Nell’arco di un giorno l’estremità dell’ombra di uno gnomone (ossia un elemento verticale) percorre una curva simmetrica su un piano orizzontale rispetto alla linea meridiana (direttrice nord-sud).
Il Sole nel suo moto apparente diurno incrocia il meridiano celeste del luogo dell'osservatore nel momento della sua massima altezza sull'orizzonte, ovvero all’istante del mezzogiorno solare vero locale: in quell'attimo l'ombra dello gnomone si proietta sul piano orizzontale lungo la linea meridiana e raggiunge la sua minima lunghezza (Fig. 46).
Fig. 46 – È disegnata in rosso la curva dell’estremità delle ombre di uno gnomone in una giornata invernale nell’emisfero nord. (Immagine dal sito https://cspace.spaggiari.eu/pub/VRII0006/Geografia%20Astronomica/ESPERIENZE%20E%20MISURE%20- %20linea%20meridiana.pdf, N. Scarpel)
I raggi solari che incrociano lo gnomone generano, nel loro percorso diurno, una superficie conica il cui asse è parallelo alla linea immaginaria che unisce l’estremità dello gnomone col polo nord celeste del luogo di osservazione. L'intersezione tra questa superficie conica e il piano orizzontale, su cui è fissato perpendicolarmente ad esso lo gnomone, è una curva che alle latitudini intermedie tra i poli e l’equatore è un ramo di iperbole (Fig. 47). Nel solstizio estivo boreale (declinazione del Sole δ = +23° 27') questa avrà la sua massima concavità verso sud, mentre in quello
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invernale boreale (declinazione del Sole δ = −23° 27') la sua massima concavità è verso nord (declinazione δ = −23° 27'). Da un solstizio all'altro la curva tende a degenerare in una retta che sarà ottenuta esattamente nei giorni degli equinozi (declinazione del Sole δ = 0°).La curva di intersezione rappresenta, dunque, il percorso diurno dell'estremità dell'ombra di uno gnomone e l'asse di simmetria della curva è la linea meridiana.
Fig. 47 – Superficie conica generata dai raggi solari che incrociano, nell’arco di un giorno, l’estremità di uno gnomone. Se il Sole ha δ = 0° la superficie conica degenera in un piano e l’intersezione è una retta, la linea est-ovest.
(Immagine dal sito https://cspace.spaggiari.eu/pub/VRII0006/Geografia%20Astronomica/ESPERIENZE%20E%20MISURE%20- %20linea%20meridiana.pdf, N. Scarpel)
Descriviamo ora due metodi per determinare la linea meridiana, necessaria per eseguire correttamente le misurazioni con gli strumenti osservativi descritti da Tolomeo nell’Almagesto (eccetto la diottra di Ipparco). Entrambi i metodi si basano sulle ombre di uno gnomone su un piano orizzontale: il metodo del Cerchio Indiano e il metodo delle tre ombre di Diodoro di Alessandria (I secolo a.C.).
Il primo metodo è un procedimento tradizionale dove sono necessari pochi semplici elementi: uno gnomone, una corda, un filo a piombo e una livella per assicurare rispettivamente la verticalità dello gnomone e l’orizzontalità del piano delle ombre e, un gesso per segnare l’estremità delle ombre. Innanzitutto, si sceglie un luogo che possa essere illuminato dal Sole per diverse ore prima e dopo mezzogiorno e poi, su un piano orizzontale si tracciano, con una cordicella, varie circonferenze concentriche attorno alla base dello gnomone aventi un raggio diverso. Nel corso della mattina si segnano i punti in cui l'estremità dell'ombra dello gnomone interseca le circonferenze. Nel corso del pomeriggio si procede allo stesso modo e si tracciano i punti in cui l’estremità dell'ombra dello gnomone cade sulle stesse circonferenze del mattino, dalla parte opposta. Si congiungono le coppie di punti che si trovano sulla stessa circonferenza ottenendo così delle corde che devono risultare parallele tra loro. Si trovano i punti medi di tali corde e si traccia una retta che unisca tali punti con il punto base dello gnomone. Questa retta è la linea meridiana (Fig. 48). Teoricamente basterebbe una sola circonferenza e una sola corda, ma con più letture si può controllare l'allineamento dei punti medi fra loro e il risultato finale è più preciso.
Fig. 48 – Ombra del mattino (a sinistra), ombra del pomeriggio (al centro) e individuazione della linea meridiana (a destra).
(Immagine dal sito https://cspace.spaggiari.eu/pub/VRII0006/Geografia%20Astronomica/ESPERIENZE%20E%20MISURE%20- %20linea%20meridiana.pdf, N. Scarpel)
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Grazie ad un riferimento di al-Biruni nel suo trattato sulle Ombre, è stata identificata una sezione dell’Analemma (andato perduto) di Diodoro riguardante un ingegnoso metodo per la determinazione della linea meridiana mediante tre ombre qualsiasi di uno gnomone. Inoltre, il metodo di Diodoro è stato ritrovato anche negli scritti del geodesista romano Igino (circa 100 a.C.). Il metodo si basa sulle seguenti considerazioni.
In un piano orizzontale si considerano tre differenti ombre, GA, GB, GC di uno gnomone GF, di lunghezza g (Fig. 49). Si vuole trovare la linea meridiana GS. Si assume che l’osservazione avvenga nell’emisfero nord e che il Sole abbia una declinazione δ negativa (ossia autunno-inverno). Si considera l’estremità F dello gnomone come il centro della sfera celeste: il Sole sorge, nell’orizzonte di F, in H e tramonta in Δ. N indica il polo nord celeste del luogo di osservazione. Dunque, FN rappresenta l’asse del cono circolare descritto dai raggi solari che incrociano l’estremità F dello gnomone nel loro percorso diurno. Il cono interseca il piano orizzontale passante per il punto base G dello gnomone nell’iperbole ABC. Si considera sul cono la circonferenza H′CΔ′ passante per l’estremità dell’ombra dello gnomone C. Poiché questa circonferenza è parallela al percorso diurno del Sole HΔ, e quindi al piano equatoriale, interseca il piano orizzontale passante per G anche in un punto D tale che il segmento CD è parallelo alla direzione est-ovest. La perpendicolare alla direzione di CD, passante per G, corrisponde alla linea meridiana.
Dunque, il problema consiste nel trovare il punto di intersezione D, noto il punto C. A questo scopo si determinano i punti A′ e B′ in cui i raggi solari FA e FB intersecano la circonferenza H′CΔ′. Si proietta perpendicolarmente al piano orizzontale A′ su A′′ e B su B′′. Pertanto, A′′B′′ è la proiezione sul piano orizzontale della corda A′B′ che appartiene al piano della circonferenza H′CΔ′. D’altra parte, il piano del triangolo ABF interseca il piano orizzontale nella linea AB. Segue che la circonferenza H′CΔ′ attraversa il piano orizzontale nel punto D di intersezione del segmento AB col segmento A′′B′′. CD indica la direzione est-ovest e PGS la linea meridiana.
Fig. 49 – Metodo teorico di Diodoro di Alessandria per la determinazione della linea meridiana
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Vediamo nella pratica come si procede. Prima di tutto, si determinano le distanze d1=FC, d2=FA,d3=FBrealizzando in
dimensioni reali i tre triangoli retti [F]GC, [F]GA, [F]GB dove GA, GB e GC sono le lunghezze, note, delle ombre e G[F]=g è la lunghezza dello gnomone (Fig. 50a). La Fig. 50b rappresenta il piano orizzontale su cui si tracciano le ombre dello gnomone (GA, GB, GC) in dimensione e direzione reali. Dalla Fig. 50a si ricavano le distanze GA′′ e GB′′ e, perciò, dall’intersezione di A′′B′′ con AB, è possibile trovare il punto D.
Fig. 50 – Metodo pratico di Diodoro di Alessandria per la determinazione della linea meridiana: a) piano verticale, b) piano orizzontale.
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