DEFINIZIONI DI BASE

Questo paragrafo descrive alcuni calcoli comunemente usati e richiede una certa dimestichezza con l'analisi matematica.

La Trasformata veloce di Fourier, FFT

La FFT di N punti discreti, detta anche DFT (Discrete Fourier Trasform), con punti campionati mediante digitalizzazione, é definita dalla relazione:

1 ( 2 ) / 0 N j nk N k n n F A e ^    



per k variabile da 0 ad N-1. Si definisce anche la FFT Inversa ad N punti di una sequenza di valori data dalla relazione:

ACUSTICAAPPLICATA 25 1 (2 ) / 0 1 N j nk N n k k A F e N    



Queste funzioni (diretta e inversa) sono oggi facilmente calcolate mediante algoritmi rapidi e compatti che possono essere registrati nella memoria EPROM delle apparecchiature acustiche o eseguiti dai moderni e veloci computer. Si osservi che il numero N di punti definiscono una durata finita del segnale campionato pari a Nt con uno spettro discretizzato in N/2 componenti complesse alla distanza di fs/N Hertz con fs la frequenza di campionamento.

Se il segnale da analizzare è tutto compreso nella finestra di analisi Nt allora la DFT non introduce errori in caso contrario si ha un effetto di troncamento agli estremi della finestra temporale Nt, come schematizzato in Figura 19 dove si ha nella prima riga la DFT teorica e nella seconda riga la DFT reale con l’errore di troncamento che produce una anomalia nel segnale ricostruito nel dominio del tempo.

Zero Padding

Il numero di campioni contenuti in un frame deve sempre essere uguale ad una potenza di 2: per garantire si fissa la dimensione della trasformata a 2N in maniera da renderla uguale o maggiore della dimensione del frame ed ogni punto al di fuori è calcolato come zero. Per ridurre l’effetto di troncamento si utilizzano opportune funzioni dette finestra che hanno lo scopo si ridurre l’ampiezza del segnale campionato alle estremità della finestra di campionamento. In pratica si moltiplica il segnale per una funzione particolare che riduce gli effetti di discontinuità agli estremi della stessa finestra di analisi.

t t f f A A A A

Figura 19: Errore di troncamento dei segnali

Per il teorema di convoluzione si applica la finestra effettuando la convoluzione nel dominio del tempo tra lo spettro del segnale non ponderato e la trasformata di Fourier della funzione

finestra.

Interessante é la funzione di Hamming, vedi Figura 20, definita dalle seguenti relazioni:

con:

 

Figura 20: Rappresentazione della funzione di Hamming per T0=40

Per |t|<=T0 e con a(t)=0 fuori dell'intervallo. Una rappresentazione grafica é data nella figura seguente. Nella Figura 21 si ha lo spettrogramma della parola [aiuole] e nella Figura 22 si ha la sezione effettuata in corrispondenza del cursore (riga verticale) pesata con la funzione triangolare.

ACUSTICAAPPLICATA 27

Figura 22: Sezione dello spettrogramma con finestra di pesatura triangolare

Nella Figura 23 si ha la stessa sezione pesata con una finestra di Hamming mentre in Figura 24 si ha una pesatura con la funzione di Blackmann e Harris.

Figura 23: Stessa sezione precedente ma con finestra di Hamming

Come si può ben vedere la funzione di pesatura può avere rilevanza nella definizione di dettaglio delle armoniche calcolate.

Figura 24: Stessa sezione trattata con finestra di Blackmann - Harris

Oggi si dispongono di numerose funzioni finestra da selezionare caso per caso a seconda del segnale da analizzare.

Pre - Enphasis

Quando si abilita tale opzione il segnale viene enfatizzato alle frequenze più alte prima di essere analizzato semplicemente applicando una derivata punto-punto sul segnale.

Ovviamente ciò viene fatto solamente sul calcolo lasciando inalterato il segnale originale. La procedura consente di "amplificare" le frequenze alte con una pendenza di 6 dB/ottava e viene usata essenzialmente dove occorre evidenziare fenomeni su frequenze che vengono naturalmente "compresse".

Analisi di un suono puro

Nelle figure seguenti si ha l'esempio di un suono puro alla frequenza di 452 Hz e della sua FFT effettuata mediante un software opportuno. La frequenza di campionamento è pari a 8 kHz e si sono applicate le relazioni indicate in precedenza per il calcolo della FFT, rappresentata in Figura 26. Si osservi come l’algoritmo numerico porti ad avere non una linea centrata a 452 Hz bensì un picco molto ristretto (ma la cui larghezza è ben visibile) centrato in corrispondenza di questa frequenza.

Figura 25: Suono puro a 452 Hz

L’algoritmo numerico di calcolo e di campionamento introduce, quindi un errore di troncamento nella rappresentazione spettrale che, però, non porta a conseguenze inaccettabili. Il picco, infatti, è ben centrato sulla frequenza del segnale e questo è sufficiente per l’analisi armonica.

ACUSTICAAPPLICATA 29

Se il segnale di origine è complesso (cioè è composto da più suoni puri) allora le cose si complicano un po’, come visto in precedenza. Nelle figure seguenti si ha l'esempio di un suono composto da più suoni puri a varie frequenze e della sua FFT effettuata mediante un software opportuno. Si possono osservare nella Figura 28 ben cinque armoniche le cui frequenze sono facilmente desunte in ascissa.

L’effetto degli errori di troncamento dovuti al campionamento e poi al calcolo della FFT portano alla formazione di picchi, ben visibili in figura, con alla base una sorta di rumore dovuto all’errore di calcolo. Pur tuttavia le frequenze di picco sono perfettamente calcolabili.

Si suole rappresentare un segnale in uno spazio immaginario avente nei tre assi il tempo, l'ampiezza e la frequenza di ciascuna armonica componente.

Figura 27: Rappresentazione di un suono complesso

2.8. INNALZAMENTO DEI LIVELLI CON L’ALLARGAMENTO DELLA