(1.62) (ipotesi di Boussinesq)
• condizioni locali di equilibrio termodinamico (T=Tk) • diffusione trascurabile nella fase solida (¸¹ 0
• la fase solida è considerata indeformabile priva di tensioni interne
• la regione di mushy e assimilata ad un mezzo poroso con permeabilità isotropa
• calore specifico e la conduttività termica sono considerati costanti e non dipendenti dalla temperatura.
L’entalpia della fase solida e della fase liquida può essere quindi espressa tramite la (1.68), secondo le seguenti espressioni:
h cT (1.71)
h cT 4c cT³ h5 (1.72) Dove si assume che:
_h|c 0 _h h|cc» h
L’assunto di miscela satura, di una fase solida priva di tensioni interne, e di una fase solida impermeabile, presume l’assenza di una terza fase (possibile porosità) e necessita di un’ulteriore condizione tale per cui ρ ρ e quindi presume alla base un’uguaglianza delle frazioni in massa delle fasi: g« f«.
Senza questa ipotesi, la formazione di una eventuale terza fase di porosità andrebbe a violare la condizione di saturazione della miscela (gs+gl=1) nel caso in cui ρs> ρl, e violerebbe l’ipotesi di assenza di tensioni nella fase solida, nel caso in cui ρl> ρs.
Una semplificazione delle equazioni di conservazione può essere effettuata se si assume la fase solida priva di moto (vs=0).
Una descrizione accurata della permeabilità della regione bifasica in cambiamento di fase richiede considerazioni approfondite in merito alla particolare morfologia della struttura di solidificazione della miscela.
Nell’applicazione del modello al caso in esame in [34], la permeabilità viene assunata variabile in funzione della frazione liquida in volume secondo l’equazione di Kozeny-Carman:
K K2 g §
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Fig. 1. 4 Diagramma di fase e regola della leva
dove K0 è una costante che dipende dalle caratteristiche morfologiche specifiche della regione multifase.
Nella fase completamente solida (gs=0) e nella fase completamente liquida (gl=1), l’equazione (1.73) assume i valori limite, rispettivamente K=0 e K ∞.
L’equazione (1.73) è generalmente considerata valida per flussi in regime laminare e per zone con frazione volumetrica di liquido gl<0.5.
Diventa quindi più incerta la sua corretta applicazione nelle zone della mushy immediatamente a ridosso della linea di liquidus dove il flusso risulta più vicino a condizioni di moto libero e dove quindi risulta difficilmente stimabile l’effetto penalizzante fornito dal valore di permeabilità definito dalla (1.73) che compare nella (1.62).
Il sistema delle equazioni di conservazione (1.61)-(1.64) viene quindi ad essere chiuso da ulteriori equazioni costiutive che coinvolgono le frazioni in massa delle due fasi fk e le frazioni in massa dei diversi componenti della singola fase ¯¹.
Assumendo condizioni di equilibrio locale, facendo riferimento al diagramma di fase di fig.4 è possibile ottenere le seguenti relazioni:
f 1 k1 )
T T
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f7 21 f k) ´k) 1µ3 f 7 (1.75) f7 21 f 1 ´k) 1µ3 f 7 (1.76)Dove Tl è la temperatura di liquidus corrispondente a fα, Tf è la temperatura di fusione per f7, 0, e il coefficiente di ripartizione sotto l’ipotesi di equilibrio locale è ottenuto dal rapporto tra le pendenze della curva di liquidus e solidus kp=ml/ms.
L’assunzione di equilibrio locale non preclude l’esistenza di condizioni di non equilibrio alla scala macroscopica. La redistribuzione macrospica della specie per trasporto advettivo e diffusivo viene regolata dall’Eq. (1.64), da cui si ottiene il valore di fα.
1.9 Classificazione dei modelli a basati sulla fase di miscela solido-liquida Le formulazioni trattate nel Cap. 1.7 (Voller e Prakash) e nel Cap. 1.8 (Bennon ed Incropera), rappresentano due esempi di modellazione numerica del cambiamento di fase in cui le equazioni che governano il problema sono valide su tutto il dominio di calcolo.
Determinando le caratteristiche di miscela in base alle formulazioni viste nel Cap 1.8 è possibile ricondurre anche la zona di cambiamento di fase a ad un mezzo continuo ipotizzando che le trasformazioni di fase avvengano in condizioni di equilibrio termodinamico locale, trattando la mush region da un punto di vista macroscopico.
Voller e Brent forniscono in [22] una valida classificazione dei modelli a singolo dominio basati sull’introduzione di una miscela solido-liquida.
Ciò che gli Autori sottolineano è come approcci basati su una sola formulazione di tipo macroscopico necessità di opportuni accorgimenti per descrivere fenomeni che avvengono a livello microscopico nell’interazioni tra le singole interfacce di cambiamento di fase la cui morfologia e fenomenologia di processo interessa dimensioni ben più piccole (10-100 µm), rispetto alle dimensioni medie dei volumi di controllo impiegati nei modelli a singolo dominio (10-2-10-3 m).
Partendo da queste considerazioni Voller e Brent introducono alcune importanti classificazioni della tipologia del fenomeno di solidificazione in base alla morfolgia della mushy sia su scala macroscopia che su quella microscopica. Secondo la classificazione proposta è possibile identificare su scala macroscopica due tipologie di mushy, definendo:
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Fig. 1.5 Classificazione dei modelli basati su ipotesi di miscela solido-liquida
a- zone di cambiamento di fase con fasi solide completamente disperse nella fase liquida e con valori uguali di velocità assoluta delle due fasi: vs=vl. Questo schema corrisponde a ciò che avviene all’interno di sostanze vetrose e nelle paraffine e, entro certi limiti, può descrivere anche la solidificazione equiassica delle leghe, quando non sia hanno gradienti termici orientati secondo una direzione prevalente rispetto ad un'altra b- zone di cambiamento di fase in cui la matrice solida è ben distinta dalla fase
liquida, come ad esempio nel caso di solidificazione colonnare nelle leghe metalliche
La categoria (b) può a sua volta essere suddivisa secondo ciò che avviene su scala microscopica in termini di diffusione dei diversi componenti della sostanze nelle due fasi.:
c- si può ancora una volta ipotizzare su scala microstrutturale una rappresentazione di matrice solida dispersa nella fase liquida definendo una concentrazione media della miscela ottenuta in base alla concentrazione all’interno delle due fasi: C® fC fC
d- in alternativa si può rappresentare la microstruttura secondo due fasi distinte, separate da una interfaccia discreta di demarcazione.
In questo caso è possibile ipotizzare un trasporto per diffusione infinita dei componenti all’interno delle fasi che porta ad ottenere nel volume di controllo, seguendo la regola della leva una composizione media: C® fC fC.