3.3 Accoppiamento motore-riduttore
3.3.1 Dimensionamento del motore
Come già presentato nella sezione 3.3 per dimensionare un motore è necessario rettangolarizzarne il campo di lavoro e quindi effettuare una verifica sui parametri del motore stesso. In questo caso non è possibile utilizzare la velocità quadratica media della vite in quanto è presente un riduttore che moltiplica le velocità sul lato motore, e il rapporto di riduzione non è ancora stato definito. Può essere
CAPITOLO 3. DIMENSIONAMENTO DELL’AZIONAMENTO
utile quindi utilizzare come velocità di rettangolarizzazione la velocità nominale o la velocità massima del riduttore sull’albero veloce e quindi determinare la coppia nominale del motore oppure utilizzare la coppia nominale del riduttore sull’albero veloce e determinare la velocità nominale del motore.
La coppia vista dal motore è influenzata, oltre che dalle componenti di inerzia del motore Jm, dalla presenza del rapporto di riduzione. L’equazione 3.3.1 mostra
la coppia richiesta al motore, evidenziando che in presenza di un riduttore τ è necessario riportare all’albero motore la coppia Cm del carico e delle inerzie.
Cciclo = τ Cm+ Jmω˙mot
˙
ωmot= ω˙τv (3.3.1)
Il processo di scelta dell’accoppiamento è quindi problematico in quanto al variare della coppia richiesta al motore può variare il tipo di motore e quindi la sua inerzia, come anche può variare la sua velocità massima consentita e di conseguenza dovrà variare anche il rapporto di riduzione e il riduttore stesso.
Noti quindi i paramentri del motore precedentemente descritti nella sezione 3.3 è possibile effettuare un dimensionamento considerando un bilancio termico del motore imponendo che la coppia quadratica media Cciclo,q e la velocità quadrati-
ca media ωv,q riportata all’albero motore del ciclo di lavoro siano sempre inferiori
rispettivamente alla coppia nominale e alla velocià nominale del motore, e impo- nendo che coppia massima e velocità massima riportata all’albero motore del ciclo di lavoro siano inferiori alla coppia massima e alla velocità massima del motore. Si riportano le equazioni per effettuare il dimensionamento:
Cciclo,q= q R C2 ciclodt ta ≤ Cn Cciclo,max≤ Cmot,max ωv,max τ ≤ ωmot,max ωv,q τ = r R ω2v dt ta τ ≤ ωmot,n (3.3.2)
Nel sistema 3.3.2 si può vedere come al variare del motore scelto non si modifi- cano solo le caratteristiche motrici, ma anche quelle resistenti del sistema, a causa dell’inerzia del motore. Per affrontare tale problematica già precedentemente ac- cennata si possono usare due approcci differenti: si può procedere per tentativi, per cui volta per volta si esegue la verifica del sistema motore-riduttore preso in considerazione, oppure si prova a separare i termini legati al solo motore da quelli legati esclusivamente al carico resistente per poi farne un confronto. Il metodo che si andrà ora ad esporre percorre questa seconda strada.
Riprendendo la prima condizione di verifica imposta nella formula 3.3.2, la coppia motrice quadratica media può essere espressa nel seguente modo:
Cciclo,q2 = Z C2 ciclodt ta = Z τ Cm+ Jm ˙ ωv τ 2 dt ta = (3.3.3) = Z τ2Cm2 + Jm2 ˙ ω2 v τ2 + 2JmCmω˙v ! dt ta (3.3.4)
3.3. ACCOPPIAMENTO MOTORE-RIDUTTORE da cui si ricava: Cciclo,q2 = τ2Cm,q2 + Jm2 ˙ ω2 v,q τ2 + 2Jm(Cmω˙v)medio (3.3.5)
La verifica termica impostata nel sistema 3.3.2 diventa quindi: Cn2 ≥ C2 ciclo,q= τ2Cm,q2 + Jm2 ˙ ω2 v,q τ2 + 2Jm(Cmω˙v)medio (3.3.6) Cn2 Jm ≥ τ2C 2 m,q Jm + Jm ˙ ω2 v,q τ2 + 2(Cmω˙v)medio= = τ2C 2 m,q Jm + Jm ˙ ω2 v,q τ2 + 2(Cmω˙v)medio− 2Cm,qω˙v,q+ 2Cm,qω˙v,q = (3.3.7) = τ √ Jm Cm,q − √ Jm τ ω˙v,q 2 + 2(Cmω˙v)medio+ 2Cm,qω˙v,q (3.3.8)
Raggruppando i termini, l’equazione 3.3.6 si presenta nel seguente modo: Cn2 Jm ≥ τ √ Jm Cm,q − √ Jm τ ω˙v,q 2 + 2 · [(Cmω˙v)medio+ Cm,qω˙v,q] (3.3.9)
in cui si introducono due grandezze: α, detto “fattore accelerante” che diviene indice delle prestazioni dell’attuatore, e β , detto “fattore di carico”, che riassume in sè tutti i parametri (accelerazioni, inerzie, forze resistenti) legati al meccanismo posto a valle del riduttore:
α = C
2 n
Jm (3.3.10)
β = 2 · [(Cmω˙v)medio+ Cm,qω˙v,q] (3.3.11)
In definitiva si ottiene la seguente forma per l’equazione 3.3.6: α ≥ τ √ Jm Cm,q − √ Jm τ ω˙v,q 2 + β (3.3.12)
Rimane così il termine tra parentesi che può essere definito “misto” in quanto presenta elementi legati sia al carico resistente che al motore ed è presente anche il rapporto di trasmissione τ.
Prima di andare ad analizzare il termine misto e ricercare così anche l’eventuale rapporto di trasmissione che può essere utilizzato, si possono escludere a priori tutti quei motori per cui α < β, poichè tale disuguaglianza indica l’inadeguatezza della taglia del motore.
CAPITOLO 3. DIMENSIONAMENTO DELL’AZIONAMENTO
I restanti casi, ovvero α = β oppure α > β, oltre a verificare temporaneamente le prestazioni del motore (in quanto si deve ancora verificare che per quel motore esista un riduttore da potergli collegare), determinano i possibili valori del termine misto, che andrà ad incidere sulla scelta del rapporto di trasmissione.
Il primo caso (α = β) si presenta quando si annulla la parentesi tonda. Ciò implica l’utilizzo di un τ che minimizza il carico resistente visto dal motore, quin- di viene sfruttata al meglio la potenza del motore stesso: infatti si ha perfetto equilibrio tra il termine motore e quello resistente. Il valore di tale rapporto di tra- smissione, definito così ottimo per le ragioni appena spiegate, si ottiene imponendo la seguente condizione:
τopt2 = Jm
˙ ωv,q
Cm,q (3.3.13)
Se invece si presenta il secondo caso, quello in cui α > β, esiste un range di valori che il termine misto può assumere, e di conseguenza anche vari τ utilizzabili. L’intervallo in cui si può andare a scegliere il valore di τ è delimitato da un τmin e
τmax, che sono il risultato della disequazione rispetto al rapporto √τJ
m: τmin, τmax= p Jm pα − β + 4 ˙ωv,qCm,q ± √ α − β 2Cm,q (3.3.14)
Tuttavia non tutto il range di valori così ottenuto può essere preso in conside- razione, poichè esiste un rapporto, definito limite, al di sotto del quale non si può scendere. Tale τp è il rapporto minimo che può essere raggiunto dal sistema per far
muovere il carico alla velocità massima quando il motore raggiunge il massimo con- sentitogli in termini di velocità, andando a verificare la terza equazione del sistema 3.2.3 per il dimensionamento del motore. Questa considerazione viene espressa in termini matematici nel seguente modo:
τ > τp =
ωv,max
ωmot,max (3.3.15)
Andando a riprendere poi la quarta equazione del sistema 3.3.2 è possibile notare come esista un ulteriore limite inferiore sotto il quale il rapporto di riduzione non può scendere. Questo limite è dovuto al fatto che la velocità nominale del motore deve essere maggiore della velocità quadratica media del ciclo riportata all’albero motore. Tale limite, definito τq, si esprime con l’equazione:
τ > τq =
ωv,q
ωmot,n (3.3.16)
Riassumendo, i casi che si possono incontrare durante la scelta del riduttore ad ogni tempo di azionamento sono:
• τp > τmax∨ τq> τmax⇒il motore non viene verificato, bisogna perciò operare
una scelta differente (α superiore o legge di moto diversa) e reimpostare la verifica del riduttore;
• τmin < max(τp, τq) < τmax ⇒ scelta riduttore da eseguire nell’intervallo:
3.3. ACCOPPIAMENTO MOTORE-RIDUTTORE
Figura 3.9: Campo di scelta del rapporto di riduzione in funzione del tempo di
azionamento per un motore.
• max(τp, τq) < τmin ⇒la scelta del riduttore può spaziare all’interno dell’in-
tero intervallo con estremi:τmin < τ < τmax.
Per ogni motore, determinato un certo carico per il ciclo di lavoro, il campo in cui è possibile operare la scelta del rapporto di riduzione in funzione del tempo di azionamento è quello rappresentato in figura 3.9 all’interno dell’area delimitata dalla linea blu, dove ogni punto è stato calcolato con l’equazione 3.3.14, e deve essere superiore alla linea dei τp minimi ammissibili determinati con l’equazione
3.3.15 e alla linea dei τq dovuti alla velocità nominale determinati con l’equazione
3.3.16.
Poichè i riduttori hanno dei rapporti di riduzione determinati, è necessario effettuare una discretizzazione dell’asse dei rapporti. Eliminando la porzione di piano esclusa dal τp e dal τq e tracciando sul grafico le linee dei riduttori esistenti
si ottiene un grafico (vedi figura 3.10) in cui è possibile identificare i riduttori accoppiabili con il motore.
Dovendo però scegliere tra diversi motori e carichi diversi la situazione è me- glio rappresentata dalla figura 3.11 dove sono riportati più motori (con vari colori) in varie situazioni di carico (nell’esempio da 20 KN a 60 KN, asse z del grafico). Nell’esempio la rettangolarizzazione è stata effettuata per tutti i motori alla stessa velocità, quindi il limite inferiore è comune per tutti. Con la presenza di un ridut- tore non ancora determinato non si è a conoscenza della velocità quadratica media del ciclo riportata all’albero motore (vedi sezione 3.2). Per una prima ipotesi si può utilizzare un valore medio di velocità nominale in ingresso ai riduttori che si analizzeranno; determinato poi il riduttore si potrà nuovamente rettangolarizzare il campo di lavoro del motore per ottimizzare i parametri del ciclo.
CAPITOLO 3. DIMENSIONAMENTO DELL’AZIONAMENTO
Figura 3.10: Campo di scelta del rapporto di riduzione in funzione del tempo di
azionamento per un motore con i riduttori reali.
Figura 3.11: Rapporti di riduzione utilizzabili in presenza di diversi motori e
3.3. ACCOPPIAMENTO MOTORE-RIDUTTORE
Figura 3.12: Rapporti di riduzione utilizzabili in presenza di diversi motori ad un
carico (nell’esempio 35 KN).
Con questo strumento è possibile determinare altri grafici in funzione della necessità. Definito infatti un carico è possibile visualizzare per ogni motore il campo di scelta del rapporto di riduzione in funzione del tempo di azionamento (vedi figura 3.12).
Definito un tempo di azionamento è possibile vedere in figura 3.13 per ogni motore il rapporto di riduzione utilizzabile in funzione del carico. Se si determina un tempo massimo per la prova si può così determinare l’accoppiamento motore- riduttore. Nel grafico di esempio il limite inferiore del rapporto è dovuto al τq
comune a tutti i motori.
Nel caso in cui invece si è deciso a priori un riduttore è possibile ottenere un grafico in cui è possibile ottenere le combinazioni valide di carico e tempo di azionamento per ogni motore con un determinato riduttore (esempio con un riduttore in figura 3.14). Anche in questo caso nel grafico di esempio il limite inferiore del tempo di azionamento è dovuto al τq comune a tutti i motori.