla teoria del poligono funicolare dei carichi fondamentale per comprendere il metodo successivamente impiegato per l’analisi limite della scala elicoidale.

• Capitolo 4 e 5

Col quarto capitolo si entra nella seconda parte della tesi, all’interno della quale sono stati riportati i metodi di studio con cui saranno analizzate le strutture “elementari” considerate. Tali strutture sono state scelte col fine di poter comprendere, successivamente, il comportamento di una scala elicoidale che può essere visto come sintesi delle strutture “elementari” scelte. Questi sono elementi riconducibili a gusci sottili e, inoltre, sono caratterizzati dalla stabilità per forma. Attraverso la Analisi Elastica, la quale ha uno scopo puramente di prima valutazione, viene definito a grandi linee il comportamento degli elementi, e di conseguenza si individuano le zone dove potrebbero apparire le fessurazioni. Gli elementi strutturali di “base” considerati sono le cupole semisferiche e le volte a botte che vengono analizzati in primis secondo una Analisi Elastica attraverso la Teoria dei gusci sottili e successivamente viene superato il limite elastico con una Analisi Statica non Lineare per considerare le caratteristiche plastiche del materiale e conoscere l’evoluzione del comportamento prima del collasso.

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• Capitolo 6

Nel sesto capitolo vengono riportati i metodi della Analisi Limite con cui poter studiare la statica di una scala elicoidale. In tal caso non viene presa in considerazione una Analisi di tipo Elastico in quanto, con una struttura così complessa come una scala elicoidale voltata in muratura, non sarebbe in grado di dare informazioni di rilievo o comunque sufficientemente corrette. I metodi illustrati sono riportati in ordine cronologico. Il primo è il metodo sviluppato da Heyman (1995) [28] il quale considera la scala come un insieme di blocchi rigidi soggetti ad azione torcente lato muro perimetrale ed in grado di trasmettere solo forze verticali all’estremo libero. Il secondo metodo è quello delle membrane no- tension, approccio più raffinato basato sulla definizione di una membrana non resistente a trazione posta all’interno dello spessore della struttura voltata. Questo metodo è stato sviluppato da Angelillo e Fortunato (2004) [3] poi ripreso per l’analisi di una scala elicoidale (2015). Fino ad arrivare al metodo più innovativo che semplifica la membrana no-tension con una rete di spinte, compressioni. Si basa sulla teoria delle reti di spinta di Block (2009) [11] poi ripresa da Marmo e Rosati (2017) [33] consentendo di aumentare il grado di eﬃcienza computazionale e di estendere il campo di applicazione alle reti costituite da bordi non vincolati, anche in presenza di carichi orizzontali.

• Capitolo 7

Nel penultimo capitolo viene eseguita l’analisi limite di una scala elicoidale, attraverso l’approccio sviluppato da Marmo e Rosati (2017) [33]. L’esempio riportato fa riferimento alla configurazione Vis di Saint Gilles della scala, la quale risulta soggetta ai soli carichi verticali. Grazie alla collaborazione con l’Ing. Marmo è stato possibile ottenere i risultati dalla suddetta analisi. Tali risultati sono stati, infine, commentati e giustificati.

• Capitolo 8

Nell’ultimo capitolo vengono riportate le conclusioni facendo un sunto di quanto ottenuto dalla Analisi Limite della scala elicoidale in muratura col metodo delle Reti di Spinta tenendo sempre in considerazione gli obiettivi prefissati in principio.

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CAPITOLO 2

STATO DELL’ARTE

2.1 EVOLUZIONE

DELL’ARTE

E

DELLA

SCIENZA

DEL

COSTRUIRE

Al fine di poter comprendere quanto descritto nei capitoli successivi, è fondamentale illustrare, sia pure a grandi linee, l’evoluzione del pensiero, della concezione del costruire, e la trasformazione delle regole costruttive e progettuali che ci hanno permesso di arrivare a quelle attuali.

L’arco temporale a cui si fa riferimento è di circa settemila anni lungo i quali il “materiale muratura” è nella maggior parte dei casi caratterizzato dall’unione di due componenti di diversa rigidità, e chiamato a rispondere a degli sforzi prettamente di compressione; ma non è sempre stato concepito, studiato e progettato allo stesso modo. Tra i secoli considerati di estrema importanza, e di conseguenza quelli maggiormente trattati di seguito, sono quelli che partono dell’epoca Medievale fino ad arrivare ai tempi più recenti.

All’interno dell’arco temporale considerato si riconoscono come protagoniste dell’evoluzione da un lato quelle che vengono generalmente definite arti meccaniche e dall’altro le arti di tipo liberale.

Due arti ed allo stesso tempo due mondi rimasti distinti tra di loro per diversi secoli, i quali evolsero separatamente, come due rette parallele, per poi ricongiungersi all’incirca nel Seicento, come sarà successivamente mostrato.

Le prime, ovvero le arti meccaniche, raccolgono tutte le conoscenze dell’arte del costruire, le quali venivano messe in pratica e si trasformavano a livello dei siti costruttivi; mentre le seconde riguardano il sapere di Fisici e Matematici i quali definivano le basi teoriche di materie quali l’aritmetica, la geometria e la meccanica.

Di seguito viene mostrato come varia il rapporto, l’interazione, tra le due arti, a partire dall’età medievale, con lo scopo di comprendere le diverse modalità con cui venivano concepite e progettate le strutture nel passato, e, di conseguenza, l’evoluzione che ha portato alla progettazione così come viene concepita ai tempi odierni.

Per poter effettuare questo confronto sono stati presi di riferimento i principali trattati dell’architettura, dell’ambito fisico e matematico. La Figura 1 sottostante permette di avere

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una visione chiara e precisa dei riferimenti e la loro collocazione a livello temporale, inoltre rende visibile il legame tra le due arti e la sua evoluzione.

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Capitolo 2 – Stato dell’arte

7 L’epoca Medievale, con i suoi dieci secoli di storia, assume un ruolo fondamentale a livello culturale, in quanto da essa è fiorita la grande stagione delle cattedrali gotiche in Francia. Punto di riferimento per la progettazione, prima e durante tutta l’epoca Medievale, era il trattato di Vitruvio, De Achitectura [42], all’interno del quale vengono definite le regole architettoniche attraverso cui garantire la firmitas, ovvero, la stabilità delle costruzioni, basandosi sulla simmetria, l’ordine e la proporzione. La progettazione fino alla fine del Medioevo veniva, quindi, realizzata attraverso rigide regole geometriche, le quali derivanti dalla eredità ellenica. Oltre a quanto riportato non si hanno informazioni, in particolare per quanto riguarda il processo costruttivo, le uniche arrivate ad oggi sono delle iscrizioni riportanti data e nome dei costruttori. La mancanza di informazioni rende difficile definire il processo seguito dai mastri costruttori per la realizzazione di una struttura, in termini di sapienza del costruire.

Di fatto solo nel 1230, circa, Villard de Honnecourt con il Taccuino di disegni [30] fornisce qualche informazione di carattere meramente tecnico-pratico dell’epoca, riportando le modalità di assemblaggio, i dettagli delle costruzioni ed anche alcune notazioni in merito a tempistiche e definizione del programma lavori.

Ma quello che si sta cercando è l’interazione tra le arti meccaniche e liberali ed i testi cardine dell’epoca Medievale fanno emergere come alla base delle “istruzioni” contenute al loro interno, sia in termini di progettazione geometrica che pratica del costruire, non vi siano conoscenze delle teorie fisiche e matematiche che rientrano all’interno della scienza del costruire. Entrambi i testi appena citati mostrano come gli autori fossero a conoscenza delle leggi della geometria, non va, infatti, dimenticato che gli Elementi di Euclide erano ben divulgati all’epoca; ma ciò non coincide col conoscere, per come le intendiamo oggi, le leggi della statica.

La mancanza di conoscenza può essere dimostrata attraverso un esempio tratto dal Taccuino di Villard [30] in cui viene rappresentato il moto perpetuo di una ruota, Figura 2. Da questa illustrazione si evince come vi sia una mancanza di conoscenza delle leggi della meccanica, da parte dell’autore. Negli stessi anni il matematico Giordano Nemorario all’interno del liber de ratione ponderis [36] riportata l’analisi dell’equilibrio di un giogo di bilancia a sospensione superiore facendo riferimento al concetto di gravità di posizione di un peso agente su di un braccio di leva mostrando una evidente conoscenza delle basi della meccanica.

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8

Figura 2 -Taccuino di Villard, rappresentazione del moto perpetuo di una ruota, sinistra, risoluzione di Giordano Nemorario destra.

Dall’esempio proposto risulta evidente il parallelismo tra le due arti, le quali erano presenti contemporaneamente e trattavano gli stessi temi fisico-costruttivi.

Questo parallelismo portò diversi storici a domandarsi quali fossero le conoscenze a cui facevano affidamento i costruttori per realizzare le opere. Tra questi lo storico d’arte Otto Von Simson il quale affermò:

il medioevo, che tanto diffusamente si espresse sulla scienza dell’architettura, in realtà costruì senza alcun supporto teorico. […]

Edifici importanti venivano imitati innumerevoli volte (di qui il significato delle scuole regionali nella storia dell’architettura romanica). [48]

Inoltre, secondo lo storico ed Architetto Roland Bechmann [7] quello che vediamo oggi non è altro che frutto di una “selezione naturale” a cui si è giunti dopo diverse esperienze sfortunate da cui i maestri gotici hanno saputo trarre “ammaestramento” per poter dare vita a capolavori come le cattedrali gotiche.

È possibile, quindi, affermare come alla base delle costruzioni dell’epoca vi sia una scienza “empirica” che può anche essere definita come scienza nascosta, ovvero, applicata ma non conosciuta dai costruttori, la stessa che ha permesso di creare una serie di modelli in grado di confermare la stabilità delle costruzioni, ovvero, di verificare e mettere in atto nella prassi costruttiva quelli che erano gli sviluppi delle arti liberali stesse. In sintesi, entrambe le arti arrivarono alla medesima soluzione ma per vie diverse, una che caratterizzata delle leggi della meccanica e l’altra di genere pratico.

È possibile, inoltre, fare una precisazione andando a definire il parallelismo tra le due arti come una interazione che venne nascosta più che una mancanza di comunicazione tra le due,

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9 dato che una sorta di interazione vi è stata per mezzo dell’arte liberale della geometria, introdotta da Euclide negli Elementi .

A conferma di quanto appena affermato si fa riferimento alle cosiddette logge costruite sui fianchi delle cattedrali, luoghi in cui i mastri levigavano e scolpivano la pietra e, soprattutto, dove le tecniche costruttive venivano gelosamente custodite senza far trapelare al di fuori, del sito costruttivo, informazioni in merito. In questo modo si manteneva “nascosto” un patrimonio di conoscenza grazie al quale i costruttori poterono godere di un certo potere. Questo si aggiunse alle pregresse conflittualità che vi furono tra le arti.

Infatti, l’architettura così come la medicina e le arti pittoriche e scultoree, invano, tentarono, nel

corso dei secoli, di entrare a far parte delle arti liberali, ovvero quella categoria in cui rientravano i dotti e gli intellettuali. Avanzò così la conflittualità tra dotti e non intellettuali così come quella tra le due arti, ulteriore motivo del parallelismo tra le due.

Si può riassumere come questa scienza “nascosta” dell’arte meccanica derivi non solo dal sistema di logge che caratterizzava i siti costruttivi ma anche ma anche da una continua rivalità che si ha sia in ambito tematico delle arti, che a livello di classe di appartenenza, dove le arti liberali avevano assunto un connotato elitario. Questa distinzione tenderà nel corso dei secoli successivi ad affievolirsi.

Nel Cinquecento la cultura della società varia e si avverte il bisogno di un sapere sempre più aperto all’osservazione dei fenomeni naturali ed alla loro comprensione teorica; tale bisogno si rivolse anche verso le arti meccaniche, quelle arti che risentivano sempre più del grande vuoto generato dalla mancanza di sapere scientifico. La necessità di sapere da parte della società genera un importante effetto, ovvero, quello di dare luogo ad una collaborazione tra arte e scienza che porterà poi alla grande rivoluzione scientifica nel Seicento.

Esempio lampante è la cupola di Santa Maria del Fiore dove Brunelleschi diede testimonianza di un passaggio della architettura dal tecnicismo empirico ad una prima fase di speculazione matematica. Perfetto esempio di come il costruttore del Rinascimento sia un intellettuale che inizia, seppur con difficoltà, a far comunicare tra loro arte e scienza del costruire.

Inoltre, quello che evolve è anche l’idea dell’architettura, come architettura che fuori esce dagli schemi di proporzionalità e simmetria imposti in passato da Vitruvio e dai modelli del

Figura 3 – Santa Barbara, Van Eyck, sulla destra della torre poggia la loggia degli scarpellini,

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10

tempo, lasciando così la possibilità all’arte architettonica di esprimersi. Questa evoluzione porta necessariamente ad un veloce avanzamento della scienza del costruire passando, così, dalle regole di proporzionalità del passato a quelle regole legate alla analisi strutturale ed alla resistenza del materiale.

A tale evoluzione si aggiunge una seconda, ovvero, il mutamento dei materiali utilizzati nell’ambito delle costruzioni, in cui oltre a mattoni, pietre, legno per le coperture e opus caementicium si aggiunge il ferro per la realizzazione di cerchiature catene e tiranti. Fu così possibile costruire strutture che superassero le regole di proporzionalità. Un esempio viene fornito dall’opera barocca di Sant’Ivo alla Sapienza di Borromini (1660), il quale consciamente inserì delle cerchiature in ferro con lo scopo di eliminare le spinte della cupola sul tamburo derivanti dal non proporzionamento geometrico.

Così la progettazione geometrica va via via scomparendo facendo spazio a strutture che si basano sullo studio delle resistenze dei materiali, fondamentale per l’impiego del ferro nelle strutture in muratura.

Dall’esempio riportato si evince come dalla metà del Seicento si abbia un lento e continuo avvicinamento dell’arte con la scienza delle costruzioni e quindi con la resistenza dei materiali e le tensioni interne alle costruzioni.

Nei secoli successivi si sviluppa una concezione architettonica più libera, svincolata dalle proporzioni e dalla simmetria, la quale insieme al crescente impiego del ferro ed alla conoscenza delle leggi della scienza del costruire permette la realizzazione di complesse forme strutturali caratteristiche del Barocco, del Settecento e dell’Ottocento.

La scienza nascosta intrinseca della geometria e delle proporzioni, anche se non più applicata, risulta ad oggi essenziale per la comprensione e conservazione delle costruzioni storiche. Non è altro che quella scienza basata sulla forma degli elementi, in sostanza, una forma geometrica che garantisce la statica ed è proprio questa correlazione tra forma e statica che verrà svelata nel corso dei capitoli.

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2.2 EVOLUZIONE

DELLE

SCALE

ELICOIDALI

Scale e rampe sono da sempre motivo di sfida e stimolo per l’uomo, oltre che ad essere un elemento necessario per superare facilmente i dislivelli. Da testimonianze, ad oggi ancora presenti, si evince come le scale vedono il loro utilizzo fin dai tempi preistorici con, inizialmente, la realizzazione di semplici insenature irregolari all’interno del terreno che saranno, successivamente, rivestite con pietra o legno per migliorarne le caratteristiche di durabilità e resistenza agli agenti atmosferici.

Quindi la nascita delle scale deriva da una necessità prettamente funzionale, permettendo di superare i diversi dislivelli del terreno sia agli uomini che agli animali, impiegati nel lavoro: è possibile, infatti, notare come molti sentieri siano

caratterizzati da gradini di lunghezza e larghezza tale da considerare il passo di asini e cavalli, oltre a quello dell’uomo.

Inizialmente l’impiego di tali elementi è riservato agli spazi esterni e, solo successivamente, vengono impiegate nei primi insediamenti come dimostrano i resti rinvenuti nei Templi di Tarxien a Malta risalenti al IV millennio a.C. dove le scale erano costituite da blocchi rettangolari sagomati e posti all’interno di una struttura megalitica. Le scale venivano utilizzate all’interno di edifici di tipo religioso, come ad esempio le piramidi egizie, caratterizzate da una moltitudine di sentieri gradinati per raggiungere anche i livelli più bassi in cui venivano posti i sarcofagi. Mentre per quanto riguarda gli insediamenti abitativi, questi, quando avevano delle scale, spesso venivano poste all’esterno dell’abitazione.

In particolare, in questo elaborato vengono trattate le scale di tipo elicoidale, una tipologia di scala che viene identificata con differenti nominativi tra cui: scala a spirale, scala circolare, ascensorium.

La prima tra tutte le testimonianze risulta essere riportata all’interno dell’Antico Testamento (970 a.C.) [10] in cui viene descritta la costruzione del Tempio di Salomone ed ogni sua parte. Di tale tempio non si hanno reperti archeologici ma la sola descrizione dettagliata riportata nella Bibbia, nel primo libro dei Re, all’interno del quale in merito alla scala si afferma:

Figura 4 - Resti di una scala monolitica del IVsec. a.C a Tarxien, Malta

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12

“La porta del piano più basso era sul lato destro del tempio; per mezzo di una scala a chiocciola si passava al piano di mezzo e dal piano di mezzo a quello superiore.” [10]

Riferendosi al territorio italiano, importante fonte di reperti archeologici, sono stati rinvenuti resti di parti di scale elicoidali, in particolare si trova quella che viene considerata come il primo esempio di scala a chiocciola in tutta la storia dell’architettura. Essa è localizzata lungo la costa occidentale a nord della Sicilia, all’interno del Tempio A del complesso di Selinunte (490-460 a.C.). Dalla pianta è possibile osservare la posizione delle due scale a chiocciola, ricavate nella parete d'ingresso al naos, due dispositivi particolarmente elaborati il cui utilizzo può essere spiegato solo da delle esigenze del culto che rimangono, però, ad oggi oscure. In particolare, sono stati rinvenuti dei conci monolitici sagomati utilizzati per la costruzione di scale elicoidali in cui si distingue perfettamente l’elemento portante, l’anima, da cui si sviluppa la pedata. Tale forma di gradino risulta a noi, tutt’oggi, familiare

Figura 5 - Pianta del Tempio A del complesso di Selinunte (490-460 a.C) e resto di un gradino di una delle due scale a chiocciola

Altri esempi simili sono stati ritrovati in tutto il sud dell’Italia, come nel caso del Tempio di Nettuno a Paestum, in cui subito dopo la cella, ai lati, vi sono due piccole scale a chiocciola, semi-occultate, che presumibilmente conducevano al tetto. Gli esempi rinvenuti nel sud Italia sono fortemente influenzati dalla tecnica greca, e sempre in Grecia si hanno resti di scale elicoidali ma differenti per concezione strutturale, e configurazione, da quelle italiane. Di particolare importanza sono le testimonianze risalenti al periodo ellenistico. Nelle isole greche di Naxos ed Andros in cui si hanno resti di interi villaggi nelle zone dell’entroterra, mentre spostandosi verso la costa, in punti strategici, si trovano delle torri a forma cilindrica, utilizzate per scopi difensivi. Caratteristica di queste torri è che per poter raggiungere i livelli più alti erano dotate, come si può vedere dalla Figura 6, di scale a sbalzo lungo il perimetro del cilindro, creando così delle vere e proprie scale elicoidali a sbalzo. Si riporta di seguito ad

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13 esempio la torre cilindrica di Agios Petros caratterizzata da un diametro di circa nove metri. ed una altezza di venti metri, presumibilmente costruita intorno al III-IV sec. a.C.

Figura 6 - Resti della torre cilindrica di Agios Petros III - IV Sec. a.C

Nei secoli successivi, sotto l’egemonia di Roma, non ci furono sostanziali variazioni o scoerte che abbiano modificato sostanzialmente il modo di costruire le scale. Tuttavia, in quel periodo ci furono una serie di costruzioni di tipo elicoidale degne di essere menzionate. Tra queste vi è la colonna di Traiano (113 d.C.) posta all’interno dell’omonimo foro, alta circa trenta metri (quaranta metri se si considerano anche il basamento e il capitello) ed è formata da tamburi sovrapposti in marmo di Carrara scavati all'interno per realizzare una scala a chiocciola che porta fino al piccolo terrazzo posto sopra il capitello in stile dorico. La scala a chiocciola è anch’essa in marmo e segue la configurazione vista per il tempio di Selinunte: scala a chiocciola con anima e gradini monolitici presagomati.

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14

Fino all’epoca dell’Impero Romano le scale elicoidali erano una rarità, infatti la loro complessità relegava il loro impiego principalmente per importanti opere celebrative e religiose. A partire dalla caduta dell’Impero Romano (476 d.C.) le scale elicoidali vennero maggiormente utilizzate. Erano strutture che richiedevano importanti capacità di manodopera da parte dei mastri costruttori, quindi non sorprende come l’epoca in cui si svilupparono le scale elicoidali nei castelli, chiese, monasteri e palazzi d’Europa coincida con lo sviluppo delle corporazioni artigianali nel Medioevo.

Se nell’antichità le scale elicoidali venivano utilizzate per edifici per lo più religiosi, funerari e celebrativi, col medioevo grazie anche allo sviluppo di costruzioni difensive, quali i castelli, sono state introdotte maggiormente nell’edilizia di tipo “civile”. Infatti, la presenza di torri di elevate dimensioni e spesso di forma cilindrica, rese necessaria l’introduzione di un numero sempre maggiore di scale elicoidali le quali venivano poste al loro interno sia con lo scopo di raggiungere i livelli più alti delle fortificazioni, sia con uno scopo di difesa. Le scale erano concepite in modo tale da dare ogni vantaggio ai difensori, uno di questi è che ad occhio esterno non si può sapere a quali livelli è posta la scala in quanto questa continua ad elevarsi variando continuamente locazione; inoltre vi è la teoria per cui le scale nelle torri difensive siano destrorse, antiorarie, per far sì che che il nemico, ascendente la scala, sia in difficoltà nell’utilizzare il braccio destro posto verso il lato interno della scala. Un esempio di astuzia è la grande scala elicoidale del castello di Orford (1172), una imponente scala elicoidale che se percorsa cercando il supporto al pilastro si rischia di perdere equilibrio e di precipitare verticalmente.

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15 Quanto riportato nella Figura 8, raffigura la scala appena presentata, la quale rimane un caso particolare, in quanto la maggior parte delle scale medievali necessarie allo scopo difensivo erano strette, scure ed anguste. Con l’evolversi dell’architettura militare, dal XIII secolo in poi, le difese, gli ostacoli, non furono più costruiti all’interno delle fortezze, perdendo, di conseguenza gli elementi sopracitati.

Successivamente, infatti, le scale divennero sempre più uno strumento di comunicazione, estetico e di spettacolo piuttosto che di difesa e di servizio, ed in contrapposizione con quanto usato fino a quel momento, le scale elicoidali del tardo medioevo cercano la luce, lo spazio e lo stupore degli osservatori. Questo risulta essere un passaggio fondamentale per la progettazione architettonica, dove la scala, in generale, dall’essere elemento meramente secondario, passa ad essere fulcro ed elemento di maggiore importanza all’interno degli edifici.

Un esempio emblematico è la scala a doppia elica del Castello di Chambord, realizzata agli inizi del XVI secolo e universalmente riconosciuta come l’apoteosi della tecnica costruttiva prerinascimentale.

Figura 9 - Scala a doppia elica del Castello di Chambord XVI secolo

Allo stesso modo nei secoli XVII e XVIII, ovvero in età barocca, le scale venivano sempre più utilizzate come dimostrazione di potere da parte del proprietario, una sorta di status symbol. Un nuovo mezzo architettonico per simboleggiare la potenza della famiglia all’interno del paese furono le torre-scala le quali, precedentemente, venivano utilizzate nei complessi religiosi, mentre in quei secoli vennero impiegate in palazzi, case di nobili famiglie ed altri edifici. Questo perché le torri permettevano di individuare le proprietà di nobili famiglie anche da elevata distanza.

Nei secoli seguenti le scale elicoidali divennero sempre più complesse dal punto di vista strutturale, architetti ed ingegneri, grazie anche all’introduzione dell’acciaio e del calcestruzzo armato, inteso nella concezione moderna, nelle costruzioni, abbandonarono la

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concezione di scala in muratura per potersi spingere oltre, per superare quei limiti che la muratura portava con sé.

Fu così possibile arrivare alla forma più spettacolare, elegante e visivamente semplice di una scala elicoidale: una scala elicoidale senza muri di sostegno interni ed esterni, una scala elicoidale autoportante in cui i carichi vengono trasmessi a terra tramite una trave di forma elicoidale. Un esempio è posto all’interno del palazzo Itamaraty che ospita il Ministero degli affari esteri di Brasilia all’interno del quale si trova la scala progettata da Oscar Niemeyer (1960-70).

Figura 10 - Ministero degli affari esteri, Brasilia, Oscar Niemeyer (1960-70)

Ulteriore soluzione, dal punto di vista dei materiali, è stata ottenuta dall’impiego dell’acciaio il quale permise la realizzazione di strutture uniche e di conseguenza di diminuire notevolmente i tempi di produzione e messa in opera.

Fino ad arrivare ad esempi innovativi, dei tempi odierni, di scale elicoidali in elementi monolitici in pietra che sfruttano il principio statico della precompressione.

A tal proposito si riporta quanto brevettato dall’Architetto Giuseppe Fallacara, in particolare, il brevetto di riferimento è l’Escalier Ridolfi, Figura 11, la quale rispetto alle altre scale, brevettate dall’Arch.Fellacara, suscita particolare interesse per il ridotto spessore che in grado di ottenere. Tale scala risulta perfettamente rispondente ai criteri di unità geometrica grazie alla perfetta continuità e aderenza delle superfici, intradossali, che definiscono i singoli gradini. Tale soluzione può essere vista come una “volta” elicoidale spingente, definita da più parametri, di natura statico-geometrica. L’ipotesi statica alla base della progettazione consiste nell’assenza sia delle murature esterne, per il contenimento delle forze orizzontali, che del nucleo centrale, per lo scarico verticale dei pesi, e nell’inserimento di armature interne alla massa lapidea, le quali assicurano l’equilibrio globale dell’opera attraverso la trazione dei cavi e quindi la compressione della scala.

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Figura 11 - L’Escalier Ridolfi, Architetto Giuseppe Fallacara

2.2.1 Evoluzione della progettazione di scale elicoidali

Come già affermato nei paragrafi precedenti, la progettazione delle costruzioni per diversi secoli ha seguito delle regole basate sulle proporzioni, simmetria ed ordine.

Primo esempio di progettazione è situato all’interno della Bibbia, in particolare nel Libro di Ezechiele [9] e nel Libro dei Re [10], datati rispettivamente 600 a.C. e 970a.C., all’interno dei quali si avverte la forte necessità di rispettare delle misure prestabilite ed il loro rapporto di proporzionalità, attraverso i quali era possibile ottenere un “ordine” costruttivo. Ad esempio, all’interno del Libro di Ezechiele si fa riferimento alla “gran misura”, una barra di dimensioni di sei cubiti, che veniva utilizzata per stabilire lo sviluppo costruttivo interno di edifici ed esterno, come la forma globale degli edifici stessi.

Punto di riferimento per secoli, fino al Rinascimento, come gia riportato nel paragrafo precedente, è stato Vitruvio, autore del De Achitectura [42], il quale univa il canone di bellezza con il rispetto di precise regole matematiche derivanti da Pitagora, le quali caratterizzarono l’architettura ellenica. Lo stesso Vitruvio adotterà

un “metro” attraverso il quale sviluppare le opere e questo era il corpo umano, dal quale riprese le sue naturali proporzioni come modello estetico universale. Allo stesso tempo rimane ben presente l’eredità pitagorica in quanto la proporzionalità delle parti non poteva non essere armoniosa. Già nell’antichità ma, ancor di più successivamente

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il microcosmo ed il macrocosmo, ovvero tra l’uomo e la natura che lo circonda.

Ma sarà solo nel XV secolo che i trattati di architettura inizieranno a definire e rappresentare strutture più complesse come le scale in muratura. Il primo esempio, si ha con Leon Battista Alberti, all’interno del trattato De re aedificatoria [1], in cui riporta la definizione e la classificazione delle scale:

“Scala il più spazioso sito, che serve per salire agli appartamenti d’un palazzo, d’una casa ecc. Si fanno le scale in diverse maniere, cioè a branche a ripiani, a lumaca con anima, senz’anima, ovali, a cordonata ec. Una Scala principale non può essere di minor larghezza di sei palmi dovendo dare il comodo a due persone di salire, e scendere agiatamente senza urtarsi.” [1]

In generale Leon Battista Alberti pose l’accento sull’importanza della scala all’interno dell’economia globale di un edificio, riconoscendone la complessità di realizzazione.

Verso la fine del 1500 la scala assunse un ruolo non più secondario ma principale all’interno degli edifici, diventandone il punto focale, come misurasse la bellezza dell’intero edificio. Emblematico esempio è la scala a doppia elica del Castello di Chambord, realizzata agli inizi del XVI secolo e universalmente riconosciuta come l’apoteosi della tecnica costruttiva prerinascimentale. Una struttura fondamentale che segnò gli studi di diversi trattatisti come Vignola e Palladio, il quale la illustrò all’interno del proprio trattato.

Successivamente Serlio (1584) [47] definì le scale elicoidali come elementi di particolare complessità la cui progettazione dovrebbe spettare ai soli costruttori esperti, per questo motivo produsse un manuale universale, i sette libri di architettura, per la sua corretta progettazione, citando, come unica opera moderna degna di ammirazione, la scala elicoidale del Bramante, Figura 13.

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19 Lo stesso fece Scamozzi il quale produsse un trattato, L’idea

dell’architettura Universale (1615) [45], una sorta di manuale universale delle scale in muratura all’interno del quale definisce la giusta posizione delle scale all’interno degli edifici, le diverse tipologie strutturali e, inoltre, per la prima volta si fa riferimento ad indicazioni riguardanti i materiali da costruzione preferibili.

I trattati appena citati sono stati utilizzati lungo tutto il Settecento, ma alla fine dell’Ottocento si iniziano ad avere maggiori informazioni riguardanti le tecnologie e le modalità costruttive.

Primo tra tutti fu Breymann con il Trattato generale di costruzioni civili (1885) [12] all’interno del quale riporta oltre ad una classificazione delle scale per geometria sviluppo e statica, anche le modalità con cui queste potevano essere costruite, come fosse un vero e proprio manuale completo per la realizzazione delle scale. Così come Breymann anche Viollet le Duc [51] fece un lavoro di catalogazione illustrata delle scale in muratura esistenti, con tavole caratterizzate da disegni dettagliati delle strutture, dietro ai quali si percepisce una conoscenza della statica.

Ai tempi moderni la progettazione di elementi complessi, come le scale elicoidali, non viene sviluppata secondo proporzioni, geometrie prestabilite o illustrazioni di casi precedenti, bensì vengono progettate per poter essere poi verificate secondo le Analisi Limite introdotte da Heyman [26]. Dalla teoria introdotta da Heyman si sviluppano successivamente diversi approcci per lo studio delle scale elicoidali. A partire dallo stesso Heyman [28], il quale, propose un modello basato sul considerare un elemento scala come la sovrapposizione di singoli elementi rigidi in grado di trasmettere solo forze verticali tramite i loro spigoli, come sarà poi illustrata al paragrafo 6.1.

Tale teoria dei blocchi rigidi viene poi ripresa da Baratta. A., e Corbi, I., (2013) [6] per l’analisi di scale elicoidali, le quali vengono modellate come un’elica vincolata internamente ad un cilindro perimetrale indeformabile. Tale approccio presenta delle problematiche come la presenza di tensioni di trazione difficili da motivare in quanto violano l’ipotesi di materiale non reagente a trazione.

Figura 14 – Rappresentazione di una scala elicoidale aperta,

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20

Sempre a partire dall’approccio presentato da Heyman, Angelillo,M [4]sviluppa una soluzione per poter analizzare scale elicoidali composte da gradini monolitici interagenti esclusivamente per mezzo di un cordolo centrale. Da tale considerazione egli formula un approccio per una struttura continua, combinando la soluzione originaria, alla Heyman, con una ad anello in grado di ridurre la crescita delle azioni torcenti alla base della scala.

Sempre a partire dalla Analisi Limite si sviluppa un metodo basato sulle membrane non reagenti a trazione, proposto da Gesualdo, A. (2017)[25] e definito successivamente al paragrafo 6.2.

Infine, è necessario riportare alcuni approcci che segnano un passaggio tra il metodo della membrana non reagente a trazione ed il metodo utilizzato nel presente lavoro di tesi delle Reti di Spinta.

Con lo scopo di semplificare il metodo delle membrane non reagenti a trazione, Como.M., (2016) [14] sviluppa per l’analisi di scale alla romana un approccio per cui la membrana viene considerata come una rete discreta di linee di spinta.

Su questa linea d’onda si è sviluppato il metodo utilizzato per l’analisi Limite della scala esempio del presente lavoro, ovvero, il metodo TNA di Block (2009) [11] esteso da Marmo.F e Rosati.L (2017) [33], il quale viene definito all’interno del paragrafo 6.3 ed applicato nel capitolo7.

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21

2.3 CLASSIFICAZIONE

DELLE

SCALE

ELICOIDALI

Come si evince dal paragrafo precedente la progettazione delle scale ha da sempre suscitato grande interesse nei confronti dei diversi trattatisti e costruttori nel corso dei secoli. Quello che li accomuna sono gli scopi, gli aspetti che dovevano essere soddisfatti per ottenere un elemento ben progettato. Questi ultimi sono: la statica dell’elemento, che inizialmente veniva considerata rispettata attraverso l’utilizzo delle sole leggi della proporzionalità, la sicurezza, ed il comfort in base all’ambito di utilizzo.

La denominazione delle diverse tipologie di scale varia nel corso dei secoli così come la loro classificazione non risulta essere stata sempre univoca.

Di seguito viene presa in considerazione la classificazione formulata nel Trattato delle Costruzioni civili di Breymann (1885) [12] all’interno del quale viene riportata la nomenclatura delle parti di una scala, la classificazione delle stesse, la loro progettazione e realizzazione. Quanto riportato di seguito fa riferimento alle scale in pietra e laterizi.

Una prima classificazione generale viene eseguita sulla base della forma, ed è possibile distinguere:

• Scale rettilinee

• Scale rettilinee spezzate • Scale giranti

Le scale rettilinee sono quelle scale il cui asse, può essere la linea mediana, costituisce una linea retta continua tra l’inizio ed il termine. Tale tipologia può essere provvista o meno di pianerottolo.

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22

Le scale rettilinee spezzate derivano da più linee rette unite tra loro e formano, alle unioni, degli angoli, oppure, delle curve.

Figura 16 – Diverse configurazioni di Scale rettilinee spezzate

Quando la linea mediana della scala è curva e le pedate hanno larghezze differenti ai due capi del gradino allora si tratta della scala girante. Nel momento in cui la linea mediana è una curva chiusa la scala girante si definisce a chiocciola o elicoidale.

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23 Più precisamente le scale a chiocciola sono caratterizzate da un contorno che solitamente descrive una circonferenza chiusa e la scala si avvolge, in forma di spirale, attorno ad una retta verticale posta al centro della circonferenza.

Breymann, quando parla di scala a chiocciola, non riporta esempi di scale con pianta che non sia di tipo circolare, mentre tali configurazioni sono state prese in considerazione da Palladio, all’interno del trattato I quattro libri dell’architettura (1570) [41], il quale considera delle scale denominate ovate caratterizzate da una pianta ellissoidale.

Figura 18 - Scala ovata, I quattro libri dell'architettura, Palladio

La retta attorno alla quale si sviluppa la scala può essere l’asse di un pilastro cilindrico, anima della scala, oppure l’asse di un cilindro vuoto, il pozzo della scala. Da qui deriva la distinzione tra:

• Scala a pozzo • Scala ad anima

Spesso vengono utilizzate le scale elicoidali costituite da gradini, i quali, una volta sovrapposti formano, con il loro estremo, un’anima di circa 18cm di diametro (misura media), la quale ottiene più o meno risalto a seconda della forma del gradino stesso.

Questi gradini vengono incastrati per qualche centimetro all’interno dei muri perimetrali oppure sono lavorati con i conci che vanno a formare il muro ed allo stesso tempo vengono sovrapposti l’uno sull’altro per circa 3-6 cm a livello dell’estremità esterna.

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L’incavatura dei gradini in prossimità dell’anima è una scelta prettamente estetica, ovviamente entro certi limiti per poter garantire la statica dell’elemento, in quanto riducendo il collo si dà maggior risalto all’anima della scala.

La tipologia sopra descritta risulta essere la più comune in quanto più semplice dal punto di vista costruttivo e di conseguenza anche più veloce da realizzare. Quanto appena riportato è l’esempio di una delle configurazioni più utilizzate, ma l’anima della scala può anche essere un sistema a parte in muratura e non necessariamente derivare dalla composizione dei gradini.

Figura 19 - Dettaglio della geometria di un gradino per una scala elicoidale ad anima

Nel caso di una scala a pozzo questa può essere dotata di un fianco interno in pietra che cinge il vuoto, il quale può essere, a sua volta, costruito separatamente o derivare dalle teste dei gradini. Questa configurazione richiede un elevato quantitativo di materiale ed è di difficile realizzazione, per tale motivo non è una delle soluzioni maggiormente adottate.

Di seguito, Figura 20, si riporta l’immagine di un gradino costituito, sull’estremo interno, di un fianco che sporge verso l’alto, ed anche in questo caso la composizione della scala deriva dalla sovrapposizione dei diversi gradini.

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Figura 20 - Dettaglio della geometria di un gradino per una scala a pozzo

Dal punto di vista costruttivo e statico è possibile effettuare una ulteriore classificazione:

• Scale a collo • Scale a volo

Col termine scale a collo, si raggruppano le scale caratterizzate da gradini appoggiati ad entrambe le teste; per ottenere tale configurazione si posizionano le scale all’interno di una gabbia che costituisce la parte portante, la quale può essere formata da muri pieni sia sulle teste esterne che interne dei gradini, oppure, da sistemi a pilastri.

La struttura più semplice può essere rappresentata dalla Figura 21 a sinistra, in cui viene impiegata una tramezza in muratura dello spessore di due teste in modo tale che ogni gradino poggi entrambe le teste su muro pieno. Al posto dei muri di tramezza spesso si adoperano insiemi di archi per dare appoggio ai gradini. Gli archi presentano degli appoggi intermedi oppure si considerano come volte a botte se si devono sorreggere interamente lungo la rampa della scala e la lunghezza libera supera i 3m.

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Figura 21 - Scala a collo (sinistra) Scala a volo (destra)

Le scale a volo, a loro volta, si distinguono in scale a volo con fianchi o senza fianchi. Nel primo caso rientrano tutte quelle scale i cui fianchi interni sono appoggiati solo al principio ed alla fine.

Mentre nel caso della scala a volo senza fianchi, ossia, a sbalzo si ha una soluzione architettonicamente più leggera rispetto alle precedenti, in quanto in tal caso il parapetto non toglie parte della larghezza utile della scala, ma si innesta alle teste dei gradini stessi. Questo permette di avere gabbie delle scale più ristrette oppure delle larghezze maggiori dei gradini.

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CAPITOLO 3

IL COMPORTAMENTO MECCANICO DEL

SISTEMA MURATURA

3.1 INTRODUZIONE

La muratura è un sistema costruttivo fortemente radicato nella cultura italiana, tant’è che, viene ampiamente utilizzato anche nelle costruzioni più recenti, oltre ad essere stato ampiamente impiegato in quelle passate.

Questo sistema è costituito da diversi componenti, elementi in pietra naturale od in laterizio, e malte, ed è proprio la loro differenza ad influenzare fortemente le caratteristiche di resistenza e di deformabilità dell’insieme muratura.

Pertanto, la muratura viene considerata come un materiale composito non omogeneo dipendente dalle caratteristiche dei singoli componenti che la costituiscono.

Come accennato, i blocchi utilizzati possono essere di tipo artificiale, come ad esempio il laterizio, oppure naturale, quindi pietre ottenute dal taglio di rocce come, ad esempio, il tufo, l’arenaria o calcareniti. La differenza tra blocchi artificiali e naturali, aldi là del punto di vista meccanico, consiste nella regolarità geometrica dell’elemento: i blocchi artificiali sono tutti di ugual dimensione e dotati di superfici planari, mentre i blocchi di pietra naturale sono irregolari e diversi tra loro.

Il secondo componente, la malta, non solo ha il compito di unire i blocchi ma anche quello di generare uno strato deformabile in grado di assorbile le irregolarità dei mattoni stessi; infatti, in tal modo i conci poggiano l’uno all’altro attraverso la loro intera superficie e non per pochi punti di contatto.

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Figura 22 - Sistema muratura in blocchi regolari ed in conci sbozzati

In generale una delle tipologie più comuni di muratura risulta essere quella caratterizzata dalla sovrapposizione a scacchiera di blocchi in laterizio pieni, intervallati da letti di malta, come è possibile osservare dalla Figura 22, in cui è possibile percepire la regolarità della texture della tipologia considerata.

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Capitolo 3 – Il Comportamento meccanico del Sistema Muratura

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3.2 RESISTENZA

A

COMPRESSIONE

UNIASSIALE

Per poter valutare la resistenza a compressione della muratura si considera un provino di muratura a tessitura regolare con blocchi squadrati e giunti di malta sottoposto a compressione uniassiale.

In generale le esperienze mostrano come la muratura compressa lungo una unica direzione raggiunge lo stato di rottura mediante lo sviluppo di lesioni a livello dei blocchi, nonostante queste siano più resistenti della malta, la quale, al contrario, ha una maggiore deformabilità. Guardando il diagramma σ-Ꜫ si può notare come la malta abbia un comportamento quasi duttile nonostante la sua scarsa resistenza a compressione, mentre il blocco ha una elevata resistenza a compressione ma, allo stesso tempo, una scarsa capacità di deformazione, e ciò, lo rende un materiale fragile. La muratura si colloca esattamente nel mezzo come sintesi dei comportamenti dei due singoli componenti. Tale paradosso viene spiegato di seguito.

Figura 23 – Diagramma σ-Ꜫ in cui si confrontano malta blocchi e Sistema muratura

Si considera un volume rappresentativo elementare (RVE) di un pannello murario, (ovvero la più piccola porzione di muratura che possiamo studiare per poter derivare delle proprietà medie che siano effettivamente rappresentative) costituito da almeno quattro corsi di blocchi e da tre letti orizzontali di malta, sottoposto a compressione uniforme e perpendicolare ai giunti di malta.