Capitolo 3 Il trasporto di materia attraverso membrane dense
3.3. Il fenomeno della polarizzazione di concentrazione (27)
Nei processi di separazione a membrana come descritto ci sono molte variabili che devono essere considerate e che possono ridurre le prestazioni della separazione, sia in termini di flussi che di selettività. Un fenomeno che è importante descrivere in questo elaborato, è la polarizzazione di concentrazione.
In un processo di separazione a membrana i diversi componenti della miscela in alimentazione, a contatto con la superficie della membrana, permeano con velocità differenti, ottenendo le correnti di retentato e di permeato. Con l’avanzare del tempo si può assistere al fenomeno della polarizzazione di concentrazione dovuto all’accumulo di composti non permeanti a ridosso della membrana in questo modo si riduce la forza motrice effettiva attraverso la membrana.
Si può vedere in Figura 3.5 che si forma un gradiente di concentrazione su entrambi i lati della membrana, a meno che la soluzione non sia estremamente miscelata.
Figura 3. 5 I gradienti di concentrazione e i flussi che si creano quando è presente il fenomeno della polarizzazione di concentrazione.
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56 Il fenomeno in questione porta ad una riduzione del flusso attraverso la membrana e alla perdita di parte della selettività.
Nell’affrontare il problema della polarizzazione di concentrazione, si possono seguire due approcci. Nel primo approccio le resistenze alla permeazione, nella membrana e nel fluido adiacente alla membrana vengono viste e valutate come delle resistenze in serie, evitando assunzioni su quello che può essere il meccanismo di trasporto o sullo spessore dei vari strati. In questo modo è possibile scrivere il flusso nel confine adiacente alla membrana lato alimentazione, come :
(3.8)
Dove è la concentrazione nel bulk della soluzione in alimentazione, è la concentrazione all’interfaccia e è il coefficiente di trasporto di massa del fluido, lato alimentazione.
Di seguito viene riportato il flusso del componente i all’interno della membrana, con ovvio significato degli indici :
(3.9)
dove è il coefficiente di trasporto di massa della membrana.
Se si considera che il flusso fra l’alimentazione e il permeato ha la formula seguente :
(3.10)
dove è il coefficiente di trasporto di massa complessivo.
È ora possibile elaborare le tre equazione secondo il modello delle resistenze in serie, per cui :
(3.11)
In base ai valori dei coefficienti di trasporto è possibile valutare il peso che ogni resistenza ha nella resistenza complessiva. In particolare il coefficiente di trasporto di massa all’interno del fluido, nel lato alimentazione, è utile a valutare gli effetti della polarizzazione di concentrazione sul grado di permeazione del componente.
Il secondo approccio, per la modellazione della polarizzazione di concentrazione, prevede l’utilizzo di un modello in cui ad una certa distanza dall’interfaccia membrana-soluzione si stabilisca uno strato limite a regime laminare. Si considera che il trasporto di materia all’interno dello strato limite avvenga solo in direzione perpendicolare alla membrana, siamo quindi in presenza di un problema di trasporto di massa unidimensionale.
Nella Figura 3.6 viene illustrato schematicamente il problema e evidenziando i diversi flussi del soluto all’interno dello strato limite a regime laminare.
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Figura 3. 6 Schematizzazione del fenomeno della polarizzazione di concentrazione.
Con facciamo riferimento al flusso del soluto attraverso la membrana, con il trasporto
convettivo del soluto e il flusso diffusivo in direzione opposta. Con il termine si indica il
flusso volumetrico attraverso la membrana.
Possiamo scrivere, a questo punto, un bilancio di materia per il soluto attraverso i diversi termine presenti nello strato limite:
(3.12)
I tre termine relativi al flusso molare attraverso la membrana del soluto ( , ) possono essere scritti come :
; ; (3.13)
Il termine è il coefficiente di diffusione mentre il rappresenta il gradiente di concentrazione nel film.
Imponendo le condizioni a contorno:
a e a (3.14)
ed integrando l’equazione che si ottiene combinando (3.12) e (3.13), abbiamo:
(3.15)
Dove rappresenta lo spessore del film, la concentrazione del permeato e e rappresentano la concentrazione del soluto nella soluzione in alimentazione rispettivamente all’interfaccia con la membrana e nel bulk della soluzione.
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58 Se si considera il fattore di reiezione della membrana R :
(3.16) dall’equazione (3.15) e (3.16) otteniamo : (3.17)
La polarizzazione di concentrazione risulta essere il rapporto fra la concentrazione del soluto all’interfaccia con la membrana e la concentrazione del soluto nel bulk della soluzione. Questo rapporto è funzione del flusso della membrana, dello spessore dello strato limite, del coefficiente di diffusione del soluto nello strato limite e del coefficiente di reiezione del soluto. Per generalizzare la descrizione della polarizzazione di concentrazione a quelle che sono le diverse condizioni del flusso in alimentazione, si introduce il coefficiente di trasporto di materia, espresso come :
(3.18)
l’equazione (3.17) si modifica in tal modo :
(3.19)
il coefficiente di trasporto di materia risulta di difficile determinazione, può essere ricavato attraverso l’uso di correlazioni empiriche, si utilizzano le analogie e i numeri adimensionali:
numero di Sherwood :
;
numero di Reynolds :
;
numero di Schmidt :
.
che sono legati fra loro dalla seguente relazione:
(3.20)
Con dh si indica il diametro idraulico, L rappresenta la lunghezza del condotto, mentre i coefficienti
abc e d sono costanti e vengono determinati sperimentalmente per le differenti geometrie dei sistemi di filtrazione (figura 3.7).Introducendo l’espressione del diametro idraulico :
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59 Indicando con w la larghezza del canale e con h la sua altezza , si possono ricavare le espressioni della polarizzazione di concentrazione per un canale rettangolare :
(3.22)
e per un dispositivo tubolare :
(3.23)
Nelle due formule si indica con u la velocità lineare del flusso alimentato e nell’equazione (3.22) è presente il raggio del dispositivo tubolare.
Il modello appena descritto si presta alla descrizione della polarizzazione di concentrazione per un sistema avente un regime turbolento nel bulk della soluzione e un regime di flusso laminare nello strato limite, risulta quindi non applicabile a quei processi aventi un regime di flusso in alimentazione laminare. La polarizzazione di concentrazione in un regime di flusso laminare può essere stimata attraverso la combinazione dell’equazioni (3.17), (3.18) e del numero di che in regime laminare ha la seguente espressione :
(
24)Figura 3. 7 Tabella riassuntiva dei coefficienti costanti.