Capitolo 3 Il trasporto di materia attraverso membrane dense
3.4. La dialisi
Il processo di dialisi coinvolge unicamente il gradiente di concentrazione, per tale motivo applicare il modello soluzione diffusione risulta più semplice. Nella dialisi, la membrana separa due soluzioni liquide a differente composizione, questa differenza di concentrazione crea un flusso attraverso la membrana per il passaggio di materia da un lato all’altro della membrana.
Capitolo 3 - Il trasporto di materia attraverso membrane dense
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Descrizione del modello
Il modello per il trasporto di materia per una specie, che permea tra le due fasi liquide separate dalla membrana, deve prendere in considerazione i fenomeni e gli equilibri tra le varie fasi :
il trasporto del permeante dal seno di una delle due fasi liquide fino all’interfaccia soluzione- membrana (interfaccia I) ;
la dissoluzione del permeante nella matrice polimerica della membrana all’interfaccia I ; la diffusione all’interno della membrana dall’interfaccia I all’interfaccia II ;
il desorbimento del permeante all’interfaccia II ;
il trasporto del permeante dall’interfaccia II al seno della seconda fase liquida. Dissoluzione e desorbimento saranno considerati come fenomeni di equilibrio.
Figura 3. 8Schema del problema di trasporto di materia.
Il modello è valido anche nel caso il trasporto avvenga in direzione opposta (quindi dalla soluzione II alla soluzione I) nel caso la forza motrice determini appunto un flusso in tale direzione.
Si assume che le due soluzioni sono perfettamente miscelate, ipotesi giustificata per un sistema con ricircolo come quello che si vuole studiare.
Prima di poter scrivere il modello matematico che descrive il transitorio del processo di dialisi analizziamo i bilanci di materia nelle diverse fasi.
Bilancio per la fase I :
(3.25)
Nella equazione (3.25), t è il tempo, è la concentrazione del permeante nel seno della fase I, è il volume della fase I, A è l’area della membrana e è il flusso del permeante all’interfaccia I. Tale flusso può essere stimato come :
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61 Dove è il coefficiente di trasporto di materia dal seno della fase I all’interfaccia I della membrana; è la concentrazione del permeante nella membrana all’interfaccia I e è il
coefficiente di ripartizione.
Il coefficiente ripartizione si ottiene uguagliando i potenziali chimici del liquido e della membrana ed è definito come:
(3.27)
(3.28)
Bilancio nella membrana, meccanismo di soluzione-diffusione:
(3.29)
Dove C è la concentrazione del permeante nella membrana e J è dato dalla legge di Fick :
(3.30)
Sostituendo l’espressione per il flusso nel bilancio si ha che :
(3.31)
il coefficiente di diffusione in questo caso si assume dipendente dalla concentrazione del permeante secondo la seguente espressione, largamente utilizzata per descrivere la permeazione in una matrice polimerica che può rigonfiare in presenza del permeante:
(3.32)
Dove è il coefficiente di diffusione nel polimero così detto “secco”, mentre g è il fattore di plasticizzazione.
Bilancio per la fase II :
(3.33)
dove t è il tempo, è la concentrazione del permeante nel seno della fase II, è il volume della fase II, A è l’area della membrana e è il flusso del permeante all’interfaccia II.
Tale flusso può essere stimato come :
(3.34)
Dove è il coefficiente di trasporto di materia dal seno dall’interfaccia alla fase II, è la
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62 Adimensionalizzazione :
Otteniamo quindi che il problema può essere descritto da un sistema di equazioni. Per la risoluzione del sistema scriviamo quindi le condizioni iniziali:
(3.35)
Adimensionalizzando il sistema, si valutano le variabili adimensionali che descrivono il problema:
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
L’’equazione di bilancio per la membrana (3.31), in termini adimensionali diventa:
(3.40)
Con che ha la seguente espressione :
(3.41)
Possiamo porre anche il fattore di plasticizzazione in termini adimensionali :
(3.42)
Adimensionalizzando anche le altre equazioni di bilancio, otteniamo per le due fasi due equazioni simili.
L’equazione (3.43) è l’equazione adimensionale per la fase I:
(3.43)
Due termini adimensionali, Bm e Rg, ottenibili per entrambi le fasi, sono legati al trasporto di
materia :
(3.44) ed uno legato alla geometria del sistema :
(3.45)
I parametri adimensionali con cui lavora il modello sono i seguenti: , , ,
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63 È possibile valutare a priori i termini adimensionali ed i coefficienti di trasporto di materia nella fase I e nella fase II.
Per valutare i coefficienti di trasporto nelle due fasi si utilizzano le analogie e i numeri adimensionali:
numero di Sherwood :
;
numero di Reynolds :
;
numero di Schmidt :
. fra loro legati dalla seguente relazione:
(3.46)
Nota la portata,le proprietà del fluido e la geometria (diametro idraulico) otteniamo il numero di Reynolds.
Attraverso l’uso del modello di Wilke-Chang (28) è possibile stimare il coefficiente di diffusione di un generico soluto A presente in basse concentrazioni in un generico solvente B :
(3.47)
Per l’acqua ha un valore di 2,6. A questo punto si può calcolare Sc.
Noti Re e Sc si può calcolare anche il numero di Sherwood, sia a monte che a valle e il valore del coefficiente di trasporto per la generica fase “s” è dato da :
(3.48)
Il modello discretizzato, implementato in un linguaggio di programmazione (Fortran) può essere risolto numericamente con il metodo del volume di controllo. La risoluzione del sistema fornisce il valore della concentrazione del permeante nelle fasi I e II ad ogni istante ed in ogni punto all’interno della membrana.
Utilizzando il modello è possibile ricavare i valori dei parametri dimensionali g e cercando il “best fitting” dei risultati sperimentali. La risoluzione numerica è in genere una procedura lunga, in quanto è necessario procedere per tentavi facendo diverse corse del programma cambiando in ognuna i valori dei parametri. Per ridurre il peso del calcolo, è opportuno iniziare con valori di tentativo ragionevoli.
Come valore di primo tentativo si può pensare di utilizzare valori di J in condizioni pseudo stazionarie, e partendo con concentrazioni iniziali di permeante diverse è possibile stimare i valori
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64 di g e di . Dai valori sperimentali si può stimare la
,
pendenza della curva che esprime il flusso secondo:(3.49)
In pseudo-stazionario :