Descrizione del metodo e test sperimentali

Preliminarmente, `e stata analizzata la sensibilit`a del dato alla variazione di ciascun parametro del modello in funzione della matrice dei pesi applicata al sismogramma. A ciascuno dei 190 parametri del modello di riferimento mbest

`

e stato aggiunto il 25% del valore vero, `e stato calcolato il sismogramma del modello perturbato e se ne `e calcolato il valore di misfit in norma L1 in tre casi (figura 3.43):

ˆ Moltiplicando il sismogramma per una matrice che vale 1 intorno agli arrivi diretti e rifratti, e zero altrove (first break mask ).

ˆ Sul sismogramma grezzo.

ˆ Applicando al dato una funzione di guadagno esponenziale nei tempi in modo da dare maggior peso agli arrivi riflessi wexp= et.

In figura 3.44 vengono mostrate le mappe di sensibilit`a in decibel : il valore della cella i-esima, rappresentato in scala di colori, `e dato da 20 · log10(_mm₀), in

cui m `e il misfit relativo al dato calcolato sul modello di cui `e stata perturbata la cella i-esima, e m0`e il valore di misfit massimo calcolato. Le mappe di sen-

Figura 3.43: Da sinistra verso destra. Dato finestrato con first break mask, dato raw, dato con gain esponenziale

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di illuminazione di un’acquisizione con sorgenti e ricevitori superficiali: valori pi`u elevati per le celle a bassa profondit`a e centrali, e minori per le celle poste in prossimit`a dei bordi. Si noti come l’applicazione della maschera intorno agli arrivi diretti e rifratti determini un pi`u rapido decadimento della sensibilit`a con la profondit`a, con valori minori di −7 gi`a a partire dalla riga 10: in scala lineare questo significa che la sensibilit`a del dato alla variazione dei parametri relativi alle celle pi`u profonde della decima riga `e pari a circa la met`a di quel- la relativa alla cella con sensibilt`a massima. L’applicazione della funzione di guadagno esponenziale al dato tende invece ad equalizzare la mappa di sensi- bilit`a, aumentando quella relativa alle celle pi`u profonde. Risulta chiaro che da un’analisi di questo tipo non `e possibile trarre conclusioni di carattere generale, se non in un’ipotesi di localit`a, essendo il calcolo della sensibilit`a effettuato in un intorno del modello ottimale; tuttavia, possiamo ragionevolmente affermare che gli arrivi diretti e le diving waves, calcolate sul nostro modello e con i nostri parametri di acquisizione, sono funzione principalmente delle celle superficiali, mentre le fasi sismiche tardive, relative ad arrivi riflessi, possono maggiormente vincolare le celle profonde.

Il metodo Layer Stripping (cui ci si riferir`a in seguito anche come GA-LS, Ge- netic Algorithm Layer Stripping) consiste in un inversione iterativa con pesatura del misfit sul dato tempo-offset variante e ridefinizione dei range di esisten-

Figura 3.44: Analisi di sensibilit`a. In alto, con finestra intorno agli arrivi diretti e diving waves; al centro, dato sismico raw ; in basso: con gain esponenziale nel tempo. Il valore di ciascun parametro `e stato incrementato del 25%, valori in

za della soluzione in relazione alla funzione peso impiegata: nella fattispecie, l’ampiezza dei range `e maggiore per i parametri del modello di cui supponi- amo sia funzione la porzione del data misfit selezionata. In questo modo, ad ogni iterazione, si riduce di fatto l’iper-volume dello spazio dei modelli da es- plorare, costringendo l’esplorazione in un sottospazio dei modelli relativo alle incognite maggiormente vincolate dalla porzione di dato selezionata. In questo lavoro impieghiamo 2 iterazioni a profondit`a crescente in uno schema di seguito sintetizzato.

ˆ Nella prima iterazione, la funzione tempo-offset impiegata per pesare il data misfit `e una finestra che vale 1 intorno ai primi arrivi e zero altrove. I range impiegati sono quelli utilizzati nell’inversione GA tradizionale per le incognite relative alle celle superficiali; i range relativi alle celle profonde sono invece costruiti da un intorno del valor medio dei range originali ampio 400 m/s (Range a imbuto o funnel shaped, vedi figura 3.45).

ˆ Nella seconda iterazione, il risultato dell’inversione della prima iterazione (o soluzione parziale) viene utilizzato come modello centrale dei range; essi hanno un’ampiezza di 400 m/s nelle celle superficiali ed un’ampiezza maggiore, pari a quella dei range impiegati nell’inversione GA, nelle celle pi`u profonde (Range a imbuto rovesciato, vedi figura 3.45). Il dato viene pesato attraverso una funzione esponenziale crescente nel tempo, in modo da vincolare maggiormente le celle profonde.

I parametri utilizzati per l’inversione con algoritmo genetico vengono impostati separatamente per le due iterazioni4_:

Iterazione 1:

ˆ Numero di individui: 180 ˆ Numero di sottopopolazioni: 1 ˆ Numero di generazioni: 80 ˆ Tasso di selezione: 0.8

4_{I parametri sono stati impostati in modo che il numero di modelli finali calcolati sia pari} a quello dei test con algoritmo genetico non-iterativo

ˆ Tasso di mutazione: 0.1 ˆ Precisione di mutazione; 16 ˆ Pressione di selezione: 2 ˆ Ranking: Non-lineare Iterazione 2: ˆ Numero di individui: 240 ˆ Numero di sottopopolazioni: 1 ˆ Numero di generazioni: 70 ˆ Tasso di selezione: 0.8 ˆ Tasso di mutazione: 0.1 ˆ Precisione di mutazione; 16 ˆ Pressione di selezione: 2 ˆ Ranking: Non-lineare

Il primo esperimento `e stato effettuato utilizzando i range in figura 3.45, ovvero partendo dallo stesso stato di informazioni a priori sul modello dei primi test di inversione tradizionale con GA, ed impiegando come dato osservato il sismogramma generato sul modello LD. Il criterio di misfit impiegato `e la norma L1 degli scarti, pesati in accordo alla funzione tempo-offset impiegata in ciascuna iterazione. Le figure 3.46 e 3.47 mostrano l’evoluzione del data misfit medio e minimo sul dato ed la differenza in valore assoluto tra il modello finale ed il modello ottimo. Il model misfit finale `e pi`u basso del 34% rispetto a quello dell’inversione effettuata con algoritmo genetico tradizionale ed anche curva di data misfit mostra caratteristiche di convergenza decisamente migliori (si confrontino questi risultati con quelli in figura 3.36).

Le figure 3.48 e 3.49 mostrano il dato osservato e calcolato nelle due iter- azioni, cui `e stata applicata la funzione di pesatura impiegata; si noti l’eccellente fitting della forma d’onda ottenuto.

Infine, viene mostrata in figura 3.50 l’evoluzione del misfit rispetto al mo- dello migliore rispetto alle generazioni, per entrambe le iterazioni.

Figura 3.45: Range funnel shaped per l’inversione iterativa Layer Stripping. In alto, i range utilizzati per il primo blocco di inversione, sui primi arrivi. In basso per la seconda iterazione, con peso esponenziale sul dato. In rosso i valori di riferimento, in verde la soluzione parziale (vedi testo).

Figura 3.46: Iterazione 1. A sinistra: evoluzione del data misfit in funzione delle generazioni. In rosso, misfit medio, In blu, misfit minimo, scala lineare. A destra: distribuzione spaziale del model misfit finale in griglia di inversione, evidenziata dalla cornice rossa la porzione del modello verso cui si indirizza l’esplorazione dello spazio dei modelli. Il dominio di esistenza della soluzione `e costituito dai range a imbuto ( 3.45), ed al data misfit viene applicata una maschera intorno ai primi arrivi. Si noti come la soluzione parziale presenti bassi valori di model misfit anche nelle porzioni profonde del modello: ci`o `e dovuto al fatto che i valori centrali del dominio sono vicini al modello interpolante ottimo.

Figura 3.47: Iterazione 2. A sinistra: evoluzione del data misfit in funzione delle generazioni. In rosso, misfit medio, In blu, misfit minimo, scala lineare. A destra: distribuzione spaziale del model misfit finale in griglia di inversione. Il dominio di esistenza della soluzione `e costituito dai range a imbuto rovesciato ( 3.45), ed al data misfit viene applicata una funzione di guadagno esponenziale.

Figura 3.48: Inversione Layer Stripping, prima iterazione. Dato osservato in blu, dato calcolato in nero; ai dati `e stato applicata una matrice di pesi che vale 1 intorno agli arrivi diretti e rifratti e zero altrove.

Figura 3.49: Inversione Layer Stripping, seconda iterazione. Dato osservato in blu, dato calcolato in nero; ai dati `e stata applicata una funzione-peso espo- nenziale crescente nel tempo in modo da dare maggiore peso alle fasi sismiche riflesse e vincolare l’inversione delle porzioni profonde del modello di velocit`a.

Risulta ancor pi`u significativo il risultato ottenuto applicando l’approccio Layer stripping all’inversione con range ampi (figura 3.51), gi`a affrontata nel paragrafo precendente con risultati fallimentari attraverso l’algoritmo genetico tradizionale. Si confrontino le figure 3.52 e 3.53 con la 3.41: il miglioramento delle performance `e drammatico, sia in termini di evoluzione del data misfit, sia in termini di distanza L1 tra il modello finale e quello ottimale, che risulta diminuito di pi`u del 60%. Un ulteriore prova della migliore efficienza del metodo `

e l’evoluzione del model misfit, la cui curva perde il tipico andamento staircase osservato nel test GA (vedi figura 3.54). Il confronto tra le figure 3.55 e 3.56 mostra in modo immediato l’efficacia dell’approccio iterativo Layer stripping nel ricostruire una distribuzione di velocit`a del modello che si avvicini al modello ottimale, rispetto all’inversione con algoritmo genetico non-iterativa: persino la soluzione parziale presenta caratteristiche pi`u vicine al modello vero rispetto alla soluzione finale GA.

Figura 3.51: Range funnel shaped per l’inversione iterativa Layer Stripping. In alto, i range utilizzati per il primo blocco di inversione, sui primi arrivi. In basso per la seconda iterazione, con peso esponenziale sul dato. In rosso i valori di riferimento, in verde la soluzione parziale (vedi testo).

Figura 3.52: Caso LD, iterazione 1. A sinistra: evoluzione del data misfit in funzione delle generazioni. In rosso, misfit medio, In blu, misfit minimo, scala lineare. A destra: distribuzione spaziale del model misfit finale in griglia di inversione, evidenziata dalla cornice rossa la porzione del modello verso cui si indirizza l’esplorazione dello spazio dei modelli. Il dominio di esistenza della soluzione `e costituito dai range a imbuto ( 3.51), ed al data misfit viene applicata una maschera intorno ai primi arrivi.

Figura 3.53: Caso LD, iterazione 2. A sinistra: evoluzione del data misfit in funzione delle generazioni. In rosso, misfit medio, In blu, misfit minimo, scala lineare. A destra: distribuzione spaziale del model misfit finale in griglia di inversione. Il dominio di esistenza della soluzione `e costituito dai range a imbuto rovesciato ( 3.51), ed al data misfit viene applicata una funzione di guadagno esponenziale.

Figura 3.54: Evoluzione del model misfit rispetto al modello vero in funzione della generazione.

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Figura 3.55: Approccio Layer Stripping all’inversione. A sinistra, modello cen- trale dei range; a destra, soluzione parziale della prima iterazione, in basso la soluzione finale.

Figura 3.56: Approccio tradizionale all’inversione con algoritmo genetico. A sinistra, il modello iniziale; a destra la soluzione finale.

Infine abbiamo sperimentato l’applicazione del metodo al caso generale: ovvero, con dato osservato generato sul modello ad alta definizione e range ampi e non centrati (come per il test precedente). Lo stato di conoscenza a priori sul modello `e dato da una distribuzione smooth di velocit`a simile a quella ottenibile tramite la classica analisi di velocit`a effettuata nell’elaborazione sis- mica a riflessione. Tenendo in considerazione i risultati dei test sul Marmousi Small HD (paragrafo 3.2.6), non `e stato applicato il filtraggio passa basso ai sismogrammi. L’introduzione dell’errore di parametrizzazione nel problema, determina un peggioramento delle prestazioni rispetto al caso LD `e intorno al 20%, calcolato sul model misfit finale; tale risultato conferma i risultati ottenuti sul modello Marmousi small HD e sar`a ampiamente commentato nel capitolo 4. Nonostante ci`o, le performance dell’algoritmo sono da considerarsi ottime anche in questo caso, come `e possibile osservare nelle figure da 3.57 a 3.61, soprattutto perch`e dimostrano come l’approccio Layer Stripping sia decisivo nel consentire un approccio globale all’inversione FWI nello spazio dei modelli a 190 dimensioni in esame. Nel paragrafo successivo il risultato ottenuto sar`a impiegato come modello iniziale dell’inversione FWI gradient-based.

Figura 3.57: Caso HD, full spectrum, Iterazione 1. A sinistra: evoluzione del data misfit in funzione delle generazioni. In rosso, misfit medio, In blu, misfit minimo, scala lineare. A destra: distribuzione spaziale del model misfit finale in griglia di inversione, evidenziata dalla cornice rossa la porzione del modello verso cui si indirizza l’esplorazione dello spazio dei modelli. Il dominio di esistenza della soluzione `e costituito dai range a imbuto ( 3.51), ed al data misfit viene applicata una maschera intorno ai primi arrivi.

Figura 3.58: Caso HD, full spectrum, Iterazione 2. A sinistra: evoluzione del data misfit in funzione delle generazioni. In rosso, misfit medio, In blu, misfit minimo, scala lineare. A destra: distribuzione spaziale del model misfit finale in griglia di inversione. Il dominio di esistenza della soluzione `e costituito dai range a imbuto rovesciato ( 3.51), ed al data misfit viene applicata una funzione di guadagno esponenziale.

Figura 3.59: Caso HD, full spectrum. Evoluzione del model misfit rispetto al modello vero in funzione della generazione.

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Figura 3.60: Caso HD, full spectrum. Approccio Layer Stripping all’inversione. Da sinistra verso destra: modello centrale dei range, soluzione parziale della prima iterazione e soluzione finale.

Figura 3.61: Caso HD, full spectrum. A sinistra la soluzione dell’inversione Layer Stripping con algorito genetico, a destra il modello mbest, entrambi interpolati

bilinearmente in in griglia di modeling.

3.4.2

Costo computazionale

I parametri di parallelizzazione impiegati sono i medesimi dei test effettuati sul Marmous Small. Il tempo totale necessario all’inversione Layer Stripping `e pari a 66 ore, per un totale di 25380 modelli generati. Il tempo medio calcolato per la risoluzione di un forward modeling `e di 9 secondi. Si noti come, nonostante questa strategia di inversione preveda due iterazioni, il costo computazionale totale sia paragonabile a quello di un inversione con GA tradizionale, con un numero di FM calcolati paragonabile e un risultato finale nettamente migliore.