Utilizzo dei risultati come modello iniziale della FWI

L’inversione Full Waveform sensu strictu, descritta nel paragrafo 1.2, `e stata effettuata impiegando la subroutine di inversione del programma FullWave3D dell’Imperial College. Si tratta di un algoritmo di inversione locale con metodo a gradienti coniugati, che impiega un approccio multiscala (vedi paragrafo 1.2.3). Il criterio di misfit utilizzato nell’inverisone locale `e la norma L2 degli scarti, e non `e stata introdotta nell’inversione nessun tipo di informazione a priori, n`e di precondizionamento del gradiente ( [14]). Sono stati utilizzati 4 blocchi di inversione con frequenza crescente e 5 iterazioni per blocco:

ˆ 4Hz ˆ 5 Hz ˆ 6 Hz ˆ 8 Hz ˆ 10 Hz

Al fine di valutare l’efficacia dell’inversione globale nel ricavare un buon modello iniziale per l’ottimizzazione locale, sono stati impiegati come start model :

ˆ Il modello tipo-analisi di velocit`a

ˆ La soluzione parziale dell’inversione Layer Stripping, ovvero il modello finale della prima iterazione

ˆ La soluzione finale dell’inversione Layer Stripping

I risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti utilizzando il modello iniziale ottimale, ovvero il Marmousi intero smooth; la qualit`a del risultato `e stata valutata in termini di model misfit in norma L1 rispetto al modello vero, che `e stato monitorato in ciascuna delle 20 iterazioni. Nelle figure seguenti si presentano i modelli relativi alle iterazioni 1, 5, 10 e 20 (ovvero l’iterazione fi- nale), ed i relativi misfit. Si noti come il miglioramento apportato dall’utilizzo come modello iniziale della soluzione GA-LS rispetto al caso in cui si impieghi il semplice modello tipo-analisi di velocit`a siano significativi, nell’ordine del 30%; ci`o dimostra che l’inversione globale cos`ı impostata `e, in questo caso, un pas- saggio intermedio utile a ricavare un modello di velocit`a iniziale della FWI gradient-based (figure 3.62 e 3.64). A dimostrazione dell’efficienza dell’approc- cio iterativo, risulta significativo inoltre il miglioramento delle prestazioni che si ottiene passando dalla soluzione parziale GA-LS a quella finale (figura 3.63). Rispetto al risultato ottenuto impiegando come modello iniziale il Marmousi smooth, riscontriamo invece un aumento del model misfit finale di circa il 20% (figura 3.65): si tratta tuttavia di un risultato ragionevolmente positivo, se consideriamo il fatto che tale modello `e stato costruito semplicemente filtran- do passa-basso il modello vero; al contrario, il modello finale GA-LS, essendo

il risultato di un’inversione del dato sismico, soffre di inevitabili problemi di illuminazione legate alla geometria di acquisizione del campo d’onde.

Start Model Final mod. misf. L1 [m/s] Marmousi Smooth 88.6

Tipo-Analisi di velocit`a 132 Soluzione parziale GA-LS 122 Soluzione finale GA-LS 103

Figura 3.62: Modello iniziale: analisi di velocit`a. Dall’alto a sinistra in senso orario: Prima iterazione, Quinta iterazione, Decima Iterazione, e Modello finale.

Figura 3.63: Modello iniziale: Soluzione parziale GA-LS. Dall’alto a sinistra in senso orario: Prima iterazione, Quinta iterazione, Decima Iterazione, e Modello finale.

Figura 3.64: Modello iniziale: Soluzione finale GA-LS. Dall’alto a sinistra in senso orario: Prima iterazione, Quinta iterazione, Decima Iterazione, e Modello finale.

Figura 3.65: Modello iniziale: Marmousi smooth. Dall’alto a sinistra in senso orario: Prima iterazione, Quinta iterazione, Decima Iterazione, e Modello finale.

Capitolo 4

Commenti, considerazioni

conclusive e possibili

sviluppi

In questo lavoro di Tesi abbiamo sperimentato un approccio globale, tramite algoritmi genetici di inversione, alla Full Waveform Inversion acustica in 2D. I test effettuati sui dataset sintetici hanno permesso di evidenziare i principali fattori che determinano il successo di tale strategia di inversione:

1. Opportuna parametrizzazione dello spazio fisico

2. Opportuna definizione del dominio di esistenza della soluzione

3. Utilizzo di funzionali di misfit appropriati

Ci`o che sembra emergere `e il ruolo fondamentale della parametrizzazione; la scelta della griglia di inversione, rappresenta, come gi`a detto, un compromesso tra le esigenze di rappresentazione delle strutture fisiche del mezzo ed il proble- ma della curse of dimensionality: essendo quest’ultimo un problema ineludibile degli algoritmi direct search, la parametrizzazione risulta vincolata a produrre uno spazio dei modelli con un numero di incognite che non sia di un ordine su- periore al secondo, limitandoci di fatto alla possibilit`a di ricostruire, in ultima analisi, tra le feature geologiche, solo quelle ad alta lunghezza d’onda e, per di pi`u, rendendo problematica l’applicazione a modelli con dimensioni elevate. I test effettuati nel caso Low definition, ovvero in cui la funzione oggetto non com- prenda l’errore di parametrizzazione, dimostrano in generale buone performance

dell’algoritmo genetico in uno spazio dei parametri a 63 dimensioni e con range piuttosto ampi e non centrati rispetto al modello ottimale. Risultano tuttavia evidenti le difficolt`a di convergenza nel caso in cui il modello ottimale si trovi in prossimit`a dei punti estremi del dominio e, com’`e ovvio, la necessit`a di includer- vi i modello ottimo, il che rende necessario l’impiego di informazioni geologiche a priori. L’utilizzo di norme degli scarti robuste rispetto alla presenza di out- lier statistici nel dato e rispetto alla stima dell’ondina sorgente rappresentano, d’altro canto, delle conferme rispetto alla letteratura scientifica in materia. In particolare l’utilizzo dell’inviluppo della forma d’onda, risulta risolutivo nel caso in cui si disponga solo di informazioni sull’ampiezza della funzione sorgente, ma vi sia una maggiore incertezza sulle sue caratteristiche di fase. L’impiego della norma L1 degli scarti si dimostra necessaria nel caso in cui la F W I sia effettuata su un dataset che contenga tracce con rumore non-gaussiano; in pi`u, nel caso di lunghi offset e tempi lunghi, tale norma degli scarti risulta vantaggiosa rispetto al classico criterio ai minimi quadrati: la norma L2 classica infatti, nel calcolo del valore della funzione oggetto, attribuisce agli arrivi diretti a piccoli offset un peso che annichilisce l’effetto del mismatch della forma d’onda a tempi ed offset lunghi, essendo l’ampiezza di questa porzione del dato molto minore per effetto dello spreading geometrico e, in un caso reale di modello visco-elastico, dell’attenuazione intrinseca.

Il caso Low-to-High Definition, ovvero il caso in cui gli scarti tra il dato predetto ed il dato osservato abbiano una componente, ineliminabile in fase di inversione, di parametrizzazione, presenta problematiche maggiori, che si manifestano in una convergenza dell’algoritmo genetico ad una soluzione che corrisponde presumibilmente ad minimo locale della funzione oggetto. Le prob- abilit`a marginali a posteriori calcolate nei due casi sull’ensemble dei modelli ricampionato mostrano in modo evidente come questo sia l’effetto di una fun- zione oggetto decisamente meno convessa, ovvero pi`u f lat e con un maggior numero di massimi locali della funzione di verosimiglianza (figure da 4.1 a 4.4).

Figura 4.1: Probabilit`a a posteriori marginali, risultato dell’integrazione nelle n 6= i dimensioni della P P D approssimata. Norma L1 degli scarti, caso LD : In rosso il valore del modello di riferimento (valore vero), in nero il risultato dell’inversione inteso come modello con minore misfit

Figura 4.2: Probabilit`a a posteriori marginali, risultato dell’integrazione nelle n 6= i dimensioni della P P D approssimata. Norma L1 degli scarti, caso HD : In rosso il valore del modello di riferimento (interpolante ottimo), in nero il risultato dell’inversione inteso come modello con minore misfit

Figura 4.3: Probabilit`a a posteriori marginali, risultato dell’integrazione nelle n 6= i dimensioni della P P D approssimata. Norma L1 degli scarti, caso LD : In rosso il valore del modello di riferimento (valore vero), in nero il risultato dell’inversione inteso come modello con minore misfit

In generale, si nota una maggiore f latness delle funzioni di verosimiglian- za marginali nel caso HD, rispetto al caso LD (si ricorda, sono state tutte normalizzate in modo che l’integrale sull’intero dominio di esistenza n − d sia pari all’unit`a). In particolare, le P P D marginali calcolate per i parametri 3 e 24 (figura 4.2) e 42 (figura 4.2) presentano una distribuzione chiaramente bi- modale nel caso HD, mentre il caso LD mostra in generale probabilit`a marginali approssimabili a densit`a di probabilit`a unimodali con un massimo vicino al valo- re del modello vero. Particolarmente significative risultano le P P D 2D calcolate per coppie di parametri che si riferiscono a celle spazialmente adiacenti: si noti in figura 4.6 come la distribuzione di probabilit`a sia bimodale per le coppie di paramentri 41, 48 e 48, 55 e come questo determini la convergenza ad un minimo locale dell’algoritmo di inversione, mentre nel caso LD la soluzione si avvicina al modello vero 4.5.

E’ possibile che questo comportamento sia attribuibile ad una funzione ogget- to dominata dalla componente, ineliminabile, di parametrizzazione, rispetto alla quale la distanza tra il modello interpolante ottimo e quello corrente risulta, al di sotto di una certa soglia, trascurabile. Dal punto di vista della fisica della

Figura 4.4: Probabilit`a a posteriori marginali, risultato dell’integrazione nelle n 6= i dimensioni della P P D approssimata. Norma L1 degli scarti, caso HD : In rosso il valore del modello di riferimento (interpolante ottimo), in nero il risultato dell’inversione inteso come modello con minore misfit

Figura 4.5: Probabilit`a a posteriori marginali 2D, risultato dell’integrazione nelle n 6= i, j dimensioni della P P D approssimata. Norma L2 degli scarti, caso HD : In bianco il valore del modello di riferimento (valore vero), in nero il risultato dell’inversione inteso come modello con minore misfit

Figura 4.6: Probabilit`a a posteriori marginali 2D, risultato dell’integrazione nelle n 6= i, j dimensioni della P P D approssimata. Norma L2 degli scarti, caso HD : In bianco il valore del modello di riferimento (interpolante ottimo), in nero il risultato dell’inversione inteso come modello con minore misfit

propagazione delle onde, d’altro canto, risulta evidente che una parametriz- zazione in griglia lasca, ovvero un modello di velocit`a blocky re-interpolato, non `e in grado di riprodurre nel dato predetto tutte le fasi sismiche diffratte da strutture geologiche a piccola scala: lo scattering `e infatti un fenomeno che si presenta quando un fronte d’onda incontra nel mezzo delle discontinuit`a anche di un paio di ordini di grandezza pi`u piccole della lunghezza d’onda. Nelle figure 4.7 e 4.8 si mostrano gli snapshot relativi alla propagazione di un campo d’onde acustico in un mezzo omogeneo con una anomalia di velocit`a piccola rispetto alla lunghezza d’onda: risulta evidente la generazione di fronti d’onda diffratti da parte della eterogeneit`a a piccola scala.

Al fine di attenuare questo problema risulterebbe necessario aumentare il numero di parametri del modello (con un notevole aumento del costo com- putazionale), ovvero introdurre un operatore di interpolazione non lineare, che incorpori informazioni a-priori sulle strutture del sottosuolo (interpolazione im- age guided [30]). L’obiettivo sarebbe di ridurre il peso del primo membro del termine destro dell’espressione degli scarti: e( ˆm) = (G(mtrue) − G[F ( ˆmbest)]) +

(G[F ( ˆmbest)] − G[F ( ˆm)]).

Un dato incoraggiante che emerge dai test `e quello relativo alla performance dell’algoritmo nel caso in cui si impieghino i sismogrammi non filtrati passa-

Figura 4.7: Ondina di Ricker 3Hz, Velocit`a di background 2000 m/s, Anomalia a 4000 m/s di raggio 24 m. Modeling alle differenze finite al secondo ordine di accuratezza (codice sviluppato in®MATLAB)

Figura 4.8: Ondina di Ricker 3Hz, Velocit`a di background 2000 m/s, Anomalia a 4000 m/s di raggio 50 m. Modeling alle differenze finite al secondo ordine di accuratezza (codice sviluppato in®MATLAB)

basso: in generale i risultati sembrano migliorare con ciascuno dei funzionali di misfit impiegati. Ci`o `e particolarmente importante nell’ottica di un’appli- cazione del metodo a casi reali di sismica d’esplorazione, in cui spesso non c’`e disponibilit`a di basse frequenze con un buon rapporto segnale/rumore. Vale inoltre la pena di sottolineare come i test effettuati utilizzando l’inviluppo della forma d’onda risultino incoraggianti, producendo l’inversione un risultato che si discosta di poco da quello ottenuto invertendo l’intera forma d’onda. Si tratta anche in questo caso di un risultato piuttosto importante in termini di appli- cabilit`a pratica della FWI globale 2D, dal momento che la stima corretta delle caratteristiche di fase dell’ondina `e compito non semplice, e l’inviluppo risulta robusto rispetto a tale inaccuratezza del modeling.

Le considerazioni effettuate a seguito dei test Small Marmousi sono state uti- lizzate in seguito negli esperimenti condotti sul modello Marmousi grande. La parametrizzazione del modello `e stata progettata in modo da riprodurre le strut- ture geologiche di background del Marmousi smooth usato come modello iniziale ottimale della FWI locale. La griglia di inversione cos`ı costruita presenta 190 incognite, con dei range non centrati e con un ampiezza nell’ordine di 1000 m/s: uno spazio dei modelli cos`ı costruito si `e dimostrato difficilmente esplorabile in tempi ragionevoli con un approccio tradizionale, con evidenti problemi di curse of dimensionality. L’approccio Layer stripping iterativo qui sviluppato ha permesso di migliorare sensibilmente le performance dell’inversione globale, indirizzando l’esplorazione dello spazio dei modelli in un subset dello spazio dei modelli opportunamente selezionato in funzione dei pesi applicati al funzionale di misfit.

L’inversione Layer stripping cos`ı progettata ha dimostrato di essere una promettente alternativa ai metodi tradizionali di tomografia Low Definition; la strategia di inversione sviluppata consente infatti in tempi ragionevoli di ot- tenere un modello di velocit`a che, utilizzato come modello iniziale della FWI s.s., permette di avvicinarsi al minimo globale della funzione oggetto, con risultati che poco si discostano da quelli ottenuti impiegando il modello vero smooth.

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